題目大意

　　把 \(n\) 個有標號物品分到一些有標號的箱子中且不允許為空，問期望箱子的數量。

　　多組詢問。

　　\(n\leq 100000\)

題解

　　記 \(f_i\) 為 \(i\) 個有標號物品分到一些有標號的箱子中且不允許為空的箱子的數量之和。

　　記 \(g_i\) 為 \(i\) 個有標號物品分到一些有標號的箱子中且不允許為空的方案數。

　　答案為 \(\frac{f_n}{g_n}\)。

　　轉移就是枚舉最后一個箱子放了多少物品：
\[ \begin{align} g_i&=\sum_{j=1}^ig_{i-j}\binom{i}{j}\\ f_i&=\sum_{j=1}^i(f_{i-j}+g_{i-j})\binom{i}{j}\\ \end{align} \]

　　記 \(F(x)=\sum_{i\geq 0}f_i\frac{x^i}{i!},G(x)=\sum_{i\geq 0}g_i\frac{x^i}{i!}\)，（即這兩個數列的EGF）有：
\[ \begin{align} G(x)&=-G(x)+e^xG(x)+1\\ 2G(x)-e^xG(x)&=1\\ G(x)&=\frac{1}{2-e^x}\\ F(x)&=-F(x)-G(x)+e^x(F(x)+G(x))+1\\ (2-e^x)F(x)+(1-e^x)G(x)&=1\\ F(x)&=\frac{(e^x-1)G(x)}{2-e^x}\\ &=\frac{e^x-1}{(2-e^x)^2} \end{align} \]

　　直接卷積+求逆即可。

　　時間復雜度：\(O(n\log n)\)

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cstdlib> #include<ctime> #include<functional> #include<cmath> #include<vector> #include<assert.h> //using namespace std; using std::min; using std::max; using std::swap; using std::sort; using std::reverse; using std::random_shuffle; using std::lower_bound; using std::upper_bound; using std::unique; using std::vector; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef double db; typedef std::pair<int,int> pii; typedef std::pair<ll,ll> pll; void open(const char *s){ #ifndef ONLINE_JUDGEchar str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout); #endif } void open2(const char *s){ #ifdef DEBUGchar str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout); #endif } int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;} void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');} int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;} int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;} const ll p=998244353; const int N=270000; ll fp(ll a,ll b) {ll s=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)s=s*a%p;return s; } namespace ntt {const int W=262144;int rev[N];int *w[20];void init(){ll s=fp(3,(p-1)/W);w[18]=new int[1<<17];w[18][0]=1;for(int i=1;i<W/2;i++)w[18][i]=w[18][i-1]*s%p;for(int i=17;i>=1;i--){w[i]=new int[1<<(i-1)];for(int j=0;j<1<<(i-1);j++)w[i][j]=w[i+1][j<<1];}}void ntt(ll *a,int n,int t){for(int i=1;i<n;i++){rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);if(rev[i]>i)swap(a[i],a[rev[i]]);}for(int i=2,l=1;i<=n;i<<=1,l++)for(int j=0;j<n;j+=i)for(int k=0;k<i/2;k++){ll u=a[j+k];ll v=a[j+k+i/2]*w[l][k];a[j+k]=(u+v)%p;a[j+k+i/2]=(u-v)%p;}if(t==-1){reverse(a+1,a+n);ll inv=fp(n,p-2);for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*inv%p;}}void add(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l){static ll a1[N];int k=max(n,m);for(int i=0;i<=k;i++)a1[i]=0;for(int i=0;i<=n;i++)a1[i]=(a1[i]+a[i])%p;for(int i=0;i<=m;i++)a1[i]=(a1[i]+b[i])%p;for(int i=0;i<=l;i++)c[i]=a1[i];}void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l){static ll a1[N],a2[N];int k=1;while(k<=n+m)k<<=1;for(int i=0;i<k;i++)a1[i]=a2[i]=0;for(int i=0;i<=n;i++)a1[i]=a[i];for(int i=0;i<=m;i++)a2[i]=b[i];ntt(a1,k,1);ntt(a2,k,1);for(int i=0;i<k;i++)a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;ntt(a1,k,-1);for(int i=0;i<=l;i++)c[i]=(a1[i]+p)%p;}void getinv(ll *a,ll *b,int n){if(n==1){b[0]=fp(a[0],p-2);return;}getinv(a,b,n>>1);static ll a1[N],a2[N];for(int i=0;i<n<<1;i++)a1[i]=a2[i]=0;for(int i=0;i<n;i++)a1[i]=a[i];for(int i=0;i<n>>1;i++)a2[i]=b[i];ntt(a1,n<<1,1);ntt(a2,n<<1,1);for(int i=0;i<n<<1;i++)a1[i]=a2[i]*(2-a1[i]*a2[i]%p)%p;ntt(a1,n<<1,-1);for(int i=0;i<n;i++)b[i]=(a1[i]+p)%p;} } int n=100000; int k=131072; ll inv[N],fac[N],ifac[N]; ll a[N],b[N],f[N],g[N],ans[N],c[N]; int main() {open("d");ntt::init();inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){inv[i]=(-p/i*inv[p%i]%p+p)%p;fac[i]=fac[i-1]*i%p;ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;}for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=ifac[i];b[i]=-ifac[i]; // a[i]=1; // b[i]=-1;}a[0]=0;b[0]=1;ntt::getinv(b,g,k);ntt::mul(g,g,c,n,n,n);ntt::mul(a,c,f,n,n,n);for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=(f[i]*fac[i]%p+p)%p;g[i]=(g[i]*fac[i]%p+p)%p;}for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=(f[i]*fp(g[i],p-2)%p+p)%p;int t;scanf("%d",&t);int x;while(t--){scanf("%d",&x);printf("%lld\n",ans[x]);}return 0; }

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總結

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