Floyd算法

1.定義概覽

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問題，同時也被用于計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復(fù)雜度為O(N³)，空間復(fù)雜度為O(N²)。

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2.算法描述

1)算法思想原理：

???? Floyd算法是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標(biāo)是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態(tài)規(guī)劃的角度看問題，我們需要為這個目標(biāo)重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態(tài)規(guī)劃最富創(chuàng)造力的精華所在）

????? 從任意節(jié)點i到任意節(jié)點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j(luò)，2是從i經(jīng)過若干個節(jié)點k到j(luò)。所以，我們假設(shè)Dis(i,j)為節(jié)點u到節(jié)點v的最短路徑的距離，對于每一個節(jié)點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j(luò)的路徑比i直接到j(luò)的路徑短，我們便設(shè)置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當(dāng)我們遍歷完所有節(jié)點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j(luò)的最短路徑的距離。

2).算法描述：

a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權(quán)，如果兩點之間沒有邊相連，則權(quán)為無窮大。 　　

b.對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

3).Floyd算法過程矩陣的計算----十字交叉法（暫時沒看懂，望大神指教）

方法：兩條線，從左上角開始計算一直到右下角 如下所示

給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須經(jīng)過的點

相應(yīng)計算方法如下：

最后A₃即為所求結(jié)果

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3.算法代碼實現(xiàn)：

1 typedef struct 2 { 3 char vertex[VertexNum]; //頂點表 4 int edges[VertexNum][VertexNum]; //鄰接矩陣,可看做邊表 5 int n,e; //圖中當(dāng)前的頂點數(shù)和邊數(shù) 6 }MGraph; 7 8 void Floyd(MGraph g) 9 { 10 　　int A[MAXV][MAXV]; 11 　　int path[MAXV][MAXV]; 12 　　int i,j,k,n=g.n; 13 　　for(i=0;i<n;i++) 14 　　for(j=0;j<n;j++) 15 　　{ 　　 16 A[i][j]=g.edges[i][j]; 17 　　 path[i][j]=-1; 18 　 } 19 　　for(k=0;k<n;k++) 20 　　{ 21 　　for(i=0;i<n;i++) 22 　　for(j=0;j<n;j++) 23 　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])) 24 　　{ 25 　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; 26 　　path[i][j]=k; 27 　 } 28 　} 29 }

算法時間復(fù)雜度:O(n³)

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結(jié)合代碼 并參照上圖所示 我們來模擬執(zhí)行下 這樣才能加深理解：
第一關(guān)鍵步驟：當(dāng)k執(zhí)行到x，i=v,j=u時，計算出v到u的最短路徑要通過x，此時v、u聯(lián)通了。
第二關(guān)鍵步驟：當(dāng)k執(zhí)行到u，i=v，j=y，此時計算出v到y(tǒng)的最短路徑的最短路徑為v到u，再到y(tǒng)(此時v到u的最短路徑上一步我們已經(jīng)計算過來，直接利用上步結(jié)果)。
第三關(guān)鍵步驟：當(dāng)k執(zhí)行到y(tǒng)時，i=v，j=w，此時計算出最短路徑為v到y(tǒng)(此時v到y(tǒng)的最短路徑長在第二步我們已經(jīng)計算出來了)，再從y到w。

依次掃描每一點(k)，并以該點作為中介點，計算出通過k點的其他任意兩點(i,j)的最短距離，這就是floyd算法的精髓！同時也解釋了為什么k點這個中介點要放在最外層循環(huán)的原因.

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hdu-2544代碼：

#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAX 1000000 int map[110][110]; int n; void flyod() {int i,j,k;for(k=1;k<=n;k++)for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)if(map[i][j]>(map[i][k]+map[k][j]))map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];}printf("%d\n",map[1][n]); } int main() {int m;while(scanf("%d %d",&n,&m),n||m){int i,j,a,b,c;for(i=0;i<=n;i++)for(j=0;j<=n;j++)map[i][j]=MAX;for(i=0;i<m;i++){scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);if(c<map[a][b])map[a][b]=map[b][a]=c;}flyod();}return 0; } //ac //flyod算法，31ms

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/xl1027515989/p/3605553.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最短路径--Floyd算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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