主要內容

本章以列昂惕夫生產消費模型為例，講解了矩陣在實際生活中的應用。

列昂惕夫投入產出模型

列昂惕夫是著名的經濟學家，曾經獲得諾貝爾獎，其中線性代數為他獲得諾獎提供了重要幫助。

有這么一個復雜的經濟命題：

假設某國的經濟體系分為$n$個部門，這些部門分別生產不同類型的產品，例如制造業、農業產品、服務業業產品。可以用${\mathbb{R}}^n$中的向量$\mathbf{x}$來代表這個產出向量，$\mathbf{x}$中的每一個元素代表一個不同類型的產品。另外，用向量$\mathbf{d}$代表需求向量，也就是社會需要消耗多少產品。理想情況下，如果要保持生產和消費的平衡，只要保證$\mathbf{x}=\mathbf{d}$即可。但實際上，每個部門在生產的同時，也需要進行消費，例如，制造業部門雖然產出工業產品，但要維持它的運轉，它在產出時也需要消耗一定的制造業產品、農業產品、服務業產品，這種額外的消費被稱作中間需求。這就使得問題變得復雜了起來。

針對如上問題，為了評估各生產部門的中間需求，計算列昂惕夫提出了一種建模的方法：

針對每個部門，都有一個${\mathbb{R}}^n$中的單位消費向量，它列出了該部門的單位產出所需的投入。
如下圖所示，每一列代表了每個部門的單位消費向量，其中制造業、農業、服務業的單位消費向量分別是：${\mathbf{c}}_1=?\begin{array}{c}0.50\\ 0.20\\ 0.10\end{array}?$，${\mathbf{c}}_2=?\begin{array}{c}0.40\\ 0.30\\ 0.10\end{array}?$，${\mathbf{c}}_3=?\begin{array}{c}0.20\\ 0.10\\ 0.30\end{array}?$，每個向量代表了每生產該1單位（通常以100萬美元作為單位）該產品時，需要消耗多少其他產品。

舉例：
如果制造業決定生產100單位產品，它將消費多少？

解：

計算：
$$100{\mathbf{c}}_1=100?\begin{array}{c}0.50\\ 0.20\\ 0.10\end{array}?=?\begin{array}{c}50\\ 20\\ 10\end{array}?$$
可知，制造業每生產100單位產品，就要消耗制造業自身產出的50單位產品，并消費掉20單位農業產品，以及10單位服務業產品。

由上例，可以啟發我們如何計算中間需求。假設制造業、農業、服務業分別決定生產$x_1$，$x_2$，$x_3$單位產出，那么它們造成的總的中間需求為：
$$x_1{\mathbf{c}}_1+x_2{\mathbf{c}}_2+x_3{\mathbf{c}}_3=C\mathbf{x}$$
其中，$C$是消耗矩陣$\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{c}}_1& {\mathbf{c}}_2& {\mathbf{c}}_3\end{array}\right]$，也就是：$C=?\begin{array}{ccc}0.50& 0.40& 0.20\\ 0.20& 0.30& 0.10\\ 0.10& 0.10& 0.30\end{array}?$。

現在，我們已經能夠表達中間需求了，由于總產出=中間需求+社會需求，那么自然可以得出如下表達式：
$$\mathbf{x}=C\mathbf{x}+\mathbf{d}$$
上式可以重寫為：
$$(\mathbf{I}?C)\mathbf{x}=\mathbf{d}$$
現在，只要知道社會需求$\mathbf{d}$是多少，我們就能夠做出預算，也就是每個部門的生產量$\mathbf{x}$。
例：

假設社會需求是制造業50單位，農業30單位，服務業20單位，求生產水平$\mathbf{x}$。

解：

$$\mathbf{I}?C=?\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}???\begin{array}{ccc}0.5& 0.4& 0.2\\ 0.2& 0.3& 0.1\\ 0.1& 0.1& 0.3\end{array}?=?\begin{array}{ccc}0.5& ?0.4& ?0.2\\ ?0.2& 0.7& ?0.1\\ ?0.1& ?0.1& 0.7\end{array}?$$
化簡增廣矩陣：
$$?\begin{array}{cccc}0.5& ?0.4& ?0.2& 50\\ ?0.2& 0.7& ?0.1& 30\\ ?0.1& ?0.1& 0.7& 20\end{array}?～?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 226\\ 0& 1& 0& 119\\ 0& 0& 1& 78\end{array}?$$
可知，制造業需要226單位，農業119單位，服務業78單位。

若$\mathbf{I}?C$可逆，則可以直接使用逆矩陣定理，得出$\mathbf{x}=(\mathbf{I}?C{)}^{?1}\mathbf{d}$。可以通過證明得知，在大部分實際情況中（$C$中每一列的和小于1，因為每個部門生產一單位產出所需投入的總價值應該小于1），$\mathbf{I}?C$是可逆的，而且產出向量$\mathbf{x}$是經濟上可行的，也就是說，$\mathbf{x}$中的元素是非負的，這里略去不講。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.6 列昂惕夫投入产出模型（第2章矩阵代数）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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