整數(shù)劃分

時(shí)間限制：3000?ms ?|? 內(nèi)存限制：65535?KB 難度：3 描述

將正整數(shù)n表示成一系列正整數(shù)之和：n=n1+n2+…+nk，?
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。?
正整數(shù)n的這種表示稱為正整數(shù)n的劃分。求正整數(shù)n的不?
同劃分個(gè)數(shù)。?
例如正整數(shù)6有如下11種不同的劃分：?
6；?
5+1；?
4+2，4+1+1；?
3+3，3+2+1，3+1+1+1；?
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；?
1+1+1+1+1+1。?

輸入

第一行是測試數(shù)據(jù)的數(shù)目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一個(gè)整數(shù)n（1<=n<=10）。

輸出

輸出每組測試數(shù)據(jù)有多少種分法。

樣例輸入

1 6

樣例輸出

11

來源

[苗棟棟]原創(chuàng)

思路：

遞歸法：

整數(shù)劃分問題是算法中的一個(gè)經(jīng)典命題之一，有關(guān)這個(gè)問題的講述在講解到遞歸時(shí)基本都將涉及。所謂整數(shù)劃分，是指把一個(gè)正整數(shù)n寫成如下形式：
? ? ? ?n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數(shù)，并且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個(gè)劃分。
? ? ? ?如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬于n的一個(gè)m劃分。這里我們記n的m劃分的個(gè)數(shù)為f(n,m);
? ? ? ?例如但n=4時(shí)，他有5個(gè)劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
? ? ? ?注意4=1+3 和 4=3+1被認(rèn)為是同一個(gè)劃分。
? ? ? ?該問題是求出n的所有劃分個(gè)數(shù)，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;
? ? ? ?根據(jù)n和m的關(guān)系，考慮以下幾種情況：?
? ? ? ?（1）當(dāng) n = 1 時(shí)，不論m的值為多少（m > 0 )，只有一種劃分即 { 1 };
? ? ? ? (2) ?當(dāng) m = 1 時(shí)，不論n的值為多少，只有一種劃分即 n 個(gè) 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };
? ? ? ? (3) ?當(dāng) n = m 時(shí)，根據(jù)劃分中是否包含 n，可以分為兩種情況：
? ? ? ? ? ? ? (a). 劃分中包含n的情況，只有一個(gè)即 { n }；
? ? ? ? ? ? ? (b). 劃分中不包含n的情況，這時(shí)劃分中最大的數(shù)字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 劃分。
? ? ? ? ? ? ? 因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);
? ? ? ? (4) 當(dāng) n < m 時(shí)，由于劃分中不可能出現(xiàn)負(fù)數(shù)，因此就相當(dāng)于 f(n, n);
? ? ? ? (5) 但 n > m 時(shí)，根據(jù)劃分中是否包含最大值 m，可以分為兩種情況：
? ? ? ? ? ? ? ?(a). 劃分中包含 m 的情況，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和為 n - m，可能再次出現(xiàn) m，因此是（n - m）的 m 劃分，因此這種劃分
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?個(gè)數(shù)為 f(n-m, m);
? ? ? ? ? ? ? ?(b). 劃分中不包含 m 的情況，則劃分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 劃分，個(gè)數(shù)為 f(n, m - 1);
? ? ? ? ? ? ? 因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);
? ? ? ? ?綜合以上情況，我們可以看出，上面的結(jié)論具有遞歸定義特征，其中（1）和（2）屬于回歸條件，（3）和（4）屬于特殊情況，將會(huì)轉(zhuǎn)換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬于遞推的方法，其本質(zhì)主要是通過減小m以達(dá)到回歸條件，從而解決問題。其遞推表達(dá)式如下：

? ? ? ? ?f(n, m) = ? ? ?1; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( n = 1 or m = 1 )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f(n, n); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( n < m )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1+ f(n, m - 1); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( n = m )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f(n - m, m) + f(n, m - 1); ? ? ? ( n > m )

以上講解來自于：http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html

看了這個(gè)，代碼就很簡單了

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法：

數(shù)組dp[N][M]表示N為被劃分?jǐn)?shù)，M為劃分?jǐn)?shù)的最大值，此題M==N，故即求dp[N][N];
1>狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M];

該怎樣理解呢？這里分兩步：

Step 1:所劃分的最大數(shù)不包括M，即每個(gè)劃分?jǐn)?shù)都是小于M的，此時(shí)總數(shù)為dp[N][M-1].

Step 2:所劃分的最大數(shù)包括M，那么這一步被劃分?jǐn)?shù)就應(yīng)該減去一個(gè)M，此時(shí)總數(shù)為dp[N-M][M].

到這里就是完整的思路了，應(yīng)該注意的是上面的劃分，劃分?jǐn)?shù)里有重復(fù)的數(shù)，那么如果要求劃分?jǐn)?shù)沒有重復(fù)的呢，該怎樣求呢？

這里的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和上面就有點(diǎn)細(xì)微區(qū)別了.先來看看方程：
2>dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M-1];

其實(shí)聯(lián)系1中的步驟就不難理解了，同樣分為兩步：

Step 1:所劃分的最大數(shù)不包括M，即每個(gè)劃分?jǐn)?shù)都是小于M的，此時(shí)總數(shù)也是dp[N][M-1].

Step 2:所劃分的最大數(shù)包括M，那么劃分就的相應(yīng)的減去M，注意到不能重復(fù)，即M劃分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的次數(shù)只能為1.所以M就得換成M-1了，即dp[N-M][M-1].

3>在拓展一下，要是劃分的個(gè)數(shù)為確定的數(shù)呢？即dp[N][K].表示N被劃分成K個(gè)數(shù).

這時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程就為

dp[N][K]=dp[N-K][K]+dp[N-1][K-1].

應(yīng)該這樣理解：
Step 1:被劃分的K個(gè)數(shù)中不包括1，那么就應(yīng)該先自動(dòng)的為其分配1，K個(gè)數(shù)共N-K，剩下的數(shù)自由分配，總能保證其值大于2，即dp[N-K][K].

Step 2:存在一個(gè)數(shù)為1的情況，此時(shí)剩下的N-1分給K-1個(gè)數(shù)，即dp[N-1][K-1].

來源：http://www.cnblogs.com/xl1027515989/p/3603533.html

代碼1(遞歸)：

#include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <set> #include <iostream> #include <cmath> #include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <algorithm> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define inf 0x3f3f3f3f #define mod 10000007 #define debug() puts("what the fuck!!!") #define ll long long using namespace std; int f(int n,int m)//f(n,m)定義的是n的m劃分，m是能組成n的數(shù)中的最大值 {if(n==1||m==1) return 1;if(n==m) return f(n,n-1)+1;if(n<m) return f(n,n);if(n>m) return f(n-m,m)+f(n,m-1); } int main() {int t,n;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);printf("%d\n",f(n,n));}return 0; } View Code

?

代碼2（DP）：

#include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <set> #include <iostream> #include <cmath> #include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <algorithm> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define inf 0x3f3f3f3f #define mod 10000007 #define debug() puts("what the fuck!!!") #define ll long long using namespace std; int dp[15][15];//dp[n][m],n為被劃分?jǐn)?shù)，m為劃分?jǐn)?shù)中的最大值 int main() {int t,n;scanf("%d",&t);while(t--){mem(dp,0);scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;else if(i<j)dp[i][j]=dp[i][i];else if(i>j)dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];}}printf("%d\n",dp[n][n]);}return 0; } View Code

?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/8614919.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的NYOJ90 整数划分(经典递归和dp)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。