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1 引言

數(shù)據(jù)庫的增刪改查等操作是開發(fā)過程中最為常見也是尤為重要的，尤其是現(xiàn)在大數(shù)據(jù)的興起，導致數(shù)據(jù)存儲量急劇增加，提升數(shù)據(jù)的操作效率就變得尤為關鍵。

大部分數(shù)據(jù)庫的索引都采用樹的結構存儲，這是因為樹的查詢效率相對較高，且保持有序。

對于二叉搜索樹的時間復雜度是O(logN)，在算法以及邏輯上來分析，二叉搜索樹的查找速度以及數(shù)據(jù)比較次數(shù)都是較小的。

但是我們不得不考慮一個新的問題。

數(shù)據(jù)量是遠大于內(nèi)存大小的，那我們在查找數(shù)據(jù)時并不能將全部數(shù)據(jù)同時加載至內(nèi)存。既然不能全部加載至內(nèi)存中就只能逐步的去加載磁盤中某個頁，簡而言之就是逐一的去加載磁盤，加數(shù)據(jù)分塊的加載至內(nèi)存進行查找與比較。

例如：在圖1.1所示的樹中查找10，樹中的每個節(jié)點代表一個磁盤頁。每次訪問一個新節(jié)點代表一次磁盤IO。

圖1.0圖1.1

通過查找過程可以看出，磁盤IO次數(shù)與樹的高度相關，在最壞情況下，磁盤IO次數(shù)等于樹的高度。由于磁盤IO過程是相對耗時效率較低的，因此，在設計數(shù)據(jù)存儲結構時需要降低樹的高度，即將一棵“瘦高”的樹變得“矮胖”。

當數(shù)據(jù)數(shù)目相同，在保持有序前提下，降低樹高度，只需將節(jié)點中存儲的key值增加，即二叉搜索樹中每個節(jié)點只有一個key，現(xiàn)將一個節(jié)點中存儲多個key，得到的樹即為B樹。

2 定義

B樹也稱B-樹,B-樹直接讀作B樹，不能因為有“-”號就讀作B減樹，它是一顆多路平衡查找樹。我們描述一顆B樹時需要指定它的階數(shù)，階數(shù)表示了一個結點最多有多少個孩子結點，一般用字母m表示階數(shù)。當m取2時，就是我們常見的二叉搜索樹，m為3時是2-3樹。

一顆m階的B樹定義如下：

(1)每個結點最多有m-1個關鍵字。
(2)根結點最少可以只有1個關鍵字。
(3)非根結點至少有Math.ceil(m/2)-1個關鍵字。Math.ceil(m/2)含義是向上取整。例如Math.ceil(4.5) = 5。
(4)每個結點中的關鍵字都按照從小到大的順序排列，每個關鍵字的左子樹中的所有關鍵字都小于它，而右子樹中的所有關鍵字都大于它。
(5)所有葉子結點都位于同一層，或者說根結點到每個葉子結點的長度都相同。

3 查找

B-樹的查找其實是對二叉搜索樹查找的擴展， 與二叉搜索樹不同的地方是，B-樹中每個節(jié)點有不止一棵子樹。在B-樹中查找某個結點時，需要先判斷要查找的結點在哪棵子樹上，然后在結點中逐個查找目標結點。B樹的查找過程相對簡單，與二叉搜索樹類似，因此不再贅述。

4 插入

B樹的插入操作是指在樹種插入一條新記錄，即(key, value)的鍵值對。如果B樹中已存在需要插入的鍵值對，則用需要插入的value替換舊的value。若B樹不存在這個key，則一定是在葉子結點中進行插入操作。

4.1 插入流程

B樹的插入流程如下：
??(1)根據(jù)要插入的key的值，對B樹執(zhí)行查找操作，查找到待插入數(shù)據(jù)的當前節(jié)點位置。
??(2)判斷當前結點key的個數(shù)是否小于等于m-1，若滿足，則結束直接插入數(shù)據(jù)，否則，進行第(3)步。
??(3)以結點中間的key為中心分裂成左右兩部分，然后將這個中間的key插入到父結點中，這個key的左子樹指向分裂后的左半部分，這個key的右子支指向分裂后的右半部分，然后將當前結點指向父結點，繼續(xù)進行第(3)步。

4.2 實例圖解

下面以5階B樹為例，介紹B樹的插入操作，在5階B樹中，結點最多有4個key,最少有2個key。

插入圖解：1：插入38，此時為空樹，直接插入，并作為根節(jié)點。繼續(xù)插入22、76、40，符合情形(2)，直接插入。繼續(xù)插入51，符合情形(3)，執(zhí)行分裂。

img2：按照相同的步驟繼續(xù)插入13、21。插入39，符合情形(3)，導致節(jié)點分裂。選擇中值22作為父節(jié)點，并將22節(jié)點上移，與40節(jié)點進行合并。img3：按照同樣的插入規(guī)則，繼續(xù)向樹中插入key為30、27、33、36、35、34、24、29的數(shù)據(jù)。插入完成后，繼續(xù)插入key為26的數(shù)據(jù)，插入之后需要執(zhí)行節(jié)點分裂。img4：將key為27的數(shù)據(jù)節(jié)點上移至父節(jié)點，此時父節(jié)點已經(jīng)有4個key，插入key27的數(shù)據(jù)后需要執(zhí)行節(jié)點分裂。在插入key為26的數(shù)據(jù)后，導致根節(jié)點發(fā)生分裂，樹的高度加1。img

4.3 性能分析

B樹插入過程首先需要執(zhí)行一次查找操作，B樹的查找操作的時間復雜度為O(mlogmn)。其中m為B樹的階數(shù)，n為B樹中key的數(shù)目。在插入過程，最耗時的情形即為：插入數(shù)據(jù)后導致根節(jié)點發(fā)生分裂，分裂節(jié)點的操作是常數(shù)級，分裂操作向上回溯的時間復雜度為O(h)。因此，B樹的插入操作的時間復雜度近似于查找操作，即O(mlogmn)。

5 刪除

5.1 刪除流程

B樹的刪除流程如下：
??(1)如果當前需要刪除的key位于非葉子結點上，則用后繼key(這里的后繼key均指后繼記錄的意思)覆蓋要刪除的key，然后在后繼key所在的子支中刪除該后繼key。此時后繼key一定位于葉子結點上，這個過程和二叉搜索樹刪除結點的方式類似。刪除這個記錄后執(zhí)行第2步
??(2)該結點key個數(shù)大于等于Math.ceil(m/2)-1，結束刪除操作，否則執(zhí)行第(3)步。
??(3)如果兄弟結點key個數(shù)大于Math.ceil(m/2)-1，則父結點中的key下移到該結點，兄弟結點中的一個key上移，刪除操作結束。否則，將父結點中的key下移與當前結點及它的兄弟結點中的key合并，形成一個新的結點。原父結點中的key的兩個孩子指針就變成了一個孩子指針，指向這個新結點。然后當前結點的指針指向父結點，重復第(2)步。

5.2 實例圖解

刪除圖解：1：首先刪除21，符合情形(2)直接刪除。刪除21后，繼續(xù)刪除27，符合情形(1)，使用后繼節(jié)點28替代27，并刪除28。

img2：刪除28后，當前節(jié)點只有一個key，因此需要按照情形(3)調(diào)整。當前節(jié)點的兄弟節(jié)點有3個key，父節(jié)點中key28下移，兄弟節(jié)點中key26上移，調(diào)整結束。調(diào)整完畢后繼續(xù)刪除32。img3：刪除32后，需要按照情形(3)進行調(diào)整，當前節(jié)點的兄弟節(jié)點只有2個key，則將父節(jié)點下移，將當前節(jié)點與一個兄弟節(jié)點合并，調(diào)整完畢。繼續(xù)刪除39，刪除39后按照情形(3)進行調(diào)整。img4：當前節(jié)點變?yōu)橹缓衚ey40的節(jié)點，需要按照情形(3)繼續(xù)調(diào)整，執(zhí)行節(jié)點的合并，合并操作中包含根節(jié)點，導致合并之后的樹的高度減1。img

5.3 性能分析

B樹的刪除操作同樣需要執(zhí)行查找過程，時間復雜度為O(mlogmn)。刪除數(shù)據(jù)過程與插入過程類似，最壞情況需要回溯O(h)。因此B樹的刪除操作的時間復雜度近似為O(mlogmn)。

6 總結

B樹是一種平衡的多路查找樹。其設計思路主要是通過節(jié)點中存儲不止一個key，來降低樹的高度。同等比較次數(shù)下，樹的高度小保證磁盤IO次數(shù)相對較少，提高查找效率。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的b 树查找时间复杂度_你心里是没点B树吗？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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