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作者：伊藤清?

當(dāng)我得知蘇聯(lián)偉大的數(shù)學(xué)家，84歲的 Andreyii Nikolaevich Kolmogorov 教授于1987年10月20日離開人世時，我感到像是失去了支柱那樣悲哀與孤寂。在我還是學(xué)生時（1937年）讀了他的名著《概率論的基本概念》之后，便立志鉆研概率論，并持續(xù)了50年之久。對于我來說，Kolmogorov 就是我的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。?

我與 Kolmogorov 教授僅會過 3 次面。第一次是1962年國際數(shù)學(xué)家會議 (Stockholm) 時，開幕式前我在大廳里漫步。當(dāng)聽見「Ito ? Kolmogorov.」的親切的招呼聲時，我又驚又喜。他用德語問到「你多大年齡？」我答道：「Seiben und vierzig.」他再問：「DreiBig?」（三十幾？）大概日本人都顯得年輕，我也許被看得年輕了10歲。又過了二三日，H. Cramer 教授（全瑞典的大學(xué)校長 (Chancelor)，概率論、解析數(shù)論的專家）在家里舉行了晚餐會，招待出席會議的大約10名有關(guān)概率方面的學(xué)者。Kolmogorov, J.L. Doob 與我都在其中。?

第二次是1978年，在參加了國際數(shù)學(xué)家大會 (Helsinki) 之后，又出席了概率統(tǒng)計國際學(xué)術(shù)討論會 (Vilnius, Lihtuania, USSR)，回國途中，路經(jīng)莫斯科時，Kolmogorov 招待 Varadhan (NYU)、 Prokhorov（蘇聯(lián)科學(xué)院）和我在克里姆林宮旁的一座高雅的餐廳吃了午餐。當(dāng)時已聽說 Kolomogorov 對高中的數(shù)學(xué)教育很熱心，招收了一些優(yōu)秀的學(xué)生，親自開課教授。我便詢問了其內(nèi)容，他舉例說：比如向?qū)W生展示簡單的向量場（速度場）的圖，并要求他們畫出積分曲線（軌）；又如讓學(xué)生考慮具體的分枝過程的問題等等，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀能力。?

第三次是在 Tbilisi (Georgia, USSR, 1983) 召開的日蘇概率統(tǒng)計學(xué)術(shù)討論會上。當(dāng)時，僅管他的健康狀況不大好，仍然作了講演，并在宴會上努力創(chuàng)造活躍的氣氛。顯然年輕的一代是很崇敬他的。?

Kolmogorov 在數(shù)學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域中，都提出了獨創(chuàng)的思想，導(dǎo)入了嶄新的方法，他的業(yè)績是非常輝煌的。然而，我見到他時給我留下的印象卻是不修邊幅的溫厚的君子形象，這也許正是偉大數(shù)學(xué)家的形象吧。?

Kolmogorov 的論文我自認(rèn)為基本上都好好地讀過了，在撰寫本稿時，我又對他整個的研究成果做了一個直接或間接的調(diào)查。對其研究的廣度和深度不得不嘆服。由于時間和篇幅的限制，我僅向讀者談一些并不全面的自己的感受。?

吉澤尚明（京都大學(xué)）、池田信行（大阪大學(xué)）二位教授及京都大學(xué)數(shù)理研圖書室的各位幫助我查找了資料，在此我表示衷心的感謝。?

Kolmogorov 簡歷?

根據(jù) B. V. Gnedenko 在 Kolmogorov 70 壽辰時的講演， Kolmogorov 于1903年誕生于俄羅斯的村鎮(zhèn)（現(xiàn)在為市）Tambov。父親是農(nóng)學(xué)家，母親在生下 Kolmogorov 后不久便離開人世，他是被叔母等撫養(yǎng)長大的。1920年（17歲）進入莫斯科大學(xué)之前，他當(dāng)過列車上的乘務(wù)員，業(yè)余時間寫了關(guān)于牛頓力學(xué)定律的論文，論文的原稿未能保存下來，但我們可以想象他是多么早熟的天才。那時，俄國革命（1917）已經(jīng)爆發(fā)，我很想知道他當(dāng)時所處的環(huán)境，很遺憾沒有有關(guān)的資料。?

1920年進入莫斯科大學(xué)，最初對俄國的歷史感興趣，還調(diào)查了15～16世紀(jì)的諾布哥羅德的財產(chǎn)登記。以后參加了 V.V. Stepanov 的傅里葉級數(shù)（三角級數(shù)）討論班，并于1922年（19歲）寫出了關(guān)于傅里葉級數(shù)，解析集合的著名論文，震動了學(xué)術(shù)界。其后猶如天馬行空，連續(xù)發(fā)表了許多重要的研究成果。1925年莫斯科大學(xué)畢業(yè)，1931年當(dāng)大學(xué)教授，1933年任大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長，1937年成為蘇聯(lián)科學(xué)院院士。至1987年逝世止，對數(shù)學(xué)的研究教育作出了很多重大的貢獻。?

Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀?

了解 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀的最好的資料，大概要屬蘇聯(lián)大百科辭典中他所執(zhí)筆的「數(shù)學(xué)」部分吧。已經(jīng)出了英文版，我讀了英文版，與原文（俄語）比較，英文版稍微縮略了一些，在這篇文章中，他先闡述了其數(shù)學(xué)觀，然后通述了自古至今的數(shù)學(xué)史，并且從他的數(shù)學(xué)觀出發(fā)，詳細描述了這個歷史的各個階段，它可以說是為數(shù)學(xué)家、科學(xué)家們所寫的數(shù)學(xué)史。我饒有興趣地一口氣讀完了全篇。要說明 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀，不僅應(yīng)當(dāng)看這篇文章的開始部分，也應(yīng)當(dāng)參照占該文大部分的數(shù)學(xué)史，但由于篇幅及時問的限制，我僅將文章的開始部分簡要介紹如下。?

根據(jù) Kolmogorov的觀點，數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。?

(1)因此數(shù)學(xué)的研究對像是產(chǎn)生于現(xiàn)實中的。然而作為數(shù)學(xué)加以研究時，必須離開現(xiàn)實的素材（數(shù)學(xué)的抽象性）。?

(2)但是，數(shù)學(xué)的抽象性并不意味著完全脫離于現(xiàn)實素材。需要用數(shù)學(xué)加以研究的數(shù)量關(guān)系與空間形式的種類，應(yīng)科學(xué)技術(shù)的要求，是不斷增加著的。因此上面定義的數(shù)學(xué)內(nèi)容在不斷地得到豐富。?

數(shù)學(xué)與諸科學(xué)：數(shù)學(xué)的應(yīng)用是多種多樣的，從原理上講，數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用范圍是無邊際的，即物質(zhì)的所有類型的運動都可以用數(shù)學(xué)加以研究。但是數(shù)學(xué)方法的作用與意義在不同情況下是不同的。用單一的模式來包羅現(xiàn)象的所有側(cè)面是不可能的。認(rèn)識具體的東西（現(xiàn)象）的過程中總是具有下面兩個互相纏繞的傾向。?

(1)僅將研究對象（現(xiàn)象）的形式分離出來，對這個形式作邏輯上的解析。?

(2)弄清與已經(jīng)確立的形式所不相符的「現(xiàn)象的方面」，向具有更多的可塑性，更能完整地包含「現(xiàn)象」的新的形式轉(zhuǎn)化。?

如果在研究的過程中必須時刻考察現(xiàn)象的本質(zhì)上新的側(cè)面，因而研究中的困難主要體現(xiàn)在上面的(2)的話。這樣的現(xiàn)象的研究（如生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、人文科學(xué)等）中，數(shù)學(xué)方法就不是主要的。在這種時候，對現(xiàn)象的所有方面的辨證分析會由于數(shù)學(xué)形式反而變得含糊。?

與此相反，如果用比較簡單的、穩(wěn)定的某種形式便可以把握研究對象（現(xiàn)象），并且在這個形式的范圍內(nèi)產(chǎn)生了在數(shù)學(xué)上需要加以特殊研究（特別是需要創(chuàng)造新的記號和計算法）的困難而復(fù)雜的問題時，這種現(xiàn)象的研究（如物理學(xué)）則在數(shù)學(xué)方法的支配圈內(nèi)。?

做了這些一般性的論述后，首先詳細說明了行星運動完全是在數(shù)學(xué)方法的支配圈內(nèi)，在這里數(shù)學(xué)形式是對于有限質(zhì)點系的牛頓的常微分方程。?

從力學(xué)轉(zhuǎn)向物理學(xué)，數(shù)學(xué)方法的作用幾乎不減，但應(yīng)用中的困難明顯增加。在物理學(xué)中，幾乎沒有不必使用高級數(shù)學(xué)技術(shù)（如偏微分方程理論、泛函分析）的領(lǐng)域。但是研究中出現(xiàn)的困難往往不在于數(shù)學(xué)理論的推導(dǎo)過程中，而在于「為運用數(shù)學(xué)所作的假設(shè)的選擇」和「由數(shù)學(xué)手段所得結(jié)果的解釋」中。?

數(shù)學(xué)方法具有包含從考察的某個水平開始，向更高的、本質(zhì)上新的水平轉(zhuǎn)移這樣一個過程的能力。這種例子在物理理論中是可以見到許多的：擴散現(xiàn)象便是一個古典的好例子。從擴散的宏觀理論（拋物型偏微分方程）向更高的微觀水平的理論（用獨立的隨機過程來描述溶液中粒子隨機運動的統(tǒng)計力學(xué)）轉(zhuǎn)移，從后者出發(fā)運用大數(shù)定律，可導(dǎo)出把握前者的微分方程， Kolmogorov 對此種情形作了更加詳細具體的說明。?

同物理學(xué)相比，在生物學(xué)中數(shù)學(xué)更處于從屬地位。在經(jīng)濟學(xué)和人文科學(xué)中的，這種情況就更加突出了，在生物學(xué)和杜會科學(xué)中數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用主要是以控制論的形式進行的。在這些學(xué)科中，數(shù)學(xué)的重要性以輔助科學(xué)──數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的形式保留幾分，但在杜會現(xiàn)象的精確分析中，各個歷史階段中的本質(zhì)性差異的側(cè)面是占主導(dǎo)地位的，因而數(shù)學(xué)方法常常要靠邊站。?

數(shù)學(xué)與技術(shù)、算術(shù)、初等幾何的原理，正像古代數(shù)學(xué)史所表明的那樣，是從日常生活的需要中產(chǎn)生的。其后的新的數(shù)學(xué)方法或思想也是受到天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等滿足實際需要的學(xué)科的影響而產(chǎn)生的，但是數(shù)學(xué)與技術(shù)（工程學(xué)）的直接聯(lián)系至今常常是通過已有的數(shù)學(xué)理論在技術(shù)中的應(yīng)用這樣一個形式來實現(xiàn)的。當(dāng)然還須指出，根據(jù)技術(shù)上的要求而直接產(chǎn)生新數(shù)學(xué)的一般理論這種例子也是有的〔例如，最小二乘法（測地），操作數(shù)法（電氣工程）。作為概率論的新分支的信息論（通信工程），數(shù)理邏輯學(xué)的新分支，微分方程的近似解法，數(shù)值解法等〕。?

高度的數(shù)學(xué)理論使得計算器科學(xué)的方法急速地發(fā)展起來。而計算器科學(xué)在解決原子能利用，宇宙開發(fā)中的問題等大量的實際問題時扮演了主要的角色。?

Kolmnogorov 在后面的數(shù)學(xué)史的敘述中也總是注重數(shù)學(xué)與其它諸學(xué)科的關(guān)聯(lián)，同時也高度評價了由于數(shù)學(xué)內(nèi)部的要求而推動的純數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，在實際問題的應(yīng)用這方面，古代希臘要落后于巴比倫，然而在數(shù)學(xué)的理論方面，希臘遠遠領(lǐng)先于巴比倫。他尤其贊頌了「存在無限多個素數(shù)」、「等腰直角三角形的斜邊與另一邊之間不存在公約數(shù)」等偉大發(fā)現(xiàn)。按著他詳細說明了實際主義的巴比倫數(shù)學(xué)與理想主義的希臘數(shù)學(xué)是如何經(jīng)過中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，發(fā)展至歐洲的近代數(shù)學(xué)的過程，非常有趣。我從這個歷史中學(xué)到了許多史實。例如，我以前知道變換群這個概念是在18世紀(jì)后半葉至19世紀(jì)初，由 Lagrange（分析）、 Galois（方程式論）等有效地使用了的。但我還想知道現(xiàn)在大學(xué)里講授的（抽象）群的定義到底是由誰給出的。根據(jù) Kolmogorov 的數(shù)學(xué)史，這個定義是由 A. Cayley 在19世紀(jì)中葉所給出的。?

總之，Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀是由他的數(shù)學(xué)上的獨創(chuàng)性，對于數(shù)學(xué)應(yīng)用所抱有的激情及對于數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史所具有的洞察。這幾個方面所組成的，難以用一言來概之。如果一定要用一句話來總結(jié)，也許可以這樣說： Kolmogorov把數(shù)學(xué)看成為可以無限制地成長的「生物體」。?

Kolmogorov 的數(shù)學(xué)業(yè)績?

Kolmogorov 寫了上百篇論文，從中可以看出其特點是：「廣泛的研究領(lǐng)域」、「引入新觀點的獨創(chuàng)性」及「明快的敘述」，其研究領(lǐng)域包括實變函數(shù)論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論、拓撲空間論、泛函分析、概率論、動態(tài)系統(tǒng)、統(tǒng)計力學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計、信息論等多個分支。下面結(jié)合背景概述一下這些研究。?

實變函數(shù)論?

Kolmogorov 在莫斯科大學(xué)讀書時參加了 Stepanov 的傅里葉級數(shù)討論班，從那時（1921）開始，他對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了與趣。當(dāng)時，主要研究連續(xù)函數(shù)的微積分學(xué)正在向研究可測函數(shù)的實變函數(shù)論發(fā)展。這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域受到了極大的關(guān)注。Kolmogorov 于1922年（19歲）時，通過引入 集合演算，證明瞭包含「Borel 不可測解析集合的存在定理 (Suslin)」的新的定理。同年，他還成功地研究了「（形式上）傅里葉級數(shù)在幾乎所有點上（以后又研究了所有點上）發(fā)散的上的可積函數(shù)的構(gòu)成」。這些結(jié)果作為論文分別發(fā)表在《Mat. Sbornik》，1925及《Fund. Math.》，1923 (Doklady, 1925)。關(guān)于傅里葉級數(shù)、直交函數(shù)的展開，他也寫了幾篇論文。他還嘗試了 Lebesgue 積分的推廣，涉及了 Denjoy 積分的研究。這些大體上是1930年以前的研究工作。?

概率論基礎(chǔ)?
Kolmogorov 在概率論力面的一大功績是用測度論的語言將概率論確立為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個領(lǐng)域。以往對偶然事件、偶然量未加定義而使用。Kolmogorov 看出了概率與測度的同構(gòu)型，在概率測度空間 (Ω,F，P) 上，分別將偶然事件定義為Ω的 F-可測子集，偶然事件的概率定義為這個子集的 P-測度，偶然量定義為Ω上的 F-可測函數(shù)，其平均值由積分定義。這樣，概率論的理論展開就變得明確而容易了。?

如此將概率作為測度來把握的方法，對于特殊問題 E. Borel（上例），N. Wiener（布朗運動）已經(jīng)做過嘗試。但用這個方法來對待所有問題的是 Kolmogorov 的《概率論的基本概念》。而 Kolmogorov 證明瞭在這種情況下有目的地構(gòu)造出 P 的定理，這就是著名的 Kolmogorov 的擴張定理。?

過去作為具體的測度一般僅考慮 Lebesgue-Stieltjes 測度和 Lie 群上的不變測度。由于 Kolmogorov 的測度論式的概率論，新型的概率測度及有關(guān)的新問題在對偶然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究中不斷地產(chǎn)生了出來。?

概率論?

Kolmogorov 受到 A.Y.Khinchin 的影響， 1925年前后開始研究獨立隨機變量的級數(shù)的收斂問題及發(fā)散時的階數(shù)。按著研究了 Wiener 過程，在這些研究中，Kolmogorov 引入了幾個新的思想和方法，Kolmogorov 0-1 律、Kolmogorov 不等式，Khinchin-Kolmogorov 三級數(shù)定理，Kolmogorov 強大數(shù)律，Kolmogorov 判別法，Kolmogorov 譜（湍流）等是特別著名的。1939年他還將弱平穩(wěn)過程的內(nèi)插、外推問題歸結(jié)為傅里葉分析的問題而一舉解決。?

Kolmogorov 還將動態(tài)系統(tǒng)分為決定論的（古典的）動態(tài)系統(tǒng)和概率論的動態(tài)系統(tǒng)（馬爾可夫過程），描述前者軌道的是常微分方程，而決定后者轉(zhuǎn)移概率的是拋物型偏微分方程，即 Kolmogorov 引入的向前方程序和向后方程式（〈關(guān)于概率論中的分析方法〉， Math. Ann. 1931）。在那以前，概率論（泛函分析）也開始得到應(yīng)用，概率論的內(nèi)容變得極其豐富起來。 50年代的馬爾可夫過程的顯著發(fā)展的源泉就是Kolmogorov 的這個研究。我從 Kolmogorov 的這篇論文的序言中的思想得到啟發(fā)，引入了表現(xiàn)馬爾可夫過程的軌道的隨機微分方程式。這也決定了我以后的研究的方向。Kolmogorov的「基本概念」和「分析方法」。對我來說可謂至寶。?

數(shù)理統(tǒng)計?

在日本很遺憾概率論與數(shù)理統(tǒng)計之間的交流不太活躍，而 Kolmogorov 等蘇聯(lián)的概率論專家是非常重視二者的關(guān)系的。概率論是以概率空間為基礎(chǔ)的，在應(yīng)用于現(xiàn)實問題的時候，需要考慮若干概率空間，然后決定哪個是最適合于實際問題的概率模式。這個決定可以說是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的一個目的。Kolmogorov 也寫了不少數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的論文。在非參數(shù)檢驗法中用到的 Kolmogorov-Smirnov 定理是很有名的。?

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論?

Kolmogorov 從年輕時起，就對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論，特別是 Brouwer 的直觀主義（有限立場）有著濃厚的興趣（例如《Math. Zeit.》, 35 (1932), 58-65），關(guān)于算法也作了研究。?

拓樸空間論函數(shù)空間論?

Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同開創(chuàng)了上同調(diào)理論，這是眾所周知的。Kolmogorov 還是同時具有拓撲結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間理論（線性拓撲空間、拓撲環(huán)）研究的開創(chuàng)者之一。

他還研究了全有界的距離空間 E 的ε-網(wǎng)中最小可能的點數(shù) 當(dāng) 時的性狀，作為 E 的特性量引入了ε-熵、ε-容量的概念。將其應(yīng)用于E為連續(xù)函數(shù)空間的子空間的場合〔與 V. M. Tikhomirov 合著， Uspehi (1959)〕。這是泛函分析方面的嶄新的觀點。?

動態(tài)系統(tǒng)?

Kolmogorov 對于古典動態(tài)系統(tǒng)有著很深的知識，他寫過幾篇重要的論文（《Proc. ICM》, 1954, Amsterdam, 1, 315-333）。他還研究了一般的動態(tài)系統(tǒng)（單參數(shù)保測變換群?流），引入了「Kolmogorov 流」的概念。作為流的特性量，大家知道有譜型 (Hellinger-Hahn)。 Kolmogorov 又引入了熵這個新的特性量（《Dokl.》, 124 (1959), 754-755）。毫無疑問，這也為新的遍歷理論開辟了道路。?

在其它方面，Kolmogorov 也作了許多有名的研究工作。例如 Hilbert 的第13問題的否定性解決（參看巖波《數(shù)學(xué)辭典》的 Hilbert 一項），隨機數(shù)表的考察（Sankhya, A25, 1963），關(guān)于信息論的研究等。?

Kolmogorov 的數(shù)學(xué)教育觀?

Kolmogorov 在莫斯科大學(xué)培養(yǎng)了許多數(shù)學(xué)家，其中不少人已成為國際上的著名學(xué)者，這一點廣為人知。他還熱心于高中的數(shù)學(xué)教育，自己親自寫講義，對數(shù)學(xué)教育所應(yīng)有的姿態(tài)作了深刻的思考。Kolmogorov 60歲壽辰時（1963），P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了題為「教育家 Kolmogoro」的講演。下面參考此文講述一下 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)教育論。蘇聯(lián)的教育制度與日本稍有不同，為小學(xué)（7～10歲）、初中（11～14歲）、高中（15～17歲）、大學(xué)（18歲～20歲），在大學(xué)里數(shù)學(xué)專業(yè)與物理專業(yè)在一個系（稱作數(shù)學(xué)物理系）里。高中相當(dāng)于日本的高中2年級到大學(xué)1年級，大學(xué)相當(dāng)于日本的大學(xué)2年級至碩士研究生。有些類似于日本的舊制高中和大學(xué)，大學(xué)畢業(yè)時要寫論文獲取學(xué)位，相當(dāng)于日本的碩士學(xué)位。博士學(xué)位授給大學(xué)畢業(yè)后寫過許多創(chuàng)作論文的特別優(yōu)秀的學(xué)者。?

Kolmogorov 認(rèn)為，有些家長和教師企圖從10歲～12歲左右的學(xué)生中挖掘有數(shù)學(xué)才能的孩子，這樣做會害了孩子，但是孩子到了14～16歲時，情況就不一樣了。他們對數(shù)學(xué)物理的興趣已很清楚地表現(xiàn)了出來，根據(jù) Kolmogorov 在高中教授數(shù)學(xué)物理的經(jīng)驗，大約有一半的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)物理對自己僅有很小的作用。對于這些學(xué)生應(yīng)該安排簡單內(nèi)容的課程。這樣，另一半的學(xué)生（并不一定他們都要搞數(shù)學(xué)物理專業(yè)）的數(shù)學(xué)教育就可以更有效地進行。?

高中時將數(shù)學(xué)物理系、工程系、生物農(nóng)醫(yī)系、杜會經(jīng)濟系等各專業(yè)分開為好。各系的主要學(xué)科的教授時間可稍稍增加一點（如數(shù)學(xué)1小時、物理1小時等），即使這樣效果也是非常顯著的。各專業(yè)系的教育可以使學(xué)生增強目的意識，而不至于影響有寬度的一般教育。革命初期提出的「統(tǒng)一勞動學(xué)校」的口號，并不否定個人能力的開發(fā)與特殊訓(xùn)練，而只是意味著廢除階級意識的學(xué)校，消除貧苦人面前的障礙。?

數(shù)學(xué)需要特別的才能這一說法在很多情況下是過于夸張了。數(shù)學(xué)是特別難的科目這一印象可能是產(chǎn)生于笨拙的、極其教條的教學(xué)方法。如果有好的教師和好的教科書，正常的平均程度的人的能力足以消化高中數(shù)學(xué)，并進一步理解微積分的初步知識。?

然而，高中生在選擇數(shù)學(xué)作為上大學(xué)的專業(yè)時，自然應(yīng)測驗一下自己對數(shù)學(xué)的適應(yīng)性。實際上，在理解（數(shù)學(xué)的）推論、解決問題、或作出新的發(fā)現(xiàn)上，其速度、容易程度和成功度是因人而異的。在數(shù)學(xué)專業(yè)教育中，應(yīng)選擇在數(shù)學(xué)領(lǐng)域出成就的可能性大的青年人。?

什么是對于數(shù)學(xué)的適應(yīng)性呢？Kolmogorov 總結(jié)為以下三點：?

(1)算法能力：即對于復(fù)雜式子作高明的變形，對于用標(biāo)準(zhǔn)方法解不了的方程式作巧妙的解決的能力（僅記住許多定理、公式是不行的）。?

(2)幾何學(xué)直觀：對于抽象的東西，能夠在頭腦中像畫畫一樣描繪出來并加以思考。?
(3)一步一步地作邏輯性推理的能力：例如能夠正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。?

僅有這些能力，而對研究題目不抱有強烈的興趣、不作持久不斷的研究活動的話，還是起不了什么作用。?

在大學(xué)的數(shù)學(xué)教育中，好的教師又是什么樣的呢？?

(i)講課高明。如用其它的科學(xué)領(lǐng)域的例子來吸引學(xué)生。?

(ii)以清晰的解釋和寬廣的數(shù)學(xué)知識來吸引學(xué)生。?

(iii)善于作個別指導(dǎo)。清楚每個學(xué)生的能力，在其能力范圍內(nèi)安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生增強自信心。?

以上每一條都是有價值的，而理想的教師應(yīng)屬(iii)類型的教師。?

對于數(shù)學(xué)物理系的學(xué)生的數(shù)學(xué)教育，除了常規(guī)的課程， Kolmogorov 特別強調(diào)了以下兩點：

(i)使學(xué)生能夠把泛函分析作為日常工具那樣運用自如。?

(ii)重視 practical work。?

我最初對這個意思不大明白，最近見到一位曾經(jīng)在莫斯科大學(xué)接受過 Kolmogorov 的指導(dǎo)的先生，便詢問了一下，其意思可能是這樣的，例如對于微分方程式給出具體的系數(shù)和邊界條件（每個學(xué)生不同），然后讓學(xué)生考察方程式的解的性質(zhì)。?

學(xué)生在開始搞研究的時候，首先必須使其樹立起「自己能夠搞出點名堂」的自信心。因而在布置研究課題時，不但要考慮「這樣題目的重要性」，還應(yīng)考慮「這個研究是否能提高學(xué)生的水平」，「是否在學(xué)生的能力范圍內(nèi)，而且需要作最大程度的努力才能解決的問題」。?

以上就是 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)教育論的概略。Kolmogorov 不僅是偉大的數(shù)學(xué)家，也是偉大的教育家，也許說是偉大的思想家更合適。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/dirichlet/p/5599066.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Kolmogorov 的数学观与业绩的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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