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1 引言

數(shù)據(jù)庫(kù)的增刪改查等操作是開(kāi)發(fā)過(guò)程中最為常見(jiàn)也是尤為重要的，尤其是現(xiàn)在大數(shù)據(jù)的興起，導(dǎo)致數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量急劇增加，提升數(shù)據(jù)的操作效率就變得尤為關(guān)鍵。

大部分?jǐn)?shù)據(jù)庫(kù)的索引都采用樹(shù)的結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，這是因?yàn)闃?shù)的查詢(xún)效率相對(duì)較高，且保持有序。

對(duì)于二叉搜索樹(shù)的時(shí)間復(fù)雜度是O(logN)，在算法以及邏輯上來(lái)分析，二叉搜索樹(shù)的查找速度以及數(shù)據(jù)比較次數(shù)都是較小的。

但是我們不得不考慮一個(gè)新的問(wèn)題。

數(shù)據(jù)量是遠(yuǎn)大于內(nèi)存大小的，那我們?cè)诓檎覕?shù)據(jù)時(shí)并不能將全部數(shù)據(jù)同時(shí)加載至內(nèi)存。既然不能全部加載至內(nèi)存中就只能逐步的去加載磁盤(pán)中某個(gè)頁(yè)，簡(jiǎn)而言之就是逐一的去加載磁盤(pán)，加數(shù)據(jù)分塊的加載至內(nèi)存進(jìn)行查找與比較。

例如：在圖1.1所示的樹(shù)中查找10，樹(shù)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)磁盤(pán)頁(yè)。每次訪(fǎng)問(wèn)一個(gè)新節(jié)點(diǎn)代表一次磁盤(pán)IO。

圖1.0圖1.1

通過(guò)查找過(guò)程可以看出，磁盤(pán)IO次數(shù)與樹(shù)的高度相關(guān)，在最壞情況下，磁盤(pán)IO次數(shù)等于樹(shù)的高度。由于磁盤(pán)IO過(guò)程是相對(duì)耗時(shí)效率較低的，因此，在設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)時(shí)需要降低樹(shù)的高度，即將一棵“瘦高”的樹(shù)變得“矮胖”。

當(dāng)數(shù)據(jù)數(shù)目相同，在保持有序前提下，降低樹(shù)高度，只需將節(jié)點(diǎn)中存儲(chǔ)的key值增加，即二叉搜索樹(shù)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)key，現(xiàn)將一個(gè)節(jié)點(diǎn)中存儲(chǔ)多個(gè)key，得到的樹(shù)即為B樹(shù)。

2 定義

B樹(shù)也稱(chēng)B-樹(shù),B-樹(shù)直接讀作B樹(shù)，不能因?yàn)橛小?”號(hào)就讀作B減樹(shù)，它是一顆多路平衡查找樹(shù)。我們描述一顆B樹(shù)時(shí)需要指定它的階數(shù)，階數(shù)表示了一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有多少個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)，一般用字母m表示階數(shù)。當(dāng)m取2時(shí)，就是我們常見(jiàn)的二叉搜索樹(shù)，m為3時(shí)是2-3樹(shù)。

一顆m階的B樹(shù)定義如下：

(1)每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有m-1個(gè)關(guān)鍵字。
(2)根結(jié)點(diǎn)最少可以只有1個(gè)關(guān)鍵字。
(3)非根結(jié)點(diǎn)至少有Math.ceil(m/2)-1個(gè)關(guān)鍵字。Math.ceil(m/2)含義是向上取整。例如Math.ceil(4.5) = 5。
(4)每個(gè)結(jié)點(diǎn)中的關(guān)鍵字都按照從小到大的順序排列，每個(gè)關(guān)鍵字的左子樹(shù)中的所有關(guān)鍵字都小于它，而右子樹(shù)中的所有關(guān)鍵字都大于它。
(5)所有葉子結(jié)點(diǎn)都位于同一層，或者說(shuō)根結(jié)點(diǎn)到每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的長(zhǎng)度都相同。

3 查找

B-樹(shù)的查找其實(shí)是對(duì)二叉搜索樹(shù)查找的擴(kuò)展， 與二叉搜索樹(shù)不同的地方是，B-樹(shù)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)有不止一棵子樹(shù)。在B-樹(shù)中查找某個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí)，需要先判斷要查找的結(jié)點(diǎn)在哪棵子樹(shù)上，然后在結(jié)點(diǎn)中逐個(gè)查找目標(biāo)結(jié)點(diǎn)。B樹(shù)的查找過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，與二叉搜索樹(shù)類(lèi)似，因此不再贅述。

4 插入

B樹(shù)的插入操作是指在樹(shù)種插入一條新記錄，即(key, value)的鍵值對(duì)。如果B樹(shù)中已存在需要插入的鍵值對(duì)，則用需要插入的value替換舊的value。若B樹(shù)不存在這個(gè)key，則一定是在葉子結(jié)點(diǎn)中進(jìn)行插入操作。

4.1 插入流程

B樹(shù)的插入流程如下：
??(1)根據(jù)要插入的key的值，對(duì)B樹(shù)執(zhí)行查找操作，查找到待插入數(shù)據(jù)的當(dāng)前節(jié)點(diǎn)位置。
??(2)判斷當(dāng)前結(jié)點(diǎn)key的個(gè)數(shù)是否小于等于m-1，若滿(mǎn)足，則結(jié)束直接插入數(shù)據(jù)，否則，進(jìn)行第(3)步。
??(3)以結(jié)點(diǎn)中間的key為中心分裂成左右兩部分，然后將這個(gè)中間的key插入到父結(jié)點(diǎn)中，這個(gè)key的左子樹(shù)指向分裂后的左半部分，這個(gè)key的右子支指向分裂后的右半部分，然后將當(dāng)前結(jié)點(diǎn)指向父結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)進(jìn)行第(3)步。

4.2 實(shí)例圖解

下面以5階B樹(shù)為例，介紹B樹(shù)的插入操作，在5階B樹(shù)中，結(jié)點(diǎn)最多有4個(gè)key,最少有2個(gè)key。

插入圖解：1：插入38，此時(shí)為空樹(shù)，直接插入，并作為根節(jié)點(diǎn)。繼續(xù)插入22、76、40，符合情形(2)，直接插入。繼續(xù)插入51，符合情形(3)，執(zhí)行分裂。

img2：按照相同的步驟繼續(xù)插入13、21。插入39，符合情形(3)，導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)分裂。選擇中值22作為父節(jié)點(diǎn)，并將22節(jié)點(diǎn)上移，與40節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合并。img3：按照同樣的插入規(guī)則，繼續(xù)向樹(shù)中插入key為30、27、33、36、35、34、24、29的數(shù)據(jù)。插入完成后，繼續(xù)插入key為26的數(shù)據(jù)，插入之后需要執(zhí)行節(jié)點(diǎn)分裂。img4：將key為27的數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)上移至父節(jié)點(diǎn)，此時(shí)父節(jié)點(diǎn)已經(jīng)有4個(gè)key，插入key27的數(shù)據(jù)后需要執(zhí)行節(jié)點(diǎn)分裂。在插入key為26的數(shù)據(jù)后，導(dǎo)致根節(jié)點(diǎn)發(fā)生分裂，樹(shù)的高度加1。img

4.3 性能分析

B樹(shù)插入過(guò)程首先需要執(zhí)行一次查找操作，B樹(shù)的查找操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(mlogmn)。其中m為B樹(shù)的階數(shù)，n為B樹(shù)中key的數(shù)目。在插入過(guò)程，最耗時(shí)的情形即為：插入數(shù)據(jù)后導(dǎo)致根節(jié)點(diǎn)發(fā)生分裂，分裂節(jié)點(diǎn)的操作是常數(shù)級(jí)，分裂操作向上回溯的時(shí)間復(fù)雜度為O(h)。因此，B樹(shù)的插入操作的時(shí)間復(fù)雜度近似于查找操作，即O(mlogmn)。

5 刪除

5.1 刪除流程

B樹(shù)的刪除流程如下：
??(1)如果當(dāng)前需要?jiǎng)h除的key位于非葉子結(jié)點(diǎn)上，則用后繼key(這里的后繼key均指后繼記錄的意思)覆蓋要?jiǎng)h除的key，然后在后繼key所在的子支中刪除該后繼key。此時(shí)后繼key一定位于葉子結(jié)點(diǎn)上，這個(gè)過(guò)程和二叉搜索樹(shù)刪除結(jié)點(diǎn)的方式類(lèi)似。刪除這個(gè)記錄后執(zhí)行第2步
??(2)該結(jié)點(diǎn)key個(gè)數(shù)大于等于Math.ceil(m/2)-1，結(jié)束刪除操作，否則執(zhí)行第(3)步。
??(3)如果兄弟結(jié)點(diǎn)key個(gè)數(shù)大于Math.ceil(m/2)-1，則父結(jié)點(diǎn)中的key下移到該結(jié)點(diǎn)，兄弟結(jié)點(diǎn)中的一個(gè)key上移，刪除操作結(jié)束。否則，將父結(jié)點(diǎn)中的key下移與當(dāng)前結(jié)點(diǎn)及它的兄弟結(jié)點(diǎn)中的key合并，形成一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)。原父結(jié)點(diǎn)中的key的兩個(gè)孩子指針就變成了一個(gè)孩子指針，指向這個(gè)新結(jié)點(diǎn)。然后當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的指針指向父結(jié)點(diǎn)，重復(fù)第(2)步。

5.2 實(shí)例圖解

刪除圖解：1：首先刪除21，符合情形(2)直接刪除。刪除21后，繼續(xù)刪除27，符合情形(1)，使用后繼節(jié)點(diǎn)28替代27，并刪除28。

img2：刪除28后，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)key，因此需要按照情形(3)調(diào)整。當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的兄弟節(jié)點(diǎn)有3個(gè)key，父節(jié)點(diǎn)中key28下移，兄弟節(jié)點(diǎn)中key26上移，調(diào)整結(jié)束。調(diào)整完畢后繼續(xù)刪除32。img3：刪除32后，需要按照情形(3)進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的兄弟節(jié)點(diǎn)只有2個(gè)key，則將父節(jié)點(diǎn)下移，將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)與一個(gè)兄弟節(jié)點(diǎn)合并，調(diào)整完畢。繼續(xù)刪除39，刪除39后按照情形(3)進(jìn)行調(diào)整。img4：當(dāng)前節(jié)點(diǎn)變?yōu)橹缓衚ey40的節(jié)點(diǎn)，需要按照情形(3)繼續(xù)調(diào)整，執(zhí)行節(jié)點(diǎn)的合并，合并操作中包含根節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致合并之后的樹(shù)的高度減1。img

5.3 性能分析

B樹(shù)的刪除操作同樣需要執(zhí)行查找過(guò)程，時(shí)間復(fù)雜度為O(mlogmn)。刪除數(shù)據(jù)過(guò)程與插入過(guò)程類(lèi)似，最壞情況需要回溯O(h)。因此B樹(shù)的刪除操作的時(shí)間復(fù)雜度近似為O(mlogmn)。

6 總結(jié)

B樹(shù)是一種平衡的多路查找樹(shù)。其設(shè)計(jì)思路主要是通過(guò)節(jié)點(diǎn)中存儲(chǔ)不止一個(gè)key，來(lái)降低樹(shù)的高度。同等比較次數(shù)下，樹(shù)的高度小保證磁盤(pán)IO次數(shù)相對(duì)較少，提高查找效率。

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總結(jié)

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