??? 幾大最短路徑算法比較

?轉(zhuǎn)自：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6181485

幾個最短路徑算法的比較：
Floyd

?????? 求多源、無負權(quán)邊的最短路。用矩陣記錄圖。時效性較差，時間復雜度O(V^3)。
???????Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權(quán)的最短路徑問題。

Floyd-Warshall算法的時間復雜度為O(N^3)，空間復雜度為O(N^2)。

????? Floyd-Warshall的原理是動態(tài)規(guī)劃：
設(shè)Di,j,k為從i到j(luò)的只以(1..k)集合中的節(jié)點為中間節(jié)點的最短路徑的長度。
若最短路徑經(jīng)過點k，則Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1；
若最短路徑不經(jīng)過點k，則Di,j,k = Di,j,k-1。
因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。

????? 在實際算法中，為了節(jié)約空間，可以直接在原來空間上進行迭代，這樣空間可降至二維。
Floyd-Warshall算法的描述如下：
for k ← 1 to n do
? for i ← 1 to n do
??? for j ← 1 to n do
????? if (Di,k + Dk,j < Di,j) then
??????? Di,j ← Di,k + Dk,j;
其中Di,j表示由點i到點j的代價，當Di,j為 ∞ 表示兩點之間沒有任何連接。

?

Dijkstra

????? 求單源、無負權(quán)的最短路。時效性較好，時間復雜度為O（V*V+E）。
源點可達的話，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）。
????? 當是稀疏圖的情況時，此時E=V*V/lgV，所以算法的時間復雜度可為O（V^2） 。若是斐波那契堆作優(yōu)先隊列的話，算法時間復雜度，則為O（V*lgV + E）。

????? 更多，請參考：二（續(xù)）、徹底理解Dijkstra算法，及二（再續(xù)）、Dijkstra 算法+fibonacci堆的逐步c實現(xiàn)。

?

Bellman-Ford

????? 求單源最短路，可以判斷有無負權(quán)回路（若有，則不存在最短路），
時效性較好，時間復雜度O（VE）。此算法日后還會在本BLOG內(nèi)具體闡述。

Bellman-Ford算法是求解單源最短路徑問題的一種算法。

????? 單源點的最短路徑問題是指：
給定一個加權(quán)有向圖G和源點s，對于圖G中的任意一點v，求從s到v的最短路徑。

????? 與Dijkstra算法不同的是，在Bellman-Ford算法中，邊的權(quán)值可以為負數(shù)。
????? 設(shè)想從我們可以從圖中找到一個環(huán)路（即從v出發(fā)，經(jīng)過若干個點之后又回到v）且這個環(huán)路中所有邊的權(quán)值之和為負。那么通過這個環(huán)路，環(huán)路中任意兩點的最短路徑就可以無窮小下去。如果不處理這個負環(huán)路，程序就會永遠運行下去。 而Bellman-Ford算法具有分辨這種負環(huán)路的能力。

SPFA

????? 是Bellman-Ford的隊列優(yōu)化，時效性相對好，時間復雜度O（kE）。（k<<V）。

與Bellman-ford算法類似，SPFA算法采用一系列的松弛操作以得到從某一個節(jié)點出發(fā)到達圖中其它所有節(jié)點的最短路徑。所不同的是，SPFA算法通過維護一個隊列，使得一個節(jié)點的當前最短路徑被更新之后沒有必要立刻去更新其他的節(jié)點，從而大大減少了重復的操作次數(shù)。

????? SPFA算法可以用于存在負數(shù)邊權(quán)的圖，這與dijkstra算法是不同的。

與Dijkstra算法與Bellman-ford算法都不同，SPFA的算法時間效率是不穩(wěn)定的，即它對于不同的圖所需要的時間有很大的差別。

????? 在最好情形下，每一個節(jié)點都只入隊一次，則算法實際上變?yōu)閺V度優(yōu)先遍歷，其時間復雜度僅為O(E)。另一方面，存在這樣的例子，使得每一個節(jié)點都被入隊(V-1)次，此時算法退化為Bellman-ford算法，其時間復雜度為O(VE)。

????? SPFA算法在負邊權(quán)圖上可以完全取代Bellman-ford算法，另外在稀疏圖中也表現(xiàn)良好。但是在非負邊權(quán)圖中，為了避免最壞情況的出現(xiàn)，通常使用效率更加穩(wěn)定的Dijkstra算法，以及它的使用堆優(yōu)化的版本。通常的SPFA算法在一類網(wǎng)格圖中的表現(xiàn)不盡如人意。

完。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/AndyDai/p/4734120.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的几个最短路径算法Floyd、Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA的比较的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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