索引

莫比烏斯反演1 定理

莫比烏斯反演2 證明

莫比烏斯反演3 技巧

前言

本篇內容全部為定理，無證明

定義

莫比烏斯函數的符號為\(\mu\)，通俗的來講
\[ \mu(n) = \left\{ \begin{matrix} 1 & n=1\\ (-1)^k & n = p_1p_2p_3\dots p_k\\ 0 & \text{其他情況} \end{matrix} \right. \]
簡單的說就是，如果\(n = 1\), \(\mu(n) = 1\)；\(n\)的因數多于兩個時\(\mu(d)=(-1)^k\)，\(k\)為\(n\)的因數個數，其余時候\(\mu(n)=0\)。
其實真正的定義式如下：
\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\]
然而方便起見我們還是采用最上面那個。

莫比烏斯函數的三個性質

1、莫比烏斯函數在n=1時\(\sum_{d|n}\mu(d)\)為1，其他時候為0
\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\]
P.S.這條本來不是性質，是定義
2、莫比烏斯函數是積性函數（不完全積性）
???即:
\[\mu(m \times n) = \mu(m) \times \mu(n)\]
\[\text{當且僅當}gcd(m,n)=1\]
3、對于任意的整數n
\[\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}ozvdkddzhkzd=\frac{\phi(n)}{n}\]

莫比烏斯反演

形式A

若在\(N^+\)上有兩個函數\(f(n)\)和\(g(n)\)滿足
\[g(n)=\sum_{d|n}f(n)\]
???那么
\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}ozvdkddzhkzd)\]

形式B

若在\(N^+\)上有兩個函數\(f(n)\)和\(g(n)\)滿足
\[g(n)=\sum_{d|n}f(n)\]
???那么
\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\fracozvdkddzhkzd{n})g(d)\]

計算莫比烏斯函數

做法A:定義法

暴力枚舉每一個數的質因子及其冪次，根據定義判斷即可。效率較低。

做法B:線性篩

前文講到了莫比烏斯函數是積性函數，那么我們珂以用線性篩來計算
首先，可以確定的是質數的函數值一定是\(-1\)
然后，如果是被素數更新到的合數，那么每一次都取反（1變-1，-1變1）。
要保證被最小的質因子更新

代碼

void getMu(int n){mu[1] = 1; is_not_prime[0] = is_not_prime[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i){if (!is_not_prime[i]) mu[primes[++prime_num] = i] = -1;for (int j = 1; j <= prime_num && primes[j] * i <= n; ++j){is_not_prime[i * primes[j]] = 1;if (!(i % primes[j])) break;elsemu[primes[j] * i] = -mu[i];}} }

參考資料

?莫比烏斯反演 作者：[中]·Gaussian 參考內容:部分性質
「莫比烏斯反演」學習筆記 作者：[中]·Chhokmah 參考內容:莫比烏斯函數的計算

轉載于:https://www.cnblogs.com/linzhengmin/p/10994520.html

總結

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