瀉藥，我將建立道瓊斯工業平均指數(DJIA)日交易量對數比的ARMA-GARCH模型來演示建模步驟。

原文鏈接：R語言： GARCH模型股票交易量的研究道瓊斯股票市場指數?tecdat.cn

獲取數據

load(file='DowEnvironment.RData')

日交易量

每日交易量內發生的 變化。

plot(dj_vol)

首先，我們驗證具有常數均值的線性回歸在統計上是顯著的。

在休息時間= 6時達到最小BIC。

以下是道瓊斯日均交易量與水平變化(紅線) 。

summary(bp_dj_vol)##

## Optimal (m+1)-segment partition:

##

## Call:

## breakpoints.formula(formula = dj_vol ~ 1, h = 0.1)

##

## Breakpoints at observation number:

##

## m = 1 2499

## m = 2 896 2499

## m = 3 626 1254 2499

## m = 4 342 644 1254 2499

## m = 5 342 644 1219 1649 2499

## m = 6 320 622 924 1251 1649 2499

## m = 7 320 622 924 1251 1692 2172 2499

## m = 8 320 622 924 1251 1561 1863 2172 2499

##

## Corresponding to breakdates:

##

## m = 1

## m = 2 0.296688741721854

## m = 3 0.207284768211921

## m = 4 0.113245033112583 0.213245033112583

## m = 5 0.113245033112583 0.213245033112583

## m = 6 0.105960264900662 0.205960264900662 0.305960264900662

## m = 7 0.105960264900662 0.205960264900662 0.305960264900662

## m = 8 0.105960264900662 0.205960264900662 0.305960264900662

##

## m = 1

## m = 2

## m = 3 0.41523178807947

## m = 4 0.41523178807947

## m = 5 0.40364238410596 0.546026490066225

## m = 6 0.414238410596027 0.546026490066225

## m = 7 0.414238410596027 0.560264900662252

## m = 8 0.414238410596027 0.516887417218543 0.616887417218543

##

## m = 1 0.827483443708609

## m = 2 0.827483443708609

## m = 3 0.827483443708609

## m = 4 0.827483443708609

## m = 5 0.827483443708609

## m = 6 0.827483443708609

## m = 7 0.719205298013245 0.827483443708609

## m = 8 0.719205298013245 0.827483443708609

##

## Fit:

##

## m 0 1 2 3 4 5 6

## RSS 3.872e+19 2.772e+19 1.740e+19 1.547e+19 1.515e+19 1.490e+19 1.475e+19

## BIC 1.206e+05 1.196e+05 1.182e+05 1.179e+05 1.178e+05 1.178e+05 1.178e+05

##

## m 7 8

## RSS 1.472e+19 1.478e+19

## BIC 1.178e+05 1.178e+05

lwd = c(3,1), col = c("red", "black"))

每日交易量對數比率模型

每日交易量對數比率：plot(dj_vol_log_ratio)

異常值檢測

下面我們將原始時間序列與調整后的異常值進行比較。

相關圖

pacf(dj_vol_log_ratio)

上圖可能表明 ARMA(p，q)模型的p和q> 0.

單位根測試

我們 提供Augmented Dickey-Fuller測試。

根據 測試統計數據與臨界值進行比較，我們拒絕單位根存在的零假設。

ARMA模型

我們現在確定時間序列的ARMA結構，以便對結果殘差運行ARCH效果測試。

ma1系數在統計上不顯著。因此，我們嘗試使用以下ARMA(2,3)模型。

所有系數都具有統計顯著性，AIC低于第一個模型。然后我們嘗試使用ARMA(1,2)。##

## Call:

## arima(x = dj_vol_log_ratio, order = c(1, 0, 2), include.mean = FALSE)

##

## Coefficients:

## ar1 ma1 ma2

## 0.6956 -1.3183 0.3550

## s.e. 0.0439 0.0518 0.0453

##

## sigma^2 estimated as 0.06598: log likelihood = -180.92, aic = 367.84

## z test of coefficients:

##

## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

## ar1 0.695565 0.043874 15.8537 < 2.2e-16 ***

## ma1 -1.318284 0.051787 -25.4557 < 2.2e-16 ***

## ma2 0.355015 0.045277 7.8409 4.474e-15 ***

## ---

## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

該模型在集合中具有最高的AIC，并且所有系數具有統計顯著性。

我們還可以嘗試 進一步驗證。eacf(dj_vol_log_ratio)

## AR / MA

## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

## 0 xooxxooxooxooo

## 1 xxoxoooxooxooo

## 2 xxxxooooooxooo

## 3 xxxxooooooxooo

## 4 xxxxxoooooxooo

## 5 xxxxoooooooooo

## 6 xxxxxoxooooooo

## 7 xxxxxooooooooo

以“O”為頂點的左上角三角形似乎位于{(1,2)，(2,2)，(1,3)，(2,3)}之內，代表潛在的集合( p，q)根據eacf()函數輸出的值。

我們已經在集合{(3,2)(2,3)(1,2)}內驗證了具有(p，q)階的ARMA模型。讓我們試試{(2,2)(1,3)}##

## Call:

## arima(x = dj_vol_log_ratio, order = c(2, 0, 2), include.mean = FALSE)

##

## Coefficients:

## ar1 ar2 ma1 ma2

## 0.7174 -0.0096 -1.3395 0.3746

## s.e. 0.1374 0.0560 0.1361 0.1247

##

## sigma^2 estimated as 0.06598: log likelihood = -180.9, aic = 369.8

## z test of coefficients:

##

## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

## ar1 0.7173631 0.1374135 5.2205 1.785e-07 ***

## ar2 -0.0096263 0.0560077 -0.1719 0.863536

## ma1 -1.3394720 0.1361208 -9.8403 < 2.2e-16 ***

## ma2 0.3746317 0.1247117 3.0040 0.002665 **

## ---

## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

ar2系數在統計上不顯著。##

## Call:

## arima(x = dj_vol_log_ratio, order = c(1, 0, 3), include.mean = FALSE)

##

## Coefficients:

## ar1 ma1 ma2 ma3

## 0.7031 -1.3253 0.3563 0.0047

## s.e. 0.0657 0.0684 0.0458 0.0281

##

## sigma^2 estimated as 0.06598: log likelihood = -180.9, aic = 369.8

## z test of coefficients:

##

## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

## ar1 0.7030934 0.0656902 10.7032 < 2.2e-16 ***

## ma1 -1.3253176 0.0683526 -19.3894 < 2.2e-16 ***

## ma2 0.3563425 0.0458436 7.7730 7.664e-15 ***

## ma3 0.0047019 0.0280798 0.1674 0.867

## ---

## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

ma3系數在統計上不顯著。

ARCH效果測試

如果ARCH效應對于我們的時間序列的殘差具有統計顯著性，則需要GARCH模型。

我們測試候選平均模型ARMA(2,3)。## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects

##

## data: resid_dj_vol_log_ratio - mean(resid_dj_vol_log_ratio)

## Chi-squared = 78.359, df = 12, p-value = 8.476e-12

根據報告的p值，我們拒絕無ARCH效應的零假設。

讓我們看一下殘差相關圖。par(mfrow=c(1,2))

acf(resid_dj_vol_log_ratio)

pacf(resid_dj_vol_log_ratio)

我們測試了第二個候選平均模型ARMA(1,2)。## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects

##

## data: resid_dj_vol_log_ratio - mean(resid_dj_vol_log_ratio)

## Chi-squared = 74.768, df = 12, p-value = 4.065e-11

根據報告的p值，我們拒絕無ARCH效應的零假設。

讓我們看一下殘差相關圖。par(mfrow=c(1,2))

acf(resid_dj_vol_log_ratio)

pacf(resid_dj_vol_log_ratio)

要檢查 對數比率內的不對稱性，將顯示匯總統計數據和密度圖。## DJI.Volume

## nobs 3019.000000

## NAs 0.000000

## Minimum -2.301514

## Maximum 2.441882

## 1. Quartile -0.137674

## 3. Quartile 0.136788

## Mean -0.000041

## Median -0.004158

## Sum -0.124733

## SE Mean 0.005530

## LCL Mean -0.010885

## UCL Mean 0.010802

## Variance 0.092337

## Stdev 0.303869

## Skewness -0.182683

## Kurtosis 9.463384

plot(density(dj_vol_log_ratio))

因此，對于每日交易量對數比，還將提出eGARCH模型。

為了將結果與兩個候選平均模型ARMA(1,2)和ARMA(2,3)進行比較，我們進行了兩次擬合

ARMA-GARCH：ARMA(1,2)+ eGARCH(1,1)

所有系數都具有統計顯著性。然而，基于上面報道的標準化殘差p值的加權Ljung-Box檢驗，我們拒絕了對于本模型沒有殘差相關性的零假設。

ARMA-GARCH：ARMA(2,3)+ eGARCH(1,1)##

## *---------------------------------*

## * GARCH Model Fit *

## *---------------------------------*

##

## Conditional Variance Dynamics

## -----------------------------------

## GARCH Model : eGARCH(1,1)

## Mean Model : ARFIMA(2,0,3)

## Distribution : sstd

##

## Optimal Parameters

## ------------------------------------

## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

## ar1 -0.18607 0.008580 -21.6873 0.0e+00

## ar2 0.59559 0.004596 129.5884 0.0e+00

## ma1 -0.35619 0.013512 -26.3608 0.0e+00

## ma2 -0.83010 0.004689 -177.0331 0.0e+00

## ma3 0.26277 0.007285 36.0678 0.0e+00

## omega -1.92262 0.226738 -8.4795 0.0e+00

## alpha1 0.14382 0.033920 4.2401 2.2e-05

## beta1 0.31060 0.079441 3.9098 9.2e-05

## gamma1 0.43137 0.043016 10.0281 0.0e+00

## skew 1.32282 0.031382 42.1523 0.0e+00

## shape 3.48939 0.220787 15.8043 0.0e+00

##

## Robust Standard Errors:

## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

## ar1 -0.18607 0.023940 -7.7724 0.000000

## ar2 0.59559 0.022231 26.7906 0.000000

## ma1 -0.35619 0.024244 -14.6918 0.000000

## ma2 -0.83010 0.004831 -171.8373 0.000000

## ma3 0.26277 0.030750 8.5453 0.000000

## omega -1.92262 0.266462 -7.2154 0.000000

## alpha1 0.14382 0.032511 4.4239 0.000010

## beta1 0.31060 0.095329 3.2582 0.001121

## gamma1 0.43137 0.047092 9.1602 0.000000

## skew 1.32282 0.037663 35.1225 0.000000

## shape 3.48939 0.223470 15.6146 0.000000

##

## LogLikelihood : 356.4994

##

## Information Criteria

## ------------------------------------

##

## Akaike -0.22888

## Bayes -0.20698

## Shibata -0.22891

## Hannan-Quinn -0.22101

##

## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals

## ------------------------------------

## statistic p-value

## Lag[1] 0.7678 0.38091

## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][14] 7.7336 0.33963

## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][24] 17.1601 0.04972

## d.o.f=5

## H0 : No serial correlation

##

## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals

## ------------------------------------

## statistic p-value

## Lag[1] 0.526 0.4683

## Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 1.677 0.6965

## Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 2.954 0.7666

## d.o.f=2

##

## Weighted ARCH LM Tests

## ------------------------------------

## Statistic Shape Scale P-Value

## ARCH Lag[3] 1.095 0.500 2.000 0.2955

## ARCH Lag[5] 1.281 1.440 1.667 0.6519

## ARCH Lag[7] 1.940 2.315 1.543 0.7301

##

## Nyblom stability test

## ------------------------------------

## Joint Statistic: 5.3764

## Individual Statistics:

## ar1 0.12923

## ar2 0.20878

## ma1 1.15005

## ma2 1.15356

## ma3 0.97487

## omega 2.04688

## alpha1 0.09695

## beta1 2.01026

## gamma1 0.18039

## skew 0.38131

## shape 2.40996

##

## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)

## Joint Statistic: 2.49 2.75 3.27

## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75

##

## Sign Bias Test

## ------------------------------------

## t-value prob sig

## Sign Bias 1.4929 0.13556

## Negative Sign Bias 0.6317 0.52766

## Positive Sign Bias 2.4505 0.01432 **

## Joint Effect 6.4063 0.09343 *

##

##

## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:

## ------------------------------------

## group statistic p-value(g-1)

## 1 20 17.92 0.5278

## 2 30 33.99 0.2395

## 3 40 44.92 0.2378

## 4 50 50.28 0.4226

##

##

## Elapsed time : 1.660402

所有系數都具有統計顯著性。沒有找到標準化殘差或標準化平方殘差的相關性。模型可以正確捕獲所有ARCH效果。調整后的Pearson擬合優度檢驗不拒絕零假設，即標準化殘差的經驗分布和所選擇的理論分布是相同的。然而：

*對于其中一些模型參數隨時間變化恒定的Nyblom穩定性測試零假設被拒絕

par(mfrow=c(2,2))

plot(garchfit, which=8)

plot(garchfit, which=9)

plot(garchfit, which=10)

plot(garchfit, which=11)

我們用平均模型擬合(紅線)和條件波動率(藍線)顯示原始道瓊斯日均交易量對數時間序列。

對數波動率分析

以下是我們的模型ARMA(2,2)+ eGARCH(1,1)產生的條件波動率圖。

plot(cond_volatility)

顯示了按年度的條件波動率的線圖。par(mfrow=c(6,2))

pl

pl

顯示了按年度計算的條件波動率框圖。

結論

我們研究了基本統計指標，如平均值，偏差，偏度和峰度，以了解多年來價值觀的差異，以及價值分布對稱性和尾部。從這些摘要開始，我們獲得了平均值，中位數，偏度和峰度指標的有序列表，以更好地突出多年來的差異。

密度圖可以了解我們的經驗樣本分布的不對稱性和尾部性。

對于對數回報，我們構建了ARMA-GARCH模型(指數GARCH，特別是作為方差模型)，以獲得條件波動率。同樣，可視化作為線和框圖突出顯示了年內和年之間的條件波動率變化。這種調查的動機是，波動率是變化幅度的指標，用簡單的詞匯表示，并且是應用于資產的對數收益時的基本風險度量。有幾種類型的波動性(有條件的，隱含的，實現的波動率)。

交易量可以被解釋為衡量市場活動幅度和投資者興趣的指標。計算交易量指標(包括波動率)可以了解這種活動/利息水平如何隨時間變化。

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最受歡迎的見解

總結

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