1. 基本原理

堆排序就是利用堆的特性進行一個無序序列的排序工作。

堆的特點

堆分為最大堆和最小堆，其實就是完全二叉樹。

最大堆要求節點的元素都要不小于其孩子

最小堆要求節點元素都不大于其左右孩子。

兩者對左右孩子的大小關系不做任何要求，其實很好理解。

有了上面的定義，我們可以得知，處于最大堆的根節點的元素一定是這個堆中的最大值。

其實我們的堆排序算法就是抓住了堆的這一特點，每次都取堆頂的元素，將其放在序列最后面，然后將剩

余的元素重新調整為最大堆，依次類推，最終得到排序的序列。

基本思想

將初始待排序關鍵字序列(a1,a2,?,an)構建成大頂堆，此堆為初始的無序區

將堆頂元素a[1]與最后一個元素a[n]交換，此時得到新的無序區(a1,a2,?,an?1)和新的有序區(an)

由于交換后新的堆頂a[1]可能違反堆的性質，因此需要對當前無序區(a1,a2,?,an?1)調整為新堆，然后再次將a[1]與無序區最后一個元素交換，得到新的無序區(a1,a2,?,an?2)新的有序區(an?1,an?2)。不斷重復此過程直到有序區的元素個數為n-1，則整個排序過程完成。

一個例子

這里有一個無序的序列，[16,7,3,20,17,8]

首先構造一個二叉樹：

然后依據構造的二叉樹，從下至上調整，得到一個初始化的最大堆。

再講堆頂的數和堆底的數互換。

但是，此時的堆可能不符合要求，需要再從新調整：

再重復，將堆頂和堆底互換（當然了，在之前，堆的大小要減1）

又一次進行調整：

重復，將堆頂和堆底互換（當然了，在之前，堆的大小又要減1）

再調整：

再換：

再調整：

再換：

到這，一個堆排序就完成了，最終得到一個最小堆。

2. Python 實現

程序

#定義一個對單一節點的父節點以及其孩子大小交換的函數 def initialMaxHeap(a,startIndex,endIndex):leftChildIndex=2*startIndex+1 #父節點為i，左邊孩子的位置為2*i+1#判斷左邊孩子是否有右邊的孩子if leftChildIndex+1<=endIndex and a[leftChildIndex+1]>a[leftChildIndex]:leftChildIndex+=1 if a[leftChildIndex]>a[startIndex]:#左右孩子值大于父節點的值的時候，交換,使得這個二叉樹的最大值位于父節點上temp=a[startIndex]a[startIndex]=a[leftChildIndex]def myHeapSort(a):#a是要排序的序列listLength=a.__len__()while True:if listLength==1:break;finalNodeHavingChild=(listLength)//2-1 #尋找最下一層的父節點#從下到上調整堆for i in range(finalNodeHavingChild,-1,-1):#print(a[i])initialMaxHeap(a,i,listLength-1)#將堆頂的數換到堆底temp=a[0]a[0]=a[listLength-1]a[listLength-1]=temp#這個調整之后，可能不滿足最大堆的定義，需要再從上到下再調整一次#從上到下調整堆for j in range(0,finalNodeHavingChild+1):#print(a[j])initialMaxHeap(a,j,listLength-1)#將堆的數量減少listLength-=1return a def generatingRandomNumber(sampleNumber,lower,upper):#sampleNumber :是生成的隨機序列的長度#lower和upper分別是生成隨機序列的下限與上限#最后，函數會返回一個隨機的無序的序列a。import randoma=[]aSize=a.__len__()while 1:aSize=a.__len__()if aSize>=sampleNumber:breakelse:temp=int(random.randint(lower,upper))a.append(temp)return aif __name__=="__main__":a=generatingRandomNumber(20,1,100)print()print('the sequence before sorting is:\n')print(a)print()print('the sequence after sorting is:\n')print(myHeapSort(a))

結果為：

結果正確！！！

排序動態圖

3. 時間復雜度分析

在構建堆(初始化大頂堆)的過程中，完全二叉樹從最下層最右邊的非終端結點開始構建，將它與其孩子進行比較和必要的互換，對于每個非終端結點來說，其實最多進行兩次比較和一次互換操作，因此整個構建堆的時間復雜度為: O(n)。大概需進行 n2?2=n 次比較和 n2 次交換。

在正式排序時，n 個結點的完全二叉樹的深度為?log2n?+1并且有 n個數據則需要取 n?1 次調整成大頂堆的操作，每次調整成大頂堆的時間復雜度為O(log2n)。因此，重建堆的時間復雜度可近似看做: O(nlog2n)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的排序算法三：堆排序基本原理以及Python实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。