快速冪

題目鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1226

快速冪用了二分的思想，即將\(a^{b}\)的指數b不斷分解成二進制的形式，然后相乘累加起來，就是用\(a^{b/2}×a^{b/2}\)去求\(a{^b}\)。

例如:\(a^{11}=a^{(2^0+2^1+2^3)}\)

程序實現是這樣的（使用了位運算）：

ll pow(ll b,ll p,ll k) {for(;p;p>>=1) // >> 右移等同于 /2{if(p&1) //判斷p是否為奇數，是則返回trueans=ans*b%k;b=b*b%k;}return ans%k; }

AC代碼

#include<iostream> #include<cstdio> #define ll long long using namespace std; int k=1,m=0,flag; ll ans=1; ll pow(ll b,ll p,ll k) {for(;p;p>>=1){if(p&1)ans=ans*b%k;b=b*b%k;}return ans%k; } int main() {ll b,p,k;cin>>b>>p>>k;ll m=pow(b,p,k)%k;printf("%d^%d mod %d=%d",b,p,k,m); return 0; }

矩陣快速冪

題目鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3390

矩陣運算法則

矩陣A的大小為\(n×m\)，B的大小為\(n×k\)，設\(C=A×B\)

則\(C_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^{n}A_{i,p}×B_{p,j}\)

例：

矩陣乘滿足結合律：\((AB)C=A(BC)\)

有一種特殊的矩陣：單位矩陣，它從左上角到右下角的對角線上的元素均為1，除此以外全都為0。它在矩陣乘中相當于數乘中的1，即任何矩陣乘它都等于本身。

以上這些就是打出矩陣快速冪前必備的基礎知識了。

代碼實現

• 理解了矩陣乘法之后，我們就可以用函數來模擬矩陣乘了。

Mat Mul(Mat x,Mat y) {for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)c.m[i][j]=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=n;k++){c.m[i][j]=c.m[i][j]%mod+x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;}return c; }

• 因為矩陣乘滿足結合律，所以快速冪完全適用于矩陣，矩陣快速冪和普通快速冪幾乎一模一樣，不同點在于“*”號改成了Mul函數（不會普通快速冪的請前往P1226）

Mat pow(Mat x,ll y) {Mat ans=e;while(y){if(y&1)ans=Mul(ans,x); x=Mul(x,x);y>>=1;}return ans; }

知道了這些后，這道題基本就可以AC了

最后要注意開long long，不然會爆零。

AC代碼：

#include<iostream> #include<cstring> #define mod 1000000007 #define ll long long using namespace std; struct Mat{ll m[101][101]; };//結構體存矩陣 Mat a,e;//a是輸入的矩陣，e是單位矩陣 ll n,p; Mat Mul(Mat x,Mat y) //矩陣乘 {Mat c;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)c.m[i][j]=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=n;k++){c.m[i][j]=c.m[i][j]%mod+x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;}return c; } Mat pow(Mat x,ll y) //矩陣快速冪 {Mat ans=e;while(y){if(y&1)ans=Mul(ans,x); x=Mul(x,x);y>>=1;}return ans; }int main() {//輸入 cin>>n>>p;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>a.m[i][j];//算法核心 for(int i=1;i<=n;i++)e.m[i][i]=1; Mat ans=pow(a,p);//輸出 for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)cout<<ans.m[i][j]%mod<<" ";cout<<endl;} return 0; }

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總結

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