空間索引是對存儲在介質上的數據位置信息的描述，用來提高系統對數據獲取的效率。GIS涉及的各種海量復雜數據存儲于外存，如果對磁盤上的數據的位置不加以記錄和組織，每查詢一個數據項都要掃描整個數據文件，則這種訪問磁盤的代價將嚴重影響系統的效率。因此索引的建立與處理至關重要。此外GIS所表現的地理數據多維性使得傳統的B樹索引不再適合，因為B樹所針對的字符、數字等傳統數據類型是在一個良序集之中，即都是在一個維度上，集合中任給兩個元素，都可以在這個維度上確定其關系只可能是大于、小于、等于三種，若對多個字段進行索引，必須指定各個字段的優先級形成一個組合字段，而地理數據的多維性，在任何方向上并不存在優先級問題，因此B樹并不能對地理數據進行有效的索引，所以需要研究特殊的能適應多維特性的空間索引方式。

1984年Guttman發表了《R樹:一種空間查詢的動態索引結構》[1]一種高度平衡樹，由中間節點和葉節點組成，實際數據對象的最小外接矩形存儲在葉節點中，中間節點通過聚集其低層節點的外接矩形形成，包含所有這些外接矩形。其后，人們在此基礎上針對不同空間運算提出了不同改進，才形成了一個繁榮的索引樹族，是目前流行的空間索引。

R樹是一種采用對象界定技術的高度平衡樹,是B?樹在?k?維空間上的自然擴展，它將空間對象按范圍劃分，每個結點都對應一個區域和一個磁盤頁，非葉結點的磁盤頁中存儲其所有子結點的區域范圍，非葉結點的所有子結點的區域都落在它的區域范圍之內；葉結點的磁盤頁中存儲其區域范圍之內的所有空間對象的外接矩形。每個結點所能擁有的子結點數目有上、下限，下限保證對磁盤空間的有效利用，上限保證每個結點對應一個磁盤頁，當插入新的結點導致某結點要求的空間大于一個磁盤頁時，該結點一分為二。R樹是一種動態索引結構，即：它的查詢可與插入或刪除同時進行，而且不需要定期地對樹結構進行重新組織。

R-Tree數據結構

（1）R-Tree是n叉樹，n稱為R-Tree的扇（fan）。

（2）每個結點對應一個矩形。

（3）葉子結點上包含了小于等于n的對象，其對應的矩為所有對象的外包矩形。

（4）非葉結點的矩形為所有子結點矩形的外包矩形。

R-tree具有以下性質：

（1）除根節點外，每個節點的項數介于最小項數m和最大項數M之間；

（2）根節點至少有兩個孩子，除非它是葉子節點；

（3）所有葉子節點位于同一層；

（4）同一節點中項，其排列沒有順序要求

R-Tree的的評價標準為：

（1）位置上相鄰的結點盡量在樹中聚集為一個父結點。

（2）同一層中各兄弟結點相交部分比例盡量小。

R樹是一種用于處理多維數據的數據結構，用來訪問二維或者更高維區域對象組成的空間數據.R樹是一棵平衡樹。樹上有兩類結點：葉子結點和非葉子結點。每一個結點由若干個索引項構成。對于葉子結點，索引項形如(Index，Obj_ID)。其中，Index表示包圍空間數據對象的最小外接矩形MBR，Obj_ID標識一個空間數據對象。對于一個非葉子結點，它的索引項形如(Index，Child_Pointer)。?Child_Pointer指向該結點的子結點。Index仍指一個矩形區域，該矩形區域包圍了子結點上所有索引項MBR的最小矩形區域。一棵R樹的如圖1所示。

R-Tree算法描述

（I）插入算法

?????基本思想：找到合適的葉子節點，插入之，若需分裂，則由下至上調整MBR值。算法如下：

?????I1:?調用ChooseLeaf來選擇一個合適的葉子節點L以容納需插入項E

?????I2:?若L中還能容納E，則加入之；否則調用SplitNode來獲取兩個節點L和LL，它們包含E和L中原有的所有項

?????I3:?調用AdjustTree,傳遞參數L,LL(若產生了分裂)

?????I4:?若節點分裂向上傳播導致根節點的分裂，則生成新的根節點。

算法ChooseLeaf:?選擇一個合適的葉子節點以放置新項E。合適的評價標準是插入E后的節點MBR面積增加度最少。

?????C1:?設N指向根結點root

?????C2:?若N是葉子節點，返回N??

?????C3:?若N不是葉子節點，讓F表示N中的一項，該項F容納E后，則N在面積上只需作面積最小擴展

?????C4:?設N指向葉子節點，則返回C2.

算法AdjustTree:?從葉子節點向根節點進行調整

?????A1:?設N=L,若L進行了分裂，則設NN=LL

?????A2:?若N為根節點，則返回

?????A3:?設P為N的雙親節點，EN為節點P中指向N的項，調整項EN的MBR

?????A4:?若NN存在，創建一個新項ENN,使其指向NN，同時計算出ENN的MBR.將ENN加入P，若不能容納則調用SplitNode產生節點P和PP,包含ENN和原來P中所有項

?????A5:?設N=P,?NN=PP,?轉至A2.

算法SplitNode:?將M+1項分成兩組，將它們加入到兩個新節點。

判斷節點分裂好壞的一個標準為：分裂后，兩個新節點對應的MBR的面積之和最小。下圖展示了節點分裂的一個例子。

一個時間復雜度為二次（Quadratic）的分裂算法如下：

??????S1：?調用PickSeeds選出兩項，將它們分別作為兩組的第一個元素；

??????S2：?若所有項都已分配完，則返回；若一組中的項如此之少，以至于將剩下的所有項添至其中才能滿足項數達到m的要求，則進行分配且返回；

??????S3：?調用PickNext選擇下一項，將其分配到某組中，該組在容納該項后，MBR只需作最小面積擴展，轉至S2.

算法PickSeeds：

??????PS1：?對每一項E1和E2，計算d=area(E1和E2合并之后的MBR)?–?area(E1)?–?area(E2)；

??????PS2：選擇d值最大的一對項。

算法PickNext：

??????PN1：對每一項E，計算d1=<將E加入組1后MBR增加的面積>，同理計算d2；

??????PN2：選出d1和d2值差距最大的項。

（2）R-tree刪除算法

算法Delete（Entry?E)：從R-tree中刪除項E

D1：調用FindLeaf來尋找存放E的葉子結點L?;若沒有找到則停止；

D2：從L中刪去E；

D3：調用CondenseTree，傳遞參數L?:

D4：:若根結點只有一個孩子，則讓該孩子結點成為新根節點。

算法FindLeaf?(NODE??T,??Entry??E?)

FL1：若T不是葉子結點，則對于T中每一個與E相重疊的項，將該項所指的結點作參數，遞歸調用FindLeaf

FL2：若T是葉子結點，則檢查T中是否有與E相等的項，若有，則返回T

算法CondenseTree?：傳遞參數結點L?，該結點進行了刪除項的操作

CT1：設N=L?，將存儲被刪結點的集合Q置為空；

CT2：若N是根，轉至CT6；否則，設P為N的父節點，EN為P中指向N的項；

CT3：若N中的項數小于m，在P中刪除EN，并把N加入到集合Q中；

CT4：若N沒有被刪除，調整EN的MBR；

CT5：設N=P,轉向CT2；

CT6：重新插入集合Q中所有節點中的所有項，對于葉子節點中的項仍插入到葉子節點

中，但對于中間節點的項需要插入到其原來所在的那一層。

R樹主要變體

R樹最初由Guttman于1984年提出，其后，人們在此基礎上針對不同的空間操作需求提出了各種改進方案。經過二十多年的發展，不斷產生的R樹變體逐漸形成了一個枝繁葉茂的空間索引R樹家族。

1?R+樹[2]

在Guttman的工作的基礎上，許多R樹的變種被開發出來，?Sellis等提出了R+樹[10]，R+樹與R樹類似，主要區別在于R+樹中兄弟結點對應的空間區域無重疊，這樣劃分空間消除了R樹因允許結點間的重疊而產生的“死區域”（一個結點內不含本結點數據的空白區域），減少了無效查詢數，從而大大提高空間索引的效率，但對于插入、刪除空間對象的操作，則由于操作要保證空間區域無重疊而效率降低。同時R+樹對跨區域的空間物體的數據的存儲是有冗余的，而且隨著數據庫中數據的增多，冗余信息會不斷增長。

2?R*樹[3]

在1990年，Beckman和Kriegel提出了最佳動態R樹的變種——R*樹[11]。R*樹和R樹一樣允許矩形的重疊，但在構造算法R*樹不僅考慮了索引空間的“面積”，而且還考慮了索引空間的重疊。該方法對結點的插入、分裂算法進行了改進，并采用“強制重新插入”的方法使樹的結構得到優化。但R*樹算法仍然不能有效地降低空間的重疊程度，尤其是在數據量較大、空間維數增加時表現的更為明顯。R*樹無法處理維數高于20的情況。

3?QR樹

QR樹利用四叉樹將空間劃分成一些子空間，在各子空間內使用許多R樹索引，從而改良索引空間的重疊。QR樹結合了四叉樹與R樹的優勢，是二者的綜合應用。實驗證明：與R樹相比，QR樹以略大（有時甚至略小）的空間開銷代價，換取了更高的性能，且索引目標數越多，QR樹的整體性能越好。

4?SS樹

SS樹對R*樹進行了改進，通過以下措施提高了最鄰近查詢的性能：用最小邊界圓代替最小邊界矩形表示區域的形狀，增強了最鄰近查詢的性能，減少將近一半存儲空間；SS樹改進了R*樹的強制重插機制。當維數增加到5是，R樹及其變種中的邊界矩形的重疊將達到90％，因此在高維情況（≧5）下，其性能將變的很差，甚至不如順序掃描。

5?X樹

X樹是線性數組和層狀的R樹的雜合體，通過引入超級結點，大大地減少了最小邊界矩形之間的重疊，提高了查詢效率。X樹用邊界圓進行索引，邊界矩形的直徑（對角線）比邊界圓大，SS樹將點分到小直徑區域。由于區域的直徑對最鄰近查詢性能的影響較大，因此SS樹的最鄰近查詢性能優于R*樹；邊界矩形的平均容積比邊界圓小，R*樹將點分到小容積區域；由于大的容積會產生較多的覆蓋，因此邊界矩形在容積方面要優于邊界圓。SR樹既采用了最小邊界圓（MBS），也采用了最小邊界矩形（MBR），相對于SS樹，減小了區域的面積，提高了區域之間的分離性，相對于R*樹，提高了鄰近查詢的性能。

參考文獻

[1]?A.?Guttman.?R-Trees:?a?dynamic?index?structure?for?spatial?searching.?In?SIGMOD?Conference,?1984.

[2]Sellis?T.?K.?,Roussopoulos?N.?,?Faloutsos?C.?.?The?R+-tree:?A?dynamic?index?for?multidimensional?objects.?In?Proceedings?of?the?13th?VLDB,?Brighton,?England,?1987,??507~?518.

[3]Beckmann?N.?,?Kriegel?H.?P.?,?Schneider?R.?,?Seeger?B.?.?The?R*-tree:?An?efficient?and?robust?access?method?for?points?and?rectangle.?In:?Proceedings?of?SIGMOD,?Atlantic?City,?New?Jersey,?1990,?322~331.

http://blog.csdn.net/jiqiren007/archive/2010/03/14/5377750.aspx

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總結

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