構造死磕

什么是構造

小學中學奧數

先用數學解決再編程實現的構造題

一般算法無法解決

\(NOI+\)難度\(PJ-\)代碼量

坑

構造舉例

CF743C Vladik and fractions

• 題目讓我們構造一組數字,滿足\(\frac{2}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)
• 第一眼看到就想到聽老師講了半天才知道這不是簡單的OI題目,而是先用數學解決再編程實現的構造題
• 我們考慮如何構造:

\[ \dfrac{2}{n} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \]

• 首先容易想到\(\frac{2}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\)
• 這樣我們可以令\(x = n\),對原式化簡可以推出\(\frac{1}{n} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)
• 我們考慮人人都要在推數列時用到的一個公式:

\[ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x}{x \times (x-1)} - \dfrac{x-1}{x \times (x-1)}= \dfrac{1}{x \times ( x-1)} \]

• 那么我們就有了\[\frac{1}{x} = \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x \times (x - 1)}\]
• 把上式中的\(x\)替換成\(n\)這一題就出來了.

#include <iostream>using namespace std;int N;int main() {cin >> N;if(N == 1){cout << -1 << endl;return 0;}else {cout << N <<' '<< N+1 <<' '<< N*(N+1);}return 0; }

P3599 Koishi Loves Construction

• 這一題就是個坑,雖然大多數構造都是坑,但是您就不能給一組std的結果么?

task1

• 我們先考慮\(task1\),要求求出一組\(1-N\)排列使得其前綴和在\(\% N\)意義下各不相同.
• 我們發現排列中\(N\)前一項和自己這一項的前綴和相等,所以\(N\)只能處于排列首位
• 我們考慮取模的性質,對數字加上或者減去\(N\)并不影響答案.
• 那么第一項為\(N\),其前綴和取模后為\(0\).我們是否能構造出前綴和依次遞增\(1\)的序列呢?
• 想了想好像不行,因為如果想依次遞增\(1\),那么每一項都為\(1 + k \times N\ (k \in\ N)\),這顯然是不可能的,因為只有\(1\)滿足這個條件.
• 那么我們可以讓序列來回震蕩么?
• 考慮前綴和為\(0,1,-1,2,-2,3,-3,\cdots\),我們想想是否可以構造.
• 第一項為\(N\),第二項為\(1\),第三項為\(N-2\),第四項為\(3\),第五項為\(N-4\) \(\cdots\cdots\)
• 顯然可以構造,只要滿足\(N\)偶數即可!
• \(N\)為奇數時是否可以構造呢? \(N=1\)時顯然可以,之后的\(N=3,5,7\cdots\)時,根據官方題解:\(\sum^{N}_{i=1}{i} = \frac{N\times(N-1)}{2}\)而\(N\mid\frac{N\times(N-1)}{2}\).故無解.

task2

• 我們同樣發現,\(N\)出現后的前綴積全為\(0\),所以\(N\)必須在最后一位出現,同理\(1\)出現前一位的前綴積和自己這一項的前綴積相等,所以\(1\)必須出現在第一項.
• 然后考慮如何構造,先考慮遞增的.
• 第一項為\(1\),我們是否能構造出第\(k,k\not = N\)項前綴積為\(k\)呢?
• 那么,每一項應該為\(1,\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3},\cdots\),考慮\(x \cdot inv(x)\equiv1(mod\ N)\),我們可以有如下轉化\(\frac{k}{k-1} = k \cdot inv(k-1)\),然后坑比樣例不是這樣給的,但是這樣是對的.
• 思考下什么時候無法構造,如果\(N\)不為質數和\(4\),那么\(N\mid (N-1)!\)是一定的,對于\(4\),其因子在\(3!\)只出現一次,成立.
• 特判一下\(1\)和\(4\),這一題也做完了.

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總結

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