F. 地精部落

題目描述

傳說很久以前，大地上居住著一種神秘的生物：地精。 地精喜歡住在連綿不絕的山脈中。具體地說，一座長度為 N 的山脈 H可分 為從左到右的 N 段，每段有一個獨一無二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之間的正 整數。 如果一段山脈比所有與它相鄰的山脈都高，則這段山脈是一個山峰。位于邊 緣的山脈只有一段相鄰的山脈，其他都有兩段（即左邊和右邊）。 類似地，如果一段山脈比所有它相鄰的山脈都低，則這段山脈是一個山谷。 地精們有一個共同的愛好——飲酒，酒館可以設立在山谷之中。地精的酒館 不論白天黑夜總是人聲鼎沸，地精美酒的香味可以飄到方圓數里的地方。 地精還是一種非常警覺的生物，他們在每座山峰上都可以設立瞭望臺，并輪 流擔當瞭望工作，以確保在第一時間得知外敵的入侵。 地精們希望這N 段山脈每段都可以修建瞭望臺或酒館的其中之一，只有滿足 這個條件的整座山脈才可能有地精居住。 現在你希望知道，長度為N 的可能有地精居住的山脈有多少種。兩座山脈A 和B不同當且僅當存在一個 i，使得 Ai≠Bi。由于這個數目可能很大，你只對它 除以P的余數感興趣。

輸入格式

僅含一行，兩個正整數 N, P。

輸出格式

僅含一行，一個非負整數，表示你所求的答案對P取余 之后的結果。

樣例

樣例輸入

4 7

樣例輸出

3

數據范圍與提示

對于 20%的數據，滿足 N≤10；
對于 40%的數據，滿足 N≤18；
對于 70%的數據，滿足 N≤550；
對于 100%的數據，滿足 3≤N≤4200，P≤10^9?9??

大佬們都說這道題是水題，然而我貌似搞了一天，其實開始就想出來了一個n3的算法，但是肯定會T，我以為是個組合數的題，就去想其他解法了，然而那個n³再改一下就是正解了……

題解：

設f[i][j][0]表示考慮前i段，前i個數，第i段為j且為山谷，f[i][j][1]第i段為j且為山峰。那么f[i][j][0]=∑f[i-1][k][1];(j<k<i)。

這樣是n³怎么優化呢？可以發現f[i][j][0]與f[i][i-j+1][1]是一一對應的（相當于是把原來的山峰變成了山谷，山谷變成了山峰），不明白可以去手膜樣例。所以f[i][j][0]=∑f[i-1][i-k+1][0](j+1<=k<i)=∑f[i-1][k][0](1<=k<=i-j);

其實后面的0就完全可以去掉了：f[i][j]=∑f[i-1][k](1<=k<=i-j)，那么可以用一個變量輔助dp，就可以變為n²了。

1 for(int i=2;i<=n;i++) 2 { 3 tem=0; 4 for(int k=1;k<=i-1;k++) 5 tem=(tem+f[i-1][k])%p; 6 for(int j=1;j<=i;j++) 7 f[i][j]=tem,tem=((tem-f[i-1][i-j])%p+p)%p; 8 }

?

最后答案為(∑f[n][i])*2,因為最后一個點為山峰和山谷的方案數是一樣的，乘2即可。

#include<iostream> #include<cstdio> #define LL long long using namespace std; LL n,p; LL f[4210][4210]; signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&p);LL tem=0,ans=0;f[1][1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){tem=0;for(int k=1;k<=i-1;k++) tem=(tem+f[i-1][k])%p;for(int j=1;j<=i;j++)f[i][j]=tem,tem=((tem-f[i-1][i-j])%p+p)%p;}for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+f[n][i])%p;ans=(ans+ans)%p;cout<<ans<<endl; }

?但是這樣在bzoj上A不了，要用滾動數組;

#include<iostream> #include<cstdio> #define LL long long using namespace std; LL n,p,tem=0,ans=0;; LL f[2][4210]; signed main() {scanf("%lld%lld",&n,&p);f[1][1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){tem=0;for(int k=1;k<=i-1;k++) tem=(tem+f[(i-1)%2][k])%p;for(int j=1;j<=i;j++)f[i%2][j]=tem,tem=((tem-f[(i-1)%2][i-j])%p+p)%p;for(int k=0;k<=n;k++)f[(i-1)%2][k]=0;}for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+f[n%2][i])%p;ans=(ans+ans)%p;cout<<ans<<endl; }

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/Al-Ca/p/11120516.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[Sdoi2010] 地精部落的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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