ID3和C4.5分类决策树算法 - 数据挖掘算法（7）
決策樹(Decision Tree）是在已知各種情況發(fā)生概率的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)成決策樹來判斷其可行性的決策分析方法，是直觀運(yùn)用概率分析的一種圖解法。由于這種決策分支畫成圖形很像一棵樹的枝干，故稱決策樹。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，決策樹是一個(gè)預(yù)測(cè)模型，他代表的是對(duì)象屬性與對(duì)象值之間的一種映射關(guān)系。
決策樹是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，以此達(dá)到預(yù)測(cè)的目的。決策樹方法先根據(jù)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)形成決策樹，如果該樹不能對(duì)所有對(duì)象給出正確的分類，那么選擇一些例外加入到訓(xùn)練集數(shù)據(jù)中，重復(fù)該過程一直到形成正確的決策集。決策樹代表著決策集的樹形結(jié)構(gòu)。
決策樹由決策結(jié)點(diǎn)、分支和葉子組成。決策樹中最上面的結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)，每個(gè)分支是一個(gè)新的決策結(jié)點(diǎn)，或者是樹的葉子。每個(gè)決策結(jié)點(diǎn)代表一個(gè)問題或決策，通常對(duì)應(yīng)于待分類對(duì)象的屬性。每一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)代表一種可能的分類結(jié)果。沿決策樹從上到下遍歷的過程中，在每個(gè)結(jié)點(diǎn)都會(huì)遇到一個(gè)測(cè)試，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)上問題的不同的測(cè)試輸出導(dǎo)致不同的分支，最后會(huì)到達(dá)一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，這個(gè)過程就是利用決策樹進(jìn)行分類的過程，利用若干個(gè)變量來判斷所屬的類別。
一、決策樹構(gòu)造及其運(yùn)用
1、樹的定義
樹是由節(jié)點(diǎn)和邊兩種元素組成的結(jié)構(gòu)。理解樹，就需要理解幾個(gè)關(guān)鍵詞：根節(jié)點(diǎn)、父節(jié)點(diǎn)、子節(jié)點(diǎn)和葉子節(jié)點(diǎn)。
父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)是相對(duì)的，說白了子節(jié)點(diǎn)由父節(jié)點(diǎn)根據(jù)某一規(guī)則分裂而來，然后子節(jié)點(diǎn)作為新的父親節(jié)點(diǎn)繼續(xù)分裂，直至不能分裂為止。而根節(jié)點(diǎn)是沒有父節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，即初始分裂節(jié)點(diǎn)，葉子節(jié)點(diǎn)是沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，如下圖所示：
決策樹利用如上圖所示的樹結(jié)構(gòu)進(jìn)行決策，每一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)是一個(gè)判斷條件，每一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)是結(jié)論。從跟節(jié)點(diǎn)開始，經(jīng)過多次判斷得出結(jié)論。
2、如何利用樹進(jìn)行決策
從一個(gè)用戶貸款分類例子說起：
銀行希望能夠通過一個(gè)人的信息（包括職業(yè)、年齡、收入、學(xué)歷）去判斷他是否有貸款的意向，從而更有針對(duì)性地完成工作。下表是銀行現(xiàn)在能夠掌握的信息，我們的目標(biāo)是通過對(duì)下面的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析建立一個(gè)預(yù)測(cè)用戶貸款一下的模型。
| 自由職業(yè) | 28 | 5000 | 高中 | 是 |
| 工人 | 36 | 5500 | 高中 | 否 |
| 工人 | 42 | 2800 | 初中 | 是 |
| 白領(lǐng) | 45 | 3300 | 小學(xué) | 是 |
| 白領(lǐng) | 25 | 10000 | 本科 | 是 |
| 白領(lǐng) | 32 | 8000 | 碩士 | 否 |
| 白領(lǐng) | 28 | 13000 | 博士 | 是 |
| 自由職業(yè) | 21 | 4000 | 本科 | 否 |
| 自由職業(yè) | 22 | 3200 | 小學(xué) | 否 |
| 工人 | 33 | 3000 | 高中 | 否 |
| 工人 | 48 | 4200 | 小學(xué) | 否 |
上邊中有4個(gè)客戶的屬性，如何綜合利用這些屬性去判斷用戶的貸款意向？
決策樹的做法是每次選擇一個(gè)屬性進(jìn)行判斷，如果不能得出結(jié)論，繼續(xù)選擇其他屬性進(jìn)行判斷，直到能夠“肯定地”判斷出用戶的類型或者是上述屬性都已經(jīng)使用完畢。比如說我們要判斷一個(gè)客戶的貸款意向，我們可以先根據(jù)客戶的職業(yè)進(jìn)行判斷，如果不能得出結(jié)論，再根據(jù)年齡作判斷，這樣以此類推，直到可以得出結(jié)論為止。
決策樹用樹結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)上述的判斷流程，如下圖所示：
上圖所示的是通過輸入用戶的信息，輸出用戶的貸款意向。如果要判斷某一客戶是否有貸款的意向，直接根據(jù)用戶的職業(yè)、收入、年齡以及學(xué)歷就可以分析得出用戶的類型。如某客戶的信息為：{職業(yè)、年齡，收入，學(xué)歷}={工人、39， 1800，小學(xué)}，將信息輸入上述決策樹，可以得到下列的分析步驟和結(jié)論。
第一步：根據(jù)該客戶的職業(yè)進(jìn)行判斷，選擇“工人”分支；
第二步：根據(jù)客戶的年齡進(jìn)行選擇，選擇年齡”<=40”這一分支；
第三步：根據(jù)客戶的學(xué)歷進(jìn)行選擇，選擇”小學(xué)”這一分支，得出該客戶無貸款意向的結(jié)論。
3、決策樹的構(gòu)建
從上述步驟可以看出，決策生成過程中有幾個(gè)個(gè)重要的問題：
數(shù)據(jù)如何分割 如何選擇分裂的屬性 什么時(shí)候停止分裂假如我們已經(jīng)選擇了一個(gè)分裂的屬性，那怎樣對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分裂呢？
I、數(shù)據(jù)分割
分裂屬性的數(shù)據(jù)類型分為離散型和連續(xù)性兩種情況，對(duì)于離散型的數(shù)據(jù)，按照屬性值進(jìn)行分裂，每個(gè)屬性值對(duì)應(yīng)一個(gè)分裂節(jié)點(diǎn)；對(duì)于連續(xù)性屬性，一般性的做法是對(duì)數(shù)據(jù)按照該屬性進(jìn)行排序，再將數(shù)據(jù)分成若干區(qū)間，如[0,10]、[10,20]、[20,30]、…，一個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，若數(shù)據(jù)的屬性值落入某一區(qū)間則該數(shù)據(jù)就屬于其對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)。
設(shè)有數(shù)據(jù)表如下：
| 白領(lǐng) | 30 | 否 |
| 工人 | 40 | 否 |
| 工人 | 20 | 否 |
| 學(xué)生 | 15 | 否 |
| 學(xué)生 | 18 | 是 |
| 白領(lǐng) | 42 | 是 |
屬性“職業(yè)”是離散型變量，有三個(gè)取值，分別為白領(lǐng)、工人和學(xué)生，根據(jù)三個(gè)取值對(duì)原始的數(shù)據(jù)進(jìn)行分割，如下表所示:
| 白領(lǐng) | 1 | 1 |
| 工人 | 0 | 2 |
| 學(xué)生 | 1 | 1 |
上表可以表示成如下的決策樹結(jié)構(gòu)：
屬性“年齡”是連續(xù)性變量，這里將數(shù)據(jù)分成三個(gè)區(qū)間，分別是[0，20]、(20,40]、(40,*]，則每一個(gè)區(qū)間的分裂結(jié)果如下：
| [0 ,20] | 1 | 2 |
| (20,40] | 0 | 2 |
| (40,* ] | 1 | 0 |
上表可以表示成如下的決策樹結(jié)構(gòu)：
II、分裂屬性的選擇
前面介紹了分裂屬性是如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分割的，那么怎樣選擇分裂的屬性呢？
決策樹采用貪婪思想進(jìn)行分裂，即選擇可以得到最優(yōu)分裂結(jié)果的屬性進(jìn)行分裂。那么怎樣才算是最優(yōu)的分裂結(jié)果？最理想的情況當(dāng)然是能找到一個(gè)屬性剛好能夠?qū)⒉煌悇e分開，但是大多數(shù)情況下分裂很難一步到位，我們希望每一次分裂之后孩子節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)盡量”純”，以下圖為例：
從圖例1和圖例2可以明顯看出，屬性2分裂后的子節(jié)點(diǎn)比屬性1分裂后的子節(jié)點(diǎn)更純：屬性1分裂后每個(gè)節(jié)點(diǎn)的兩類的數(shù)量還是相同，跟根節(jié)點(diǎn)的分類結(jié)果相比完全沒有提高；按照屬性2分裂后每個(gè)節(jié)點(diǎn)各類的數(shù)量相差比較大，可以很大概率認(rèn)為第一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的輸出結(jié)果為類1，第2個(gè)子節(jié)點(diǎn)的輸出結(jié)果為2。
選擇分裂屬性是要找出能夠使所有子節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)最純的屬性，決策樹使用信息增益、信息增益率或者基尼值作為選擇屬性的依據(jù)（相關(guān)概念及算法在ID3和C4.5中解釋）。
III、停止分裂的條件
決策樹不可能無限制地生長，總有停止分裂的時(shí)候，最極端的情況是當(dāng)節(jié)點(diǎn)分裂到只剩下一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)自動(dòng)結(jié)束分裂，但這種情況下樹過于復(fù)雜，而且預(yù)測(cè)的精度不高。一般情況下為了降低決策樹復(fù)雜度和提高預(yù)測(cè)的經(jīng)度，會(huì)適當(dāng)提前終止節(jié)點(diǎn)的分裂
以下是決策樹節(jié)點(diǎn)停止分裂的一般性條件：
a. 最小節(jié)點(diǎn)數(shù)：當(dāng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)量小于一個(gè)指定的數(shù)量時(shí)，不繼續(xù)分裂。兩個(gè)原因：一是數(shù)據(jù)量較少時(shí)，再做分裂容易強(qiáng)化噪聲數(shù)據(jù)的作用；二是降低樹生長的復(fù)雜性。提前結(jié)束分裂一定程度上有利于降低過擬合的影響b. 熵或者基尼值小于閥值：熵和基尼值的大小表示數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度，當(dāng)熵或者基尼值過小時(shí)，表示數(shù)據(jù)的純度比較大，如果熵或者基尼值小于一定程度數(shù)，節(jié)點(diǎn)停止分裂c. 決策樹的深度達(dá)到指定的條件：節(jié)點(diǎn)的深度可以理解為節(jié)點(diǎn)與決策樹跟節(jié)點(diǎn)的距離，如根節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)的深度為1，因?yàn)檫@些節(jié)點(diǎn)與跟節(jié)點(diǎn)的距離為1，子節(jié)點(diǎn)的深度要比父節(jié)點(diǎn)的深度大1。決策樹的深度是所有葉子節(jié)點(diǎn)的最大深度，當(dāng)深度到達(dá)指定的上限大小時(shí)，停止分裂d. 所有特征已經(jīng)使用完畢，不能繼續(xù)進(jìn)行分裂：被動(dòng)式停止分裂的條件，當(dāng)已經(jīng)沒有可分的屬性時(shí)，直接將當(dāng)前節(jié)點(diǎn)設(shè)置為葉子節(jié)點(diǎn)IV、決策樹的構(gòu)建方法
根據(jù)決策樹的輸出結(jié)果，決策樹可以分為分類樹和回歸樹，分類樹輸出的結(jié)果為具體的類別，而回歸樹輸出的結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù)值。
決策樹的構(gòu)建算法主要有ID3、C4.5、CART三種，其中ID3和C4.5是分類樹，CART是分類回歸樹。本文介紹ID3和C4.5技術(shù)，其中ID3是決策樹最基本的構(gòu)建算法，而C4.5和CART是在ID3的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化的算法。
二、ID3算法
ID3算法最早是由羅斯昆（J.Ross Quinlan）于1975年在悉尼大學(xué)提出的一種分類預(yù)測(cè)算法，算法的核心是“信息熵（Information entropy）”。ID3算法通過計(jì)算每個(gè)屬性的信息增益，認(rèn)為信息增益高的是好屬性，每次劃分選取信息增益最高的屬性為劃分標(biāo)準(zhǔn)，重復(fù)這個(gè)過程，直至生成一個(gè)能完美分類訓(xùn)練樣例的決策樹。
1、信息熵
信息論之父 C. E. Shannon 在1948年發(fā)表的論文“通信的數(shù)學(xué)理論（A Mathematical Theory of Communication）”中，Shannon指出，任何信息都存在冗余，冗余大小與信息中每個(gè)符號(hào)（數(shù)字、字母或單詞）的出現(xiàn)概率或者說不確定性有關(guān)。Shannon借鑒了熱力學(xué)的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計(jì)算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式。
事件\(a_{_i}\)的信息量\(I(a_{_i})\)可如下度量：
\[I(a_{_i})=p(a_{_i})\times\frac{1}{log_{_2}p(a_{_i})}\]
其中\(p(a_{_i})\)表示事件\(a_{_i}\)發(fā)生的概率。
假設(shè)有n個(gè)互不相容的事件\(a_{_1},a_{_2},a_{_3},\dots.,a_{_n}\)，它們中有且僅有一個(gè)發(fā)生，則其平均的信息量可如下度量：
\[I(a_{_1},a_{_2},a_{_3},\dots,a_{_n})=\sum\limits_{i=1}^nI(a_{_i})=\sum\limits_{i=1}^np(a_{_i})\times\frac{1}{log_{_2}p(a_{_i})}=-\sum\limits_{i=1}^np(a_{_i})\times{log_{_2}p(a_{_i})}\]
信息熵是消除不確定性所需信息量的度量，也即未知事件可能含有的信息量。
例如，投擲一枚分幣，正面和反面朝上的概率相對(duì)，為\(\frac{1}{2}\)，這一隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的發(fā)生概率所包含的信息量的大小，即信息熵值為，
\[I(a_{_1},a_{_2})=-\sum\limits_{i=1}^2p(a_{_i})\times{log_{_2}p(a_{_i})}=-(\frac{1}{2}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times log_{_2}\frac{1}{2})=log_{_2}2=1\]
假設(shè)這枚分幣正反面不均勻，一面朝上的概率為0.3，另一面為0.7，信息熵值為，
\[I(a_{_1},a_{_2})=-\sum\limits_{i=1}^2p(a_{_i})\times{log_{_2}p(a_{_i})}=-(0.3\times log_{_2}0.3+0.7\times log_{_2}0.7)=0.8813\]
對(duì)于極端情況，一面朝上的概率為0，另一面為1，信息熵值為，
\[I(a_{_1},a_{_2})=-\sum\limits_{i=1}^2p(a_{_i})\times{log_{_2}p(a_{_i})}=-(0\times log_{_2}0+1\times log_{_2}1)=0\]
式中，對(duì)數(shù)底數(shù)可以為任何數(shù)，不同的取值對(duì)應(yīng)了熵的不同單位。通常對(duì)數(shù)的底數(shù)取2，并規(guī)定當(dāng)\(p(a_{_i})=0\)時(shí)，
\[I(a_{_i})=p(a_{_i})\times\frac{1}{log_{_2}p(a_{_i})}=0\]
當(dāng)正反面朝上概率相等時(shí)，結(jié)果最難猜，信息熵最大；正面朝上概率為0.7、反面朝上概率為0.3時(shí)，應(yīng)該猜正面朝上，會(huì)有70%勝算，但信息熵減小；正面朝上概率為1、反面朝上概率為0時(shí)，正面一定朝上，這時(shí)信息熵為0。
2、ID3算法中信息量大小的度量
在運(yùn)用ID3算法進(jìn)行決策樹分類過程中，假設(shè)D是訓(xùn)練樣本集合，則D的熵（entropy）表示為：
\[info(D)=-\sum\limits_{i=1}^mp_{_i}\times{log_{_2}(p_{_i})}\]
其中\(p_{_i}\)表示第i個(gè)類別在整個(gè)訓(xùn)練元組中出現(xiàn)的概率，可以用屬于此類別元素的數(shù)量除以訓(xùn)練元組元素總數(shù)量作為估計(jì)。熵的實(shí)際意義表示是D中元組的類標(biāo)號(hào)所需要的平均信息量。
現(xiàn)對(duì)訓(xùn)練樣本集合D按屬性A進(jìn)行劃分，則A對(duì)D劃分的期望信息為：
\[info_{_A}(D)=-\sum\limits_{j=1}^m\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{info(D_{_j})}\]
式中|D|為練樣本量，\(D_{_j}\)為屬性A的不同水平樣本數(shù)，\(info(D_{_j})\)為屬性A的不同水平的熵。
而信息增益為，
\[gain(A)=info(D)-info_{_A}(D)\]
3、ID3算法案例
學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的最好方法是找到詳細(xì)案例和看懂計(jì)算過程。有時(shí)算法雖然不難，但公式表達(dá)很難理解。
案例：SNS社區(qū)中不真實(shí)賬號(hào)檢測(cè)，使用ID3算法構(gòu)造決策樹。
| S | S | NO | NO |
| S | L | YES | YES |
| L | M | YES | YES |
| M | M | YES | YES |
| L | M | YES | YES |
| M | L | NO | YES |
| M | S | NO | NO |
| L | M | NO | YES |
| M | S | NO | YES |
| S | S | YES | NO |
表中S、M和L分別表示小、中和大。
設(shè)L、F、H和R表示日志密度、好友密度、是否使用真實(shí)頭像和賬號(hào)是否真實(shí)，試用ID3算法構(gòu)造決策樹。
解：設(shè)D為10個(gè)樣本集，其中決策屬性（真實(shí)賬戶/R）有7個(gè)YES、3個(gè)NO。決策屬性信息熵為：
\[info(D)=-\sum\limits_{i=1}^mp_{_i}\times{log_{_2}(p_{_i})}=-(\frac{7}{10}log_{_2}\frac{7}{10}+\frac{3}{10}log_{_2}\frac{3}{10})=0.8813\]
日志密度屬性期望信息熵為：
\[\small{info_{_L}(D)=-\sum\limits_{j=1}^m\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{info(D_{_j})}=-[\frac{3}{10}\times{(0\times log_{_2}0+1\times log_{_2}1)}+\frac{4}{10}\times{(\frac{1}{4}\times log_{_2}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\times log_{_2}\frac{3}{4})}+\frac{3}{10}\times{(\frac{2}{3}\times log_{_2}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times log_{_2}\frac{1}{3})}]=0.6}\]
好友密度屬性期望信息熵為：
\[\small{info_{_F}(D)=-\sum\limits_{j=1}^m\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{info(D_{_j})}=-[\frac{2}{10}\times{(0\times log_{_2}0+1\times log_{_2}1)}+\frac{4}{10}\times{(\frac{1}{4}\times log_{_2}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\times log_{_2}\frac{3}{4})}+\frac{4}{10}\times{(0\times log_{_2}0+1\times log_{_2}1)}]=0.3245}\]
真實(shí)頭像屬性期望信息熵為：
\[\small{info_{_H}(D)=-\sum\limits_{j=1}^m\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{info(D_{_j})}=-[\frac{5}{10}\times{(\frac{2}{5}\times log_{_2}\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\times log_{_2}\frac{3}{5})}+\frac{5}{10}\times{(\frac{1}{5}\times log_{_2}\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\times log_{_2}\frac{4}{5})}]=0.8464}\]
日志密度信息增益: \(gain(L)=info(D) - info_{_L}(D) = 0.8813 – 0.6 = 0.2813\)
好友密度信息增益: \(gain(F)=info(D) - info_{_F}(D) = 0.8813 – 0.3245 = 0.5568\)
真實(shí)頭像信息增益: \(gain(H)=info(D) - info_{_H}(D) = 0.8813 – 0.8464 = 0.0349\)
因?yàn)楹糜衙芏?#xff08;F）具有最大的信息增益（好友密度信息熵最小，最易分割），所以第一次分裂選擇好友密度F為分裂屬性，分裂后的結(jié)果如下：
圖中按好友密度（F）分割樹，水平M和L為單一水平?jīng)Q策屬性分支（樹葉），沒有必要繼續(xù)分割。水平S包含決策屬性的不同水平，應(yīng)該繼續(xù)分割。待分割決策信息表為，
| S | NO | NO |
| M | NO | NO |
| M | NO | YES |
| S | YES | NO |
此時(shí)，設(shè)D為4個(gè)樣本集，其中決策屬性（真實(shí)賬戶/R）有1個(gè)YES、3個(gè)NO。決策屬性信息熵為：
\[info(D)=-\sum\limits_{i=1}^mp_{_i}\times{log_{_2}(p_{_i})}=-(\frac{1}{4}log_{_2}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}log_{_2}\frac{3}{4})=0.8113\]
日志密度屬性期望信息熵為：
\[\small{info_{_L}(D)=-\sum\limits_{j=1}^m\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{info(D_{_j})}=-[\frac{2}{4}\times{(\frac{1}{2}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times log_{_2}\frac{1}{2})}+\frac{2}{4}\times{(0\times log_{_2}0+1\times log_{_2}1)}]=0.5}\]
真實(shí)頭像屬性期望信息熵為：
\[\small{info_{_H}(D)=-\sum\limits_{j=1}^m\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{info(D_{_j})}=-[\frac{3}{4}\times{(\frac{2}{3}\times log_{_2}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times log_{_2}\frac{1}{3})}+\frac{1}{4}\times{(0\times log_{_2}0+1\times log_{_2}1)}]=0.6887}\]
日志密度信息增益: \(gain(L)=info(D) - info_{_L}(D) = 0.8113 – 0.5 = 0.2813\)
真實(shí)頭像信息增益: \(gain(H)=info(D) - info_{_H}(D) = 0.8113 – 0.8464 = 0.6887\)
因?yàn)槿罩久芏?#xff08;L）具有最大的信息增益，所以第二次分裂選擇日志密度（L）為分裂屬性，分裂后的結(jié)果如下圖表示：
圖中，日志密度為M時(shí)，無法做出判斷、也無法繼續(xù)進(jìn)行分裂。至此，決策樹構(gòu)建完畢。
設(shè)某人在SNS社區(qū)中的好友密度為L或M，無論其它屬性水平取值如何，均可判定為是真實(shí)賬戶；如果某人在SNS社區(qū)中的好友密度為S、日志密度也為S，可判定為是虛假賬戶；如果某人在SNS社區(qū)中的好友密度為S、日志密度為M，應(yīng)根據(jù)真實(shí)頭像信息做出判斷，由于樣本過少，無法繼續(xù)進(jìn)行。
三、C4.5算法
ID3算法是決策樹的一個(gè)經(jīng)典的構(gòu)造算法，但I(xiàn)D3算法也存在一些問題，比較突出的缺陷是信息增益的計(jì)算依賴于特征水平較多的特征，而屬性取值最多的屬性并不一定最優(yōu)。例如，投擲一枚分幣和一個(gè)色子這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，所有可能的期望信息熵為，
\(entropy(擲分幣)=-(\frac{1}{2}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times log_{_2}\frac{1}{2})=log_{_2}2=1\)
\(\small{entropy(擲色子)=-(\frac{1}{6}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\times log_{_2}\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\times log_{_2}\frac{1}{2})=log_{_2}6\approx 2.585}\)
通過信息熵的定義可知，在給定特征水平數(shù)條件下，各水平發(fā)生概率相等（如擲篩子6個(gè)數(shù)字發(fā)生的概率都為\(\frac{1}{6}\)），期望信息熵最大。所以，當(dāng)決策信息中某個(gè)變量特征水平較多時(shí)，ID3算法按信息增益指標(biāo)往往會(huì)選擇該變量或?qū)傩宰鰹榉指罟?jié)點(diǎn)。
1、C4.5算法的兩個(gè)基本公式
I、“分裂信息”公式
C4.5算法首先定義了“分裂信息”，其定義可以表示成：
\[split\_info_{_A}(D)=-\sum\limits_{j=1}^v\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{log_{_2}(\frac{|D_{_j}|}{|D|})}\]
式中，各符號(hào)意義與ID3算法相同，符號(hào)|D|為訓(xùn)練樣本數(shù)、\(|D_{_j}|\)為屬性A各水平樣本數(shù)。
II、增益率
\[gain\_ratio(A)=\frac{ratio_{_A}(D)}{split\_info_{_A}(D)}\]
III、分裂信息和增益率計(jì)算實(shí)例
在ID3算法案例中（SNS社區(qū)中不真實(shí)賬號(hào)檢測(cè)），決策屬性信息熵為：
\[info(D)=-\sum\limits_{i=1}^mp_{_i}\times{log_{_2}(p_{_i})}=-(\frac{1}{4}log_{_2}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}log_{_2}\frac{3}{4})=0.8113\]
把決策屬性替換成其它屬性，即為各屬性分裂信息熵。
日志密度分裂信息：
\[\small{split\_info_{_L}(D)=-\sum\limits_{j=1}^3\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{log_{_2}(\frac{|D_{_j}|}{|D|})}=-[\frac{3}{10}\times log_{_2}\frac{3}{10}+\frac{4}{10}\times log_{_2}\frac{4}{10}+\frac{3}{10}\times log_{_2}\frac{3}{10}]=1.57095}\]
好友密度分裂信息：
\[\small{split\_info_{_F}(D)=-\sum\limits_{j=1}^3\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{log_{_2}(\frac{|D_{_j}|}{|D|})}=-[\frac{4}{10}\times log_{_2}\frac{4}{10}+\frac{4}{10}\times log_{_2}\frac{4}{10}+\frac{2}{10}\times log_{_2}\frac{2}{10}]=1.5219}\]
真實(shí)頭像分裂信息：
\[\small{split\_info_{_H}(D)=-\sum\limits_{j=1}^2\frac{|D_{_j}|}{|D|}\times{log_{_2}(\frac{|D_{_j}|}{|D|})}=-[\frac{5}{10}\times log_{_2}\frac{5}{10}+\frac{5}{10}\times log_{_2}\frac{5}{10}]=1}\]
由前面ID3算法已知，
日志密度信息增益: \(gain(L)=info(D) - info_{_L}(D) = 0.8813 – 0.6 = 0.2813\)
好友密度信息增益: \(gain(F)=info(D) - info_{_F}(D) = 0.8813 – 0.3245 = 0.5568\)
真實(shí)頭像信息增益: \(gain(H)=info(D) - info_{_H}(D) = 0.8813 – 0.8464 = 0.0349\)
各屬性增益率為，
日志密度信息增益率：\[gain\_ratio(L)=\frac{ratio_{_L}(D)}{split\_info_{_L}(D)}=\frac{0.2813}{1.57095}=0.1791\]
好友密度信息增益率: \[gain\_ratio(F)=\frac{ratio_{_F}(D)}{split\_info_{_F}(D)}=\frac{0.5568}{1.5219}=0.3659\]
真實(shí)頭像信息增益率: \[gain\_ratio(H)=\frac{ratio_{_H}(D)}{split\_info_{_H}(D)}=\frac{0.0349}{1}=0.0349\]
由上述計(jì)算結(jié)果可知“好友密度”在屬性中具有最大的信息增益比，取“好友密度”為分割屬性，引出一個(gè)分枝，樣本按此劃分。對(duì)引出的每一個(gè)分枝再用此分類法進(jìn)行分類，再引出分枝。
某屬性的信息增益除以分裂信息，消除了屬性水平數(shù)量多少的影響，使得分裂屬性的選擇更加合理。
四、樣例代碼
樣例采用計(jì)算機(jī)購買意向信息表，
| 青 | 高 | 否 | 良 | 不買 | 64 |
| 青 | 高 | 否 | 優(yōu) | 不買 | 64 |
| 中 | 高 | 否 | 良 | 買 | 128 |
| 老 | 中 | 否 | 良 | 買 | 60 |
| 老 | 低 | 是 | 良 | 買 | 64 |
| 老 | 低 | 是 | 優(yōu) | 不買 | 64 |
| 中 | 低 | 是 | 優(yōu) | 買 | 64 |
| 青 | 中 | 否 | 良 | 不買 | 128 |
| 青 | 低 | 是 | 良 | 買 | 64 |
| 老 | 中 | 是 | 良 | 買 | 132 |
| 青 | 中 | 是 | 優(yōu) | 買 | 64 |
| 中 | 中 | 否 | 優(yōu) | 買 | 32 |
| 中 | 高 | 是 | 良 | 買 | 32 |
| 老 | 中 | 否 | 優(yōu) | 不買 | 63 |
| 老 | 中 | 否 | 優(yōu) | 買 | 1 |
該訓(xùn)練樣本集為單項(xiàng)分組數(shù)據(jù)，為了便于程序代碼處理，應(yīng)將分組數(shù)據(jù)還原為未分組數(shù)據(jù)，并將中文信息轉(zhuǎn)換為英文字符。
| 1 | Y | H | N | G | N |
| 2 | Y | H | N | G | N |
| 3 | Y | H | N | G | N |
| 4 | Y | H | N | G | N |
| 5 | Y | H | N | G | N |
| 6 | Y | H | N | G | N |
| 7 | Y | H | N | G | N |
| 8 | Y | H | N | G | N |
| 9 | Y | H | N | G | N |
| 10 | Y | H | N | G | N |
| 11 | Y | H | N | G | N |
| 12 | Y | H | N | G | N |
| 13 | Y | H | N | G | N |
| 14 | Y | H | N | G | N |
| 15 | Y | H | N | G | N |
| 16 | Y | H | N | G | N |
| 17 | Y | H | N | G | N |
| 18 | Y | H | N | G | N |
| 19 | Y | H | N | G | N |
| 20 | Y | H | N | G | N |
| 21 | Y | H | N | G | N |
| 22 | Y | H | N | G | N |
| 23 | Y | H | N | G | N |
| 24 | Y | H | N | G | N |
| 25 | Y | H | N | G | N |
| 26 | Y | H | N | G | N |
| 27 | Y | H | N | G | N |
| 28 | Y | H | N | G | N |
| 29 | Y | H | N | G | N |
| 30 | Y | H | N | G | N |
| 31 | Y | H | N | G | N |
| 32 | Y | H | N | G | N |
| 33 | Y | H | N | G | N |
| 34 | Y | H | N | G | N |
| 35 | Y | H | N | G | N |
| 36 | Y | H | N | G | N |
| 37 | Y | H | N | G | N |
| 38 | Y | H | N | G | N |
| 39 | Y | H | N | G | N |
| 40 | Y | H | N | G | N |
| 41 | Y | H | N | G | N |
| 42 | Y | H | N | G | N |
| 43 | Y | H | N | G | N |
| 44 | Y | H | N | G | N |
| 45 | Y | H | N | G | N |
| 46 | Y | H | N | G | N |
| 47 | Y | H | N | G | N |
| 48 | Y | H | N | G | N |
| 49 | Y | H | N | G | N |
| 50 | Y | H | N | G | N |
| 51 | Y | H | N | G | N |
| 52 | Y | H | N | G | N |
| 53 | Y | H | N | G | N |
| 54 | Y | H | N | G | N |
| 55 | Y | H | N | G | N |
| 56 | Y | H | N | G | N |
| 57 | Y | H | N | G | N |
| 58 | Y | H | N | G | N |
| 59 | Y | H | N | G | N |
| 60 | Y | H | N | G | N |
| 61 | Y | H | N | G | N |
| 62 | Y | H | N | G | N |
| 63 | Y | H | N | G | N |
| 64 | Y | H | N | G | N |
| 65 | Y | H | N | E | N |
| 66 | Y | H | N | E | N |
| 67 | Y | H | N | E | N |
| 68 | Y | H | N | E | N |
| 69 | Y | H | N | E | N |
| 70 | Y | H | N | E | N |
| 71 | Y | H | N | E | N |
| 72 | Y | H | N | E | N |
| 73 | Y | H | N | E | N |
| 74 | Y | H | N | E | N |
| 75 | Y | H | N | E | N |
| 76 | Y | H | N | E | N |
| 77 | Y | H | N | E | N |
| 78 | Y | H | N | E | N |
| 79 | Y | H | N | E | N |
| 80 | Y | H | N | E | N |
| 81 | Y | H | N | E | N |
| 82 | Y | H | N | E | N |
| 83 | Y | H | N | E | N |
| 84 | Y | H | N | E | N |
| 85 | Y | H | N | E | N |
| 86 | Y | H | N | E | N |
| 87 | Y | H | N | E | N |
| 88 | Y | H | N | E | N |
| 89 | Y | H | N | E | N |
| 90 | Y | H | N | E | N |
| 91 | Y | H | N | E | N |
| 92 | Y | H | N | E | N |
| 93 | Y | H | N | E | N |
| 94 | Y | H | N | E | N |
| 95 | Y | H | N | E | N |
| 96 | Y | H | N | E | N |
| 97 | Y | H | N | E | N |
| 98 | Y | H | N | E | N |
| 99 | Y | H | N | E | N |
| 100 | Y | H | N | E | N |
| 101 | Y | H | N | E | N |
| 102 | Y | H | N | E | N |
| 103 | Y | H | N | E | N |
| 104 | Y | H | N | E | N |
| 105 | Y | H | N | E | N |
| 106 | Y | H | N | E | N |
| 107 | Y | H | N | E | N |
| 108 | Y | H | N | E | N |
| 109 | Y | H | N | E | N |
| 110 | Y | H | N | E | N |
| 111 | Y | H | N | E | N |
| 112 | Y | H | N | E | N |
| 113 | Y | H | N | E | N |
| 114 | Y | H | N | E | N |
| 115 | Y | H | N | E | N |
| 116 | Y | H | N | E | N |
| 117 | Y | H | N | E | N |
| 118 | Y | H | N | E | N |
| 119 | Y | H | N | E | N |
| 120 | Y | H | N | E | N |
| 121 | Y | H | N | E | N |
| 122 | Y | H | N | E | N |
| 123 | Y | H | N | E | N |
| 124 | Y | H | N | E | N |
| 125 | Y | H | N | E | N |
| 126 | Y | H | N | E | N |
| 127 | Y | H | N | E | N |
| 128 | Y | H | N | E | N |
| 129 | M | H | N | G | Y |
| 130 | M | H | N | G | Y |
| 131 | M | H | N | G | Y |
| 132 | M | H | N | G | Y |
| 133 | M | H | N | G | Y |
| 134 | M | H | N | G | Y |
| 135 | M | H | N | G | Y |
| 136 | M | H | N | G | Y |
| 137 | M | H | N | G | Y |
| 138 | M | H | N | G | Y |
| 139 | M | H | N | G | Y |
| 140 | M | H | N | G | Y |
| 141 | M | H | N | G | Y |
| 142 | M | H | N | G | Y |
| 143 | M | H | N | G | Y |
| 144 | M | H | N | G | Y |
| 145 | M | H | N | G | Y |
| 146 | M | H | N | G | Y |
| 147 | M | H | N | G | Y |
| 148 | M | H | N | G | Y |
| 149 | M | H | N | G | Y |
| 150 | M | H | N | G | Y |
| 151 | M | H | N | G | Y |
| 152 | M | H | N | G | Y |
| 153 | M | H | N | G | Y |
| 154 | M | H | N | G | Y |
| 155 | M | H | N | G | Y |
| 156 | M | H | N | G | Y |
| 157 | M | H | N | G | Y |
| 158 | M | H | N | G | Y |
| 159 | M | H | N | G | Y |
| 160 | M | H | N | G | Y |
| 161 | M | H | N | G | Y |
| 162 | M | H | N | G | Y |
| 163 | M | H | N | G | Y |
| 164 | M | H | N | G | Y |
| 165 | M | H | N | G | Y |
| 166 | M | H | N | G | Y |
| 167 | M | H | N | G | Y |
| 168 | M | H | N | G | Y |
| 169 | M | H | N | G | Y |
| 170 | M | H | N | G | Y |
| 171 | M | H | N | G | Y |
| 172 | M | H | N | G | Y |
| 173 | M | H | N | G | Y |
| 174 | M | H | N | G | Y |
| 175 | M | H | N | G | Y |
| 176 | M | H | N | G | Y |
| 177 | M | H | N | G | Y |
| 178 | M | H | N | G | Y |
| 179 | M | H | N | G | Y |
| 180 | M | H | N | G | Y |
| 181 | M | H | N | G | Y |
| 182 | M | H | N | G | Y |
| 183 | M | H | N | G | Y |
| 184 | M | H | N | G | Y |
| 185 | M | H | N | G | Y |
| 186 | M | H | N | G | Y |
| 187 | M | H | N | G | Y |
| 188 | M | H | N | G | Y |
| 189 | M | H | N | G | Y |
| 190 | M | H | N | G | Y |
| 191 | M | H | N | G | Y |
| 192 | M | H | N | G | Y |
| 193 | M | H | N | G | Y |
| 194 | M | H | N | G | Y |
| 195 | M | H | N | G | Y |
| 196 | M | H | N | G | Y |
| 197 | M | H | N | G | Y |
| 198 | M | H | N | G | Y |
| 199 | M | H | N | G | Y |
| 200 | M | H | N | G | Y |
| 201 | M | H | N | G | Y |
| 202 | M | H | N | G | Y |
| 203 | M | H | N | G | Y |
| 204 | M | H | N | G | Y |
| 205 | M | H | N | G | Y |
| 206 | M | H | N | G | Y |
| 207 | M | H | N | G | Y |
| 208 | M | H | N | G | Y |
| 209 | M | H | N | G | Y |
| 210 | M | H | N | G | Y |
| 211 | M | H | N | G | Y |
| 212 | M | H | N | G | Y |
| 213 | M | H | N | G | Y |
| 214 | M | H | N | G | Y |
| 215 | M | H | N | G | Y |
| 216 | M | H | N | G | Y |
| 217 | M | H | N | G | Y |
| 218 | M | H | N | G | Y |
| 219 | M | H | N | G | Y |
| 220 | M | H | N | G | Y |
| 221 | M | H | N | G | Y |
| 222 | M | H | N | G | Y |
| 223 | M | H | N | G | Y |
| 224 | M | H | N | G | Y |
| 225 | M | H | N | G | Y |
| 226 | M | H | N | G | Y |
| 227 | M | H | N | G | Y |
| 228 | M | H | N | G | Y |
| 229 | M | H | N | G | Y |
| 230 | M | H | N | G | Y |
| 231 | M | H | N | G | Y |
| 232 | M | H | N | G | Y |
| 233 | M | H | N | G | Y |
| 234 | M | H | N | G | Y |
| 235 | M | H | N | G | Y |
| 236 | M | H | N | G | Y |
| 237 | M | H | N | G | Y |
| 238 | M | H | N | G | Y |
| 239 | M | H | N | G | Y |
| 240 | M | H | N | G | Y |
| 241 | M | H | N | G | Y |
| 242 | M | H | N | G | Y |
| 243 | M | H | N | G | Y |
| 244 | M | H | N | G | Y |
| 245 | M | H | N | G | Y |
| 246 | M | H | N | G | Y |
| 247 | M | H | N | G | Y |
| 248 | M | H | N | G | Y |
| 249 | M | H | N | G | Y |
| 250 | M | H | N | G | Y |
| 251 | M | H | N | G | Y |
| 252 | M | H | N | G | Y |
| 253 | M | H | N | G | Y |
| 254 | M | H | N | G | Y |
| 255 | M | H | N | G | Y |
| 256 | M | H | N | G | Y |
| 257 | L | M | N | G | Y |
| 258 | L | M | N | G | Y |
| 259 | L | M | N | G | Y |
| 260 | L | M | N | G | Y |
| 261 | L | M | N | G | Y |
| 262 | L | M | N | G | Y |
| 263 | L | M | N | G | Y |
| 264 | L | M | N | G | Y |
| 265 | L | M | N | G | Y |
| 266 | L | M | N | G | Y |
| 267 | L | M | N | G | Y |
| 268 | L | M | N | G | Y |
| 269 | L | M | N | G | Y |
| 270 | L | M | N | G | Y |
| 271 | L | M | N | G | Y |
| 272 | L | M | N | G | Y |
| 273 | L | M | N | G | Y |
| 274 | L | M | N | G | Y |
| 275 | L | M | N | G | Y |
| 276 | L | M | N | G | Y |
| 277 | L | M | N | G | Y |
| 278 | L | M | N | G | Y |
| 279 | L | M | N | G | Y |
| 280 | L | M | N | G | Y |
| 281 | L | M | N | G | Y |
| 282 | L | M | N | G | Y |
| 283 | L | M | N | G | Y |
| 284 | L | M | N | G | Y |
| 285 | L | M | N | G | Y |
| 286 | L | M | N | G | Y |
| 287 | L | M | N | G | Y |
| 288 | L | M | N | G | Y |
| 289 | L | M | N | G | Y |
| 290 | L | M | N | G | Y |
| 291 | L | M | N | G | Y |
| 292 | L | M | N | G | Y |
| 293 | L | M | N | G | Y |
| 294 | L | M | N | G | Y |
| 295 | L | M | N | G | Y |
| 296 | L | M | N | G | Y |
| 297 | L | M | N | G | Y |
| 298 | L | M | N | G | Y |
| 299 | L | M | N | G | Y |
| 300 | L | M | N | G | Y |
| 301 | L | M | N | G | Y |
| 302 | L | M | N | G | Y |
| 303 | L | M | N | G | Y |
| 304 | L | M | N | G | Y |
| 305 | L | M | N | G | Y |
| 306 | L | M | N | G | Y |
| 307 | L | M | N | G | Y |
| 308 | L | M | N | G | Y |
| 309 | L | M | N | G | Y |
| 310 | L | M | N | G | Y |
| 311 | L | M | N | G | Y |
| 312 | L | M | N | G | Y |
| 313 | L | M | N | G | Y |
| 314 | L | M | N | G | Y |
| 315 | L | M | N | G | Y |
| 316 | L | M | N | G | Y |
| 317 | L | L | Y | G | Y |
| 318 | L | L | Y | G | Y |
| 319 | L | L | Y | G | Y |
| 320 | L | L | Y | G | Y |
| 321 | L | L | Y | G | Y |
| 322 | L | L | Y | G | Y |
| 323 | L | L | Y | G | Y |
| 324 | L | L | Y | G | Y |
| 325 | L | L | Y | G | Y |
| 326 | L | L | Y | G | Y |
| 327 | L | L | Y | G | Y |
| 328 | L | L | Y | G | Y |
| 329 | L | L | Y | G | Y |
| 330 | L | L | Y | G | Y |
| 331 | L | L | Y | G | Y |
| 332 | L | L | Y | G | Y |
| 333 | L | L | Y | G | Y |
| 334 | L | L | Y | G | Y |
| 335 | L | L | Y | G | Y |
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| 1023 | L | M | N | E | N |
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代碼樣例
在函數(shù)webTJ.Datamining.setC45中，訓(xùn)練樣本、決策特征變量樣本和學(xué)習(xí)樣本都以數(shù)組形式表達(dá)，決策特征變量樣本為最后一列。如果學(xué)習(xí)樣本只有一組，應(yīng)按一維數(shù)組形式輸入，如['M','H','N','G','Y']。
五、案例分析
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/cloudtj/p/6874384.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的ID3和C4.5分类决策树算法 - 数据挖掘算法（7）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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