把最近在分析里學到的有趣的東西整理寫一寫，初學者不專業。

我們先來簡單介紹Rudin的數學分析里Stone-Weierstrass定理的證明^[1]。

Stone-Weierstrass定理：對于任意定義在

上的連續（continuous）函數 ，總存在一個多項式函數序列 可以一致收斂到這個函數 。

換句話說定義在

上的多項式函數空間在定義在 上的連續函數空間是稠密的，其中的度規為sup norm ，也就是 。由于閉區間是緊致的，所以其上的連續函數必定有界。證明的方式是如下構造，

不失一般性，我們假設(i)

， (ii) (如果不是，我們可以定義 )，(iii) 對于 。同時定義一個多項式函數 在 上，后面我們會介紹，實際上我們構造了一個類Dirac-delta函數，而且它是一個好核函數。其中 為歸一化參數。所以， 滿足：(i) ，(ii) 對于任意 ， 在 一致收斂到 。

通過卷積的方式定義新的函數

。我們通過變量代換 ，可以得到 。其中 意味著 ，而 是一個多項式函數，那么 是一個定義在 上的多項式函數，下面來說明 一致收斂到 ，也就是需要證明， 當 ， 。而

對于第一個式子我們可以用

的連續性，

對于第二個式子，我們可以用

有界 ，以及 在 一致收斂到 ，所以我們可以交換積分和極限的順序，也就是說

根據極限的定義，我們可以選擇一個

，當 給出

所以，當

，

，證畢。上述定理可以用卷積寫出來。

下面我們來簡單介紹卷積^[2]，首先是卷積的定義：

是一個 的周期函數，則卷積 由于周期性我們很容易計算得到

很多重要的式子可以用卷積來表示，比如傅立葉級數。首先我們定義狄利克雷核函數

而對于一個

的周期可積函數 ，與其卷積為

其中，

，為傅立葉系數。所以

為傅立葉級數的部分和。卷積有一些性質：

是 的周期可積函數 (i) (ii) (iii) (iv) （v） (vi) 是連續函數。如果這些函數都是連續的那么直接計算就可以了，如果僅僅是可積函數函數，就需要 逼近引理：對于定義在圓上的任意有界可積函數 ，界為 ，存在一個連續函數序列 ，使得 對于任意 以及 換句話說，在 norm下，可積函數 可以被連續函數序列一致收斂逼近，所以我們可以把上述卷積的性質從連續函數推到可積函數。

接下來定義好核函數(Good kernel, Approximation of the identity)。我們最終需要找到的是一些類delta函數，因為

，可以把delta函數看作是函數空間的單位元(Identity)。而我們的目的是希望找到一個函數序列 ，當 ， ，但是我們得定義這個趨近的含義。也就有了好核函數的定義：對于定義在圓上的函數序列 ，如果它滿足 (i) 對于 ， (ii) 存在 使得對于所有的 ， (iii) 對于任意的 ， 。當我們回顧Stone-Weierstrass證明的時候，實際上上述 就是一個“好核函數”，盡管定義域略微不同。滿足上述條件的一般的好核函數會給出：如果 是一個可積函數，且在 處連續，以及 是定義在圓上的好核函數，那么

證明的方法類似于最開始Stone-Weierstrass定理證明中證明

。如果 連續，那么 一致收斂到 ?？上У氖堑依死缀撕瘮? 并不是一個好核函數，這也就意味著，即使函數在某點連續，它的傅立葉級數也不一定會在這一點收斂到這個函數。 不滿足第二條，因為 發散。但是我們可以通過改變求和方式來達到一致收斂的效果，原來我們對傅立葉級數的求和解釋為先求部分和，再取極限。在這種情況下，要想一致收斂，函數需要具有連續性，以及 ，比如二階連續可導函數，或者滿足Holder連續的函數：存在常數 使得對于任意 ， 。^[3]接下來我們可以重新定義求和方式，比如Cesaro求和，比如對于一個序列 ，定義其部分和為 ，定義其Nth Cesaro和為 ，容易知道，如果 ，則 。以狄利克雷核函數為例，其Cesaro和被叫做Fejer核，也就是

可以證明這是一個好核函數。也就是說

。換句話說，如果 可積函數 在某點 連續，那么其傅立葉級數在 是Cesaro可求和的。如果 ，那么 在連續點處為零。同時也可以說明任意連續函數 可以被三角函數一致收斂逼近（Weierstrass逼近定理）。除了Cesaro求和，還有Abel求和： ，然后取 ，如果極限存在，我們就說它是Abel可求和。我們舉個例子， ， ，所以它Abel可求和，其和為 。對于傅立葉級數 ，其Abel求和為 。很自然 。其中

為泊松核函數。將上述Abel和寫成卷積的形式為

，其中可交換積分與極限的原因是因為泊松核函數在 上一致收斂。容易知道泊松核函數是一個好核函數，這也就意味著定義在圓上的可積函數在某點連續的話，那么該函數的傅立葉級數在這一點是阿貝爾可求和的。進一步，如果該函數連續，那么其傅立葉級數的Abel和會一致收斂回到這個函數。泊松函數在求解單位圓內的拉普拉斯方程上有應用。比如在單位圓內 ，邊界為 ，如果將拉普拉斯算子寫到極坐標，其解為

如果寫成卷積的形式，為

參考

^Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition.

^Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis(2003).

^滿足Holder連續的函數的傅立葉級數一致收斂到它本身?https://math.stackexchange.com/questions/442059

總結

以上是生活随笔為你收集整理的两个常数的卷积为多少_卷积(Convolution)与好核函数(Good Kernel)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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