01 解決什么問題

在社會活動中經常可見按照時間順序記錄下來的隨機事件觀察值，例如每年死亡人數序列，每年糖尿病發病人數序列，醫院門診每日診治病例數序列。這類數據的特性是相鄰時間點的觀察值之間具有明顯的相關性，這一特性不同于獨立隨機觀察資料，因而不能用通常以獨立隨機觀察為假定條件的統計方法分析，而要采用時間序列分析方法分析。

先來看一個時間序列的例子。收集了某市2007年1月1日至2009年12月31日的大氣中顆粒物PM的每日測定值。從圖可見，該市空氣中顆粒物PM10含量的日平均值變化特點是：年初和年末的平均濃度較高，夏秋季的平均濃度較低。

02 時間序列資料的影響因素

一個時間序列資料通常可以分解為確定性部分和隨機部分。確定性部分又可進一步分解為趨勢部分、循環或周期部分以及季節變動部分。

將上圖的時間序列資料分解，形成如下圖，可看到：

第一 趨勢部分：反應長期的變化趨勢，如上升或下降或平穩。下圖的看來，雖然有起伏，但總的趨勢是平穩的。

第二 循環或周期部分：表現為圍繞總體趨勢水平出現有節奏的周期變動，如經濟發展中出現時快時慢的周期變化。

第三 季節變動，指在一個日歷年份內因季節氣候變化的影響發生的變動，每年都重復，一般受氣候或人們生活方式影響的結果，下圖三中表現的每年都呈現一個U型曲線，是一種明顯的季節變動。當然，有的時間序列呈現周期波動，如門診量由于受工作日影響而重復出現星期內波動。

第四 不規則變動，它是除確定性部分之外的隨機波動。如下圖四。

03 幾種時間序列

社會生活中時間序列一般包含上述幾個組分，如果只有不規則變動組成，不包含其他三種成分，那么就是上圖1序列，稱為平穩序列，數據圍繞一個值上下波動，由于不規則變化，則無法預測下個時間是往上還是往下。如果包含一個向上的長期趨勢，如圖2，則為一個趨勢序列。如果在平穩時間序列上加一個季節性變化，則如圖3所示，稱之為季節型序列。季節和趨勢組合就是圖四的形式，有一個向上的趨勢，同時還有周期性變化。一般情況下不規則變化都是存在的。

04 幾個重要的概念

1.自相關函數

在時間序列中，其前期狀態對后續狀態往往有影響，這種影響越大，相關性就越強，這種相關性就叫自相關。它有兩個指標：自相關函數和偏自相關函數，它倆的作用是啥呢？自相關函數用acf表示，它可以檢驗時間序列在時間點t與滯后h期的時間點t-h的觀察值之間是否存在顯著自相關性。通過acf()函數計算自相關函數圖：

該圖的橫坐標Lag表示滯后期數h，縱坐標ACF給出每一滯后期h的自相關函數值。兩條平行的橫虛線分別代表95%可信區間的臨界水平，凡是超過虛線的豎線條都具有統計學意義，原假設是自相關函數等于0，如果落在兩虛線之間，則表示無統計學意義。

從圖可以看出，滯后0階(h=0)恒等于1，這是PM10的自身相關性。將它的每一滯后期的自相關函數值打印出來可看到，前20期豎線都在虛線上面，函數值緩慢降低，各期都有統計學意義和自相關性，屬于拖尾狀態。

2.偏相關性函數

偏自相關函數又稱PACF，它不同于自相關函數，它消除了其他觀察值的影響后yt和y(t+h)單純的相關關系。通過pacf()函數可計算得到：可看到滯后一期的相關函數值為0.72，具有高度統計學意義，之后下降很快，后面偏自相關函數在顯著水平波動，處截尾狀態。

3.時間序列的平穩性

實際工作中，只要滿足①均值E(Yt)=u是與時間無關的常數；②方差是與時間無關的常數，Var(Yt)=γ。③協方差是只與時間間隔k有關，而與時間t無關的常數，Cov(Yt,Yt+k)=γ(0,k)就可以認為是平穩性序列。

4.平穩性檢驗

由于對時間序列資料分析的一個重要假設條件就是平穩性，因此很有必要先判斷是否符合平穩性。

①直接觀察ACF圖，平穩的序列的自相關圖和偏相關圖不是拖尾就是截尾。截尾就是在某階之后系數都為0，看上面偏相關的圖，當階數為1的時候,系數值還是很大是0.72 二階長的時候突然就變成了 0.050. 后面的值都很小，認為是趨于0，這種狀況就是截尾。再就是拖尾，拖尾就是有一個衰減的趨勢，但是不都為 0，看上面自相關圖.如果自相關圖既不是拖尾也不是截尾，這里我們用文章開頭的案例，計算滯后400階的自相關圖，如下圖。下圖的自相關是一個三角對稱的形式，這種趨勢是單調趨勢的典型圖形。這個案例是一個具有季節變動的不平穩時間序列。

①常用一個是tseries包中adf.test()函數做單位根檢驗，p>0.05表示是不能拒絕原假設，不平穩時間序列。檢驗文章開頭的案例，P>0.05，不能拒絕原假設，表明該序列為非平穩時間序列。

5.非平穩性怎么辦呢？

對于非平穩序列，如有具有某種趨勢，則可以采用差分的方法消除這種趨勢，從而達到平穩性。也可以采用對數的方式消除這種趨勢，也可以聯合數學變換和差分的方法消除，后面會詳細介紹差分。

6.幾種基本的平穩時間序列模型
1.自回歸模型(AR)

通常用AR(p)表示p階自回歸模型，用時間序列的一系列過去值和當前值建立自回歸的關系。

2.移動平均模型(MA)

一個q階的移動平均模型用MA(q)表示當前觀察值是當前以及向后過去q階白噪聲的線性組合。

3.自回歸移動平均(ARMA)

實際工作中大部分都是AR和MA的組合，這種模型表示為ARMA(p,q),前面介紹的acf和pacf可以幫助我們識別模型及其階數。

05 總結

本文作為時間序列的第一章，主要介紹時間序列中常用基本概念和術語，以方便對后面的建模深入理解。之后會針對不同的時間序列資料，討論使用的不同的模型。

06 更多閱讀

文章在公粽號：易學統計

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總結

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