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PageRank算法

PageRank算法是谷歌曾經獨步天下的“倚天劍”，該算法由Larry Page和Sergey Brin在斯坦福大學讀研時發明的，

論文點擊下載: The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web。

本文首先通過一些參考文獻引出問題，然后給出了PageRank的幾種實現算法，

最后將其推廣至在MapReduce框架下如何實現PageRank算法。

PageRank的核心思想有2點：

1.如果一個網頁被很多其他網頁鏈接到的話說明這個網頁比較重要，也就是pagerank值會相對較高；

2.如果一個pagerank值很高的網頁鏈接到一個其他的網頁，那么被鏈接到的網頁的pagerank值會相應地因此而提高。

下面是一張來自WikiPedia的圖，每個球代表一個網頁，球的大小反應了網頁的pagerank值的大小。

指向網頁B和網頁E的鏈接很多，所以B和E的pagerank值較高，另外，雖然很少有網頁指向C，

但是最重要的網頁B指向了C，所以C的pagerank值比E還要大。

參考內容：

1.Wiki about PageRank

2.Google 的秘密- PageRank 徹底解說 中文版

3.數值分析與算法?Page 161 應用實例：Google的PageRank算法

4.Numeric Methods with Matlab?或者中文翻譯版本Matlab數值計算

5.使用 MapReduce 思想計算 PageRank?Page 62 PageRank和馬爾可夫鏈

1.問題背景

來自參考內容3

2.數學建模

來自參考內容3，理解網頁連接矩陣$G$，馬爾科夫過程("網上沖浪")，轉移矩陣$A$，概率$p$為用戶點擊當前網頁中的某個鏈接地址的概率(一般都為0.85)。

最后得到一個等式$Ax=x$，這實際上就是求矩陣$A$的特征值為1的特征向量！

下面的內容使用圓盤定理解釋了1是矩陣$A$的主特征值，所以我們可以使用冪法來求解。

關于冪法的詳細介紹參考另一篇文章Numerical Methods Using Matlab: 第三章 矩陣特征值和奇異值求解

3.求解PageRank

假設有如上圖右側所示的網頁鏈接模型。

(1) 冪法

wiki上有一個PageRank的簡便算法，它不考慮轉移概率，而是采用的是迭代的方式，每次都更新所有網頁的pagerank值，更新的方式就是將每個網頁的pagerank值平攤分給它指向的所有網頁，每個網頁累計所有指向它的網頁平攤給它的值作為它該回合的pagerank值，直到全部網頁的pagerank值收斂了或者滿足一定的閾值條件就停止。

后面的MapReduce框架下PageRank算法的實現就采用了這個思想?？紤]轉移概率的情況和這個算法類似，乘上一個轉移概率再加上一個隨機跳轉的概率。

根據上面的思想，下面Matlab代碼實現可以得到各個網頁的PageRank值。

n=6; i=[2 3 4 4 5 6 1 6 1]; j=[1 2 2 3 3 3 4 5 6]; G=sparse(i,j,1,n,n); % Power method for j = 1:n L{j} = find(G(:,j)); c(j) = length(L{j}); end p = .85; delta = (1-p)/n; x = ones(n,1)/n; z = zeros(n,1); cnt = 0; while max(abs(x-z)) > .0001 z = x; x = zeros(n,1); for j = 1:n if c(j) == 0 x = x + z(j)/n;%轉移到任意一個網頁 else x(L{j}) = x(L{j}) + z(j)/c(j);%將上次的pagerank值平攤給所有指向的網頁 end end x = p*x + delta; cnt = cnt+1; end

得到的向量$x$保存了各個網頁的pagerank值，雖然鏈接數目一樣，但是網頁①比網頁④和網頁⑤都高，而網頁②的pagerank值第二高，因為網頁①鏈接到了它上面，相當于沾了網頁①的光。

x =0.26750.2524 0.1323 0.1698 0.0625 0.1156

這篇文章給出該算法的一個Python版本實現，該博主使用第三方模塊python-graph，python-graph模塊實現了很多圖算法，該模塊的使用示例，使用前需要先安裝，代碼如下：

easy_install python-graph-core easy_install python-graph-dot

Python版本的算法實現：

# coding=utf-8# python-graph https://code.google.com/p/python-graph/# Import graphviz import graphviz as gv # Import pygraph from pygraph.classes.digraph import digraph from pygraph.readwrite.dot import write # Define pagerank function def pagerank(graph, damping_factor=0.85, max_iterations=100, \ min_delta=0.00001): """ Compute and return the PageRank in an directed graph. @type graph: digraph @param graph: Digraph. @type damping_factor: number @param damping_factor: PageRank dumping factor. @type max_iterations: number @param max_iterations: Maximum number of iterations. @type min_delta: number @param min_delta: Smallest variation required for a new iteration. @rtype: Dict @return: Dict containing all the nodes PageRank. """ nodes = graph.nodes() graph_size = len(nodes) if graph_size == 0: return {} # value for nodes without inbound links min_value = (1.0-damping_factor)/graph_size # itialize the page rank dict with 1/N for all nodes #pagerank = dict.fromkeys(nodes, 1.0/graph_size) pagerank = dict.fromkeys(nodes, 1.0) for i in range(max_iterations): diff = 0 #total difference compared to last iteraction # computes each node PageRank based on inbound links for node in nodes: rank = min_value for referring_page in graph.incidents(node): rank += damping_factor * pagerank[referring_page] / \ len(graph.neighbors(referring_page)) diff += abs(pagerank[node] - rank) pagerank[node] = rank print 'This is NO.%s iteration' % (i+1) print pagerank print '' #stop if PageRank has converged if diff < min_delta: break return pagerank # Graph creation gr = digraph() # Add nodes and edges gr.add_nodes(["1","2","3","4"]) gr.add_edge(("1","2")) gr.add_edge(("1","3")) gr.add_edge(("1","4")) gr.add_edge(("2","3")) gr.add_edge(("2","4")) gr.add_edge(("3","4")) gr.add_edge(("4","2")) # Draw as PNG # dot = write(gr) # gvv = gv.readstring(dot) # gv.layout(gvv,'dot') # gv.render(gvv,'png','Model.png') pagerank(gr)

經過32次迭代之后得到的結果如下，和前面的結果一致：

This is NO.32 iteration {'1': 0.2675338708706491, '3': 0.13227261904986046, '2': 0.2524037902400518, '5': 0.062477242064127136, '4': 0.1697488529161491, '6': 0.1155828978186352}

(2) 利用馬爾可夫矩陣的特殊結構

來自參考內容4，其中$\delta=\frac{1-p}{n}$

也就是將矩陣$A$進行分解，并不需要顯示求出矩陣$A$，然后便是求解一個線性方程組即可。

function x = pagerank1(G) % PAGERANK1 Google's PageRank modified version 1 - hujiawei%if nargin < 3, p = .85; end p=0.85;% Eliminate any self-referential linksG = G - diag(diag(G));% c = out-degree, r = in-degree[n,n] = size(G); c = sum(G,1);%each row's sum r = sum(G,2);%each col's sum% Scale column sums to be 1 (or 0 where there are no out links).k = find(c~=0); D = sparse(k,k,1./c(k),n,n); % Solve (I - p*G*D)*x = e e = ones(n,1); I = speye(n,n); x = (I - p*G*D)\e; % Normalize so that sum(x) == 1. x = x/sum(x);

(3) 巧妙解法：逆迭代算法

巧妙利用Matlab中的精度誤差導致原本是一個奇異矩陣的$I-A$變成一個非奇異矩陣，運行時只是會有些警告提示，但是運行結果和其他算法一樣。

function x = pagerank2(G) % PAGERANK1 Google's PageRank modified version 2 - hujiawei % using inverse iteration method%if nargin < 3, p = .85; end p=0.85;% Eliminate any self-referential linksG = G - diag(diag(G));% c = out-degree, r = in-degree[n,n] = size(G); c = sum(G,1);%each row's sum r = sum(G,2);%each col's sum% Scale column sums to be 1 (or 0 where there are no out links).k = find(c~=0); D = sparse(k,k,1./c(k),n,n); % Solve (I - p*G*D)*x = e e = ones(n,1); I = speye(n,n); % x = (I - p*G*D)\e; delta=(1-p)/n; A=p*G*D+delta; x=(I-A)\e; % Normalize so that sum(x) == 1. x = x/sum(x);

最后，附上參考內容4中給出的一份好代碼，用于模擬隨機沖浪生成矩陣$G$的代碼

function [U,G] = surfer(root,n) % SURFER Create the adjacency graph of a portion of the Web. % [U,G] = surfer(root,n) starts at the URL root and follows % Web links until it forms an adjacency graph with n nodes. % U = a cell array of n strings, the URLs of the nodes. % G = an n-by-n sparse matrix with G(i,j)=1 if node j is linked to node i. % % Example: [U,G] = surfer('http://www.harvard.edu',500); % See also PAGERANK. % % This function currently has two defects. (1) The algorithm for % finding links is naive. We just look for the string 'http:'. % (2) An attempt to read from a URL that is accessible, but very slow, % might take an unacceptably long time to complete. In some cases, % it may be necessary to have the operating system terminate MATLAB. % Key words from such URLs can be added to the skip list in surfer.m. % Initialize clf shg set(gcf,'doublebuffer','on') axis([0 n 0 n]) axis square axis ij box on set(gca,'position',[.12 .20 .78 .78]) uicontrol('style','frame','units','normal','position',[.01 .09 .98 .07]); uicontrol('style','frame','units','normal','position',[.01 .01 .98 .07]); t1 = uicontrol('style','text','units','normal','position',[.02 .10 .94 .04], ... 'horiz','left'); t2 = uicontrol('style','text','units','normal','position',[.02 .02 .94 .04], ... 'horiz','left'); slow = uicontrol('style','toggle','units','normal', ... 'position',[.01 .24 .07 .05],'string','slow','value',0); quit = uicontrol('style','toggle','units','normal', ... 'position',[.01 .17 .07 .05],'string','quit','value',0); U = cell(n,1); hash = zeros(n,1); G = logical(sparse(n,n)); m = 1; U{m} = root; hash(m) = hashfun(root); j = 1; while j < n & get(quit,'value') == 0 % Try to open a page. try set(t1,'string',sprintf('%5d %s',j,U{j})) set(t2,'string',''); drawnow page = urlread(U{j}); catch set(t1,'string',sprintf('fail: %5d %s',j,U{j})) drawnow continue end if get(slow,'value') pause(.25) end % Follow the links from the open page. for f = findstr('http:',page); % A link starts with 'http:' and ends with the next quote. e = min([findstr('"',page(f:end)) findstr('''',page(f:end))]); if isempty(e), continue, end url = deblank(page(f:f+e-2)); url(url<' ') = '!'; % Nonprintable characters if url(end) == '/', url(end) = []; end % Look for links that should be skipped. skips = {'.gif','.jpg','.pdf','.css','lmscadsi','cybernet', ... 'search.cgi','.ram','www.w3.org', ... 'scripts','netscape','shockwave','webex','fansonly'}; skip = any(url=='!') | any(url=='?'); k = 0; while ~skip & (k < length(skips)) k = k+1; skip = ~isempty(findstr(url,skips{k})); end if skip if isempty(findstr(url,'.gif')) & isempty(findstr(url,'.jpg')) set(t2,'string',sprintf('skip: %s',url)) drawnow if get(slow,'value') pause(.25) end end continue end % Check if page is already in url list. i = 0; for k = find(hash(1:m) == hashfun(url))'; if isequal(U{k},url) i = k; break end end % Add a new url to the graph there if are fewer than n. if (i == 0) & (m < n) m = m+1; U{m} = url; hash(m) = hashfun(url); i = m; end % Add a new link. if i > 0 G(i,j) = 1; set(t2,'string',sprintf('%5d %s',i,url)) line(j,i,'marker','.','markersize',6) drawnow if get(slow,'value') pause(.25) end end end j = j+1; end delete(t1) delete(t2) delete(slow) set(quit,'string','close','callback','close(gcf)','value',0) %------------------------ function h = hashfun(url) % Almost unique numeric hash code for pages already visited. h = length(url) + 1024*sum(url);

4.MapReduce框架下PageRank算法的實現

利用前面wiki上的迭代(或者冪法)的思想來實現MapReduce框架下PageRank算法很簡單，可以先閱讀下參考內容5。

這篇文章using-mapreduce-to-compute-pagerank更加詳細，可以參考

以下是我的大數據的一次作業，要求是參考wiki上的簡便算法，實現MapReduce框架下的PageRank算法。給的數據集是Twitter的用戶之間的關系，可以看做是網頁之間的關系，但是助教沒要求寫代碼以及運行這個數據集(有1G多)，所以下面只是一個Python版本的理想可行版本，并沒有通過實際大數據集的驗證，另外，博主暫時還不太會Python的mapreduce框架中的一些函數，所以實現的是一個簡明的可以測試的PageRank算法。

1.輸入輸出格式

map函數的輸入是<節點，從該節點引出的邊列表>，其中節點是一個類，包含了其當前的pagerank值，輸出是<節點，反向節點pagerank值/反向節點引出邊的總數>；

reduce函數的輸入是<節點，反向節點pagerank值/反向節點引出邊的總數>，輸出是<節點，從該節點引出的邊列表>，其中節點包含了其更新后的pagerank值。

偽代碼： [一時犯二寫了個英文形式的 ]

process the data to the form of {node i:[its adjacent node list],...} while the sum of difference between the last two pagerank values < thresholdmap({node i:[its adjacent node list],...}):map_output={}for every node j in adjacent node list: put or sum up {j:(i, PageRank(i)/length(adjacent node list))} into map_output return map_output reduce(map_output): reduce_output={} for every entry {j:(i, PageRank(i)/length(adjacent node list))} in map_output: put or sum up all values pagerank values for node j with its adjacent node list into reduce_output return reduce_output

2.示例演示

假設用戶1，2，3，4是如下圖所示的關系：

假設有2個mapper(A和B)和1個reducer(C)，初始時4個節點的pagerank值都是0.25

其中，關于用戶1和2的數據被mapperA讀取并處理，關于用戶3和4的數據被mapperB讀取并處理 [經驗證，即使一個用戶的數據是由不同的mapper來讀取的，最終收斂到的結果差不多]

map的輸入輸出結果如下：

reduce的輸入輸出結果如下，輸入是2個mapper的輸出，輸出的結果中更新了節點的pagerank值

reducer處理完了之后又將它的結果輸入給mapper處理，直到迭代的次數超過了設定值或者兩次迭代之后得到的所有節點的pagerank值之差的總和(也可以是取二范數)小于設定的閾值。

3.示例的實驗結果

(1)首先是使用Matlab采用冪法的方式計算出在p=1.0的情況下示例得到的結果 [它的主要作用是驗證后面python版本的正確性]

matlab源碼如下：

n=4; i=[2 3 4 3 4 4 1 2]; j=[1 1 1 2 2 3 3 4]; G=sparse(i,j,1,n,n); [n,n] = size(G); for j = 1:n L{j} = find(G(:,j)); c(j) = length(L{j}); end % Power method p=1.0; delta = (1-p)/n; x = ones(n,1)/n; z = zeros(n,1); cnt = 0; while max(abs(x-z)) > .0001 z = x; x = zeros(n,1); for j = 1:n if c(j) == 0 x = x + z(j)/n; else x(L{j}) = x(L{j}) + z(j)/c(j); end end x = p*x + delta; cnt = cnt+1; end sprintf('pagerank result:') x

結果為：

0.1072 0.3571 0.2143 0.3214

(2)matlab版本的page rank沒有采用mapreduce的思想進行迭代，所以我另外寫了一個python版本的利用mapreduce思想實現的pagerank算法(注：我并沒有使用python的map和reduce函數去實現，而是使用更加容易明白的實現)，使用的閾值為0.0001，最多迭代的次數為100次。

# coding=utf-8__author__ = 'hujiawei' __doc__ = 'pagerank mapreduce'class Node: def __init__(self,id,pk): self.id=id self.pk=pk def pk_map(map_input): map_output={} for node,outlinks in map_input.items(): for link in outlinks: size=len(outlinks) if link in map_output: map_output[link]+=(float)(node.pk)/size else: map_output[link]=(float)(node.pk)/size return map_output def pk_reduce(reduce_input): for result in reduce_input: for node,value in result.items(): node.pk+=value def pk_clear(nodes): for node in nodes: node.pk=0 def pk_last(nodes): lastnodes=[] for node in nodes: lastnodes.append(Node(node.id,node.pk)) return lastnodes def pk_diff(nodes,lastnodes): diff=0 for i in range(len(nodes)): print('node pk %f, last node pk %f ' % (nodes[i].pk, lastnodes[i].pk)) diff+=abs(nodes[i].pk-lastnodes[i].pk) return diff def pk_test1(): node1 = Node(1, 0.25) node2 = Node(2, 0.25) node3 = Node(3, 0.25) node4 = Node(4, 0.25) nodes = [node1, node2, node3, node4] threshold = 0.0001 max_iters = 100 for iter_count in range(max_iters): iter_count += 1 lastnodes=pk_last(nodes) print('============ map count %d =================' % (iter_count)) in1 = {node1: [node2, node3, node4], node2: [node3, node4]} in2 = {node3: [node1, node4], node4: [node2]} mapout1 = pk_map(in1) mapout2 = pk_map(in2) for node, value in mapout1.items(): print str(node.id) + ' ' + str(value) for node, value in mapout2.items(): print str(node.id) + ' ' + str(value) print('============ reduce count %d =================' % (iter_count)) reducein = [mapout1, mapout2] pk_clear(nodes) pk_reduce(reducein) for node in nodes: print str(node.id) + ' ' + str(node.pk) diff=pk_diff(nodes,lastnodes) if diff < threshold: break if __name__ == '__main__': pk_test1()

得到的結果為如下，總共迭代了15次

1 0.107138774577 2 0.35712924859 3 0.214296601128 4 0.321435375705

上面的結果和Matlab用冪法得到的pagerank值差別很小，可以認為是正確的，所以說明了使用這種mapreduce輸入輸出格式的正確性。

OK，差不多了，希望對需要理解PageRank算法的人有幫助！ :-)

轉載于:https://www.cnblogs.com/ihongyan/p/4803720.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【转】深入浅出PageRank算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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