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2.6 列昂惕夫投入产出模型（第2章矩阵代数）

發布時間：2023/12/2 编程问答 41 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 2.6 列昂惕夫投入产出模型（第2章矩阵代数）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

主要內容

本章以列昂惕夫生產消費模型為例，講解了矩陣在實際生活中的應用。

列昂惕夫投入產出模型

列昂惕夫是著名的經濟學家，曾經獲得諾貝爾獎，其中線性代數為他獲得諾獎提供了重要幫助。

有這么一個復雜的經濟命題：

假設某國的經濟體系分為 $n$ 個部門，這些部門分別生產不同類型的產品，例如制造業、農業產品、服務業業產品?？梢杂?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline"> $Rn\mathbb R^n$ 中的向量 $x\boldsymbol x$ 來代表這個產出向量， $x\boldsymbol x$ 中的每一個元素代表一個不同類型的產品。另外，用向量 $d\boldsymbol d$ 代表需求向量，也就是社會需要消耗多少產品。理想情況下，如果要保持生產和消費的平衡，只要保證 $x=d\boldsymbol x = \boldsymbol d$ 即可。但實際上，每個部門在生產的同時，也需要進行消費，例如，制造業部門雖然產出工業產品，但要維持它的運轉，它在產出時也需要消耗一定的制造業產品、農業產品、服務業產品，這種額外的消費被稱作中間需求。這就使得問題變得復雜了起來。

針對如上問題，為了評估各生產部門的中間需求，計算列昂惕夫提出了一種建模的方法：

針對每個部門，都有一個 $Rn\mathbb R^n$ 中的單位消費向量，它列出了該部門的單位產出所需的投入。
如下圖所示，每一列代表了每個部門的單位消費向量，其中制造業、農業、服務業的單位消費向量分別是： $c1=[0.500.200.10]\boldsymbol c_1 = \begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}$ ， $c2=[0.400.300.10]\boldsymbol c_2=\begin{bmatrix}0.40 \\ 0.30 \\ 0.10\end{bmatrix}$ ， $c3=[0.200.100.30]\boldsymbol c_3 = \begin{bmatrix}0.20 \\ 0.10 \\ 0.30\end{bmatrix}$ ，每個向量代表了每生產該1單位（通常以100萬美元作為單位）該產品時，需要消耗多少其他產品。

舉例：
如果制造業決定生產100單位產品，它將消費多少？

解：

計算：
$100c1=100[0.500.200.10]=[502010]100\boldsymbol c_1 = 100\begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}50 \\ 20 \\ 10\end{bmatrix}$
可知，制造業每生產100單位產品，就要消耗制造業自身產出的50單位產品，并消費掉20單位農業產品，以及10單位服務業產品。

由上例，可以啟發我們如何計算中間需求。假設制造業、農業、服務業分別決定生產 $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 單位產出，那么它們造成的總的中間需求為：
$x1c1+x2c2+x3c3=Cxx_1\boldsymbol c_1 + x_2\boldsymbol c_2 + x_3\boldsymbol c_3 = C\boldsymbol x$
其中， $C$ 是消耗矩陣 $[c1c2c3]\begin{bmatrix}\boldsymbol c_1 & \boldsymbol c_2 & \boldsymbol c_3\end{bmatrix}$ ，也就是： $\begin{bmatrix}0.50 & 0.40 & 0.20 \\ 0.20 & 0.30 & 0.10 \\ 0.10 & 0.10 & 0.30\end{bmatrix}$ 。

現在，我們已經能夠表達中間需求了，由于總產出=中間需求+社會需求，那么自然可以得出如下表達式：
$x=Cx+d\boldsymbol x = C\boldsymbol x + \boldsymbol d$
上式可以重寫為：
$(I?C)x=d(\boldsymbol I - C)\boldsymbol x = \boldsymbol d$
現在，只要知道社會需求 $d\boldsymbol d$ 是多少，我們就能夠做出預算，也就是每個部門的生產量 $x\boldsymbol x$ 。
例：

假設社會需求是制造業50單位，農業30單位，服務業20單位，求生產水平 $x\boldsymbol x$ 。

解：

$I?C=[100010001]?[0.50.40.20.20.30.10.10.10.3]=[0.5?0.4?0.2?0.20.7?0.1?0.1?0.10.7]\boldsymbol I - C = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0.5 & 0.4 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & 0.7\end{bmatrix}$
化簡增廣矩陣：
$[0.5?0.4?0.250?0.20.7?0.130?0.1?0.10.720]～[10022601011900178]\begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 & 50 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 & 30 \\-0.1 & -0.1 & 0.7 & 20\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 226 \\0 & 1 & 0 & 119 \\0 & 0 & 1 & 78\end{bmatrix}$
可知，制造業需要226單位，農業119單位，服務業78單位。

若 $I?C\boldsymbol I - C$ 可逆，則可以直接使用逆矩陣定理，得出 $x=(I?C)?1d\boldsymbol x = (\boldsymbol I - C)^{-1}\boldsymbol d$ ?？梢酝ㄟ^證明得知，在大部分實際情況中（ $C$ 中每一列的和小于1，因為每個部門生產一單位產出所需投入的總價值應該小于1）， $I?C\boldsymbol I - C$ 是可逆的，而且產出向量 $x\boldsymbol x$ 是經濟上可行的，也就是說， $x\boldsymbol x$ 中的元素是非負的，這里略去不講。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.6 列昂惕夫投入产出模型（第2章矩阵代数）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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