佩爾方程講解連接：

若一個丟番圖方程具有以下的形式：

且

為正整數，則稱此方程為佩爾方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)

若

是完全平方數，則這個方程式只有解

(實際上對任意的

，

都是解)。對于其余情況，拉格朗日證明了佩爾方程總有解。而這些解可由

的連分數求出。

設

?是

的連分數表示:

的漸近分數列，由連分數理論知存在?

?使得(pi,qi) 為佩爾方程的解。取其中最小的?

，將對應的 (pi,qi) 稱為佩爾方程的基本解，或最小解，記作(x1,y1) ，則所有的解(xi,yi) 可表示成如下形式：

或者由以下遞推公式得到：

?

——————————————————分割線————————————————————

求得佩爾方程最小正整數解后，由公式

及

可求得第k解(X1，Y1為最小正整數解)。

到這里你可能會想用遞歸的方法求解Xk及Yk。可是事實上如果k的值很大的話，就會花費好多時間。所以在這里求解的時候，用矩陣快速冪便可節約很多時間。

現在構造矩陣，如下圖

swun oj 里的一題，請參考，以便理解

#include

#include

#include

using namespace std;

typedef __int64 ll;

#define Mod 1000000007

ll x,y,n,k;

struct PellAns

{

ll p,q;

};

struct Node

{

ll g,h;

};

struct Matrix

{

ll a[2][2];

void init()

{

a[0][0]=x%Mod;a[0][1]=y%Mod;

a[1][0]=(n%Mod*y%Mod%Mod)%Mod;a[1][1]=x%Mod;

}

};

//矩陣乘法

Matrix matrix_mul(Matrix a,Matrix b)

{

ll i,j,k;

Matrix ans;

for(i=0;i<2;i++)

{

for(j=0;j<2;j++)

{

ans.a[i][j]=0;

for(k=0;k<2;k++)

ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]%Mod+(a.a[i][k]%Mod*b.a[k][j]%Mod)%Mod)%Mod;

}

}

return ans;

}

//矩陣快速冪

Matrix mult(Matrix a,ll b)

{

Matrix ans;

ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=0;

ans.a[1][0]=0;ans.a[1][1]=1;

while(b)

{

if(b & 1)

ans=matrix_mul(ans,a);

b>>=1;

//cout<

a=matrix_mul(a,a);

}

return ans;

}

//求佩爾方程最小正整數解...模板

PellAns Solve( ll n1)

{

PellAns s[4];

Node w[4];

int a[4];

s[0].p=0; s[0].q=1;

s[1].p=1; s[1].q=0;

a[0]=(ll)floor(sqrt( (double)n ));

a[2]=a[0];

w[1].g=0;w[1].h=1;

while( 1 )

{

w[2].g = -w[1].g+a[2]*w[1].h;

w[2].h = (n1-w[2].g*w[2].g)/w[1].h;

a[3] = (ll)floor( (double)(w[2].g+a[0])/w[2].h );

s[2].p = a[2]*s[1].p+s[0].p;

s[2].q = a[2]*s[1].q+s[0].q;

if( (s[2].p*s[2].p-n1*s[2].q*s[2].q) == 1 &&s[2].p>0&&s[2].q>0 )

return s[2];

w[0]=w[1];w[1]=w[2];

a[2]=a[3];

s[0]=s[1];s[1]=s[2];

}

}

int main()

{

PellAns ans;

// freopen("a.in","r",stdin);

//freopen("1.out","w",stdout);

while( ~scanf("%I64d%I64d",&n,&k) )

{

if(sqrt(double(n))*sqrt(double(n))==n) {

printf("No solution\n");continue;

}

ans = Solve(n);//求得佩爾方程最小正整數解

x=ans.p%Mod,y=ans.q%Mod;

Matrix tmp,ans1;

tmp.init(); //初始化

ans1=mult(tmp,(k-1)%Mod);

ll x1=x%Mod;

x=((ans1.a[0][0]%Mod*x%Mod)%Mod+(ans1.a[1][0]%Mod*y%Mod)%Mod)%Mod;

y=((ans1.a[0][1]%Mod*x1%Mod)+(ans1.a[1][1]%Mod*y%Mod)%Mod)%Mod;

printf("%I64d,%I64d %I64d,%I64d\n",ans.p,ans.q,x%Mod,y%Mod);

}

return 0;

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c语言求佩尔方程的解设计思路,c语言版 佩尔方程求最小正整数解及第k解(矩阵快速幂)...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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