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高斯白噪声下基于EM的多径时延估计

發(fā)布時(shí)間：2023/12/2 编程问答 37 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了高斯白噪声下基于EM的多径时延估计小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

本文主要來(lái)源于復(fù)現(xiàn)文獻(xiàn)的部分內(nèi)容，有一定的參考價(jià)值：
[1] 劉波. 基于EM的突發(fā)通信參數(shù)估計(jì)技術(shù)研究[D]. 2009.
文末有代碼和參考文獻(xiàn)網(wǎng)盤下載地址，有問(wèn)題歡迎留言交流！

1 引言

對(duì)于多徑傳播，接收信號(hào)是由源信號(hào)與它的各次回波疊加而成的。對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行時(shí)間延遲估計(jì)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、電聲測(cè)量、石油地震勘探和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義。

對(duì)于雷達(dá)、聲納以及無(wú)線通信等應(yīng)用而言，均需要對(duì)各徑信號(hào)的時(shí)延進(jìn)行估計(jì)，然后進(jìn)行RAKE合并等處理，以避免由于多徑效應(yīng)帶來(lái)的系統(tǒng)性能惡化。本文考慮發(fā)送信號(hào)已知情況下的多徑時(shí)延估計(jì)問(wèn)題，此類多徑時(shí)延估計(jì)問(wèn)題是主動(dòng)式雷達(dá)與聲納系統(tǒng)中常見(jiàn)的；另外，無(wú)線通信領(lǐng)域中用于對(duì)信道進(jìn)行估計(jì)和均衡的導(dǎo)頻信號(hào)，非合作源定位所用的照射信號(hào)中具有某些已知時(shí)域特征的部分等也屬此類問(wèn)題。

經(jīng)典的時(shí)間延遲估計(jì)技術(shù)采用的是匹配濾波器的方法，它利用接收信號(hào)與發(fā)射信號(hào)求相關(guān)后發(fā)生多峰的位置對(duì)時(shí)間延遲做出估計(jì)，但是這種方法的多徑分辨能力依賴于發(fā)射信號(hào)相關(guān)函數(shù)的主峰寬度(近似與信號(hào)帶寬成反比)。當(dāng)信號(hào)帶寬較窄時(shí)，基于相關(guān)運(yùn)算的方法會(huì)由于各個(gè)峰值的相互重疊而帶來(lái)較大的估計(jì)誤差。故目前多徑環(huán)境下時(shí)間延遲估計(jì)問(wèn)題的重點(diǎn)是研究相關(guān)不可解情況下的高分辨率多徑時(shí)間延遲估計(jì)算法。

最大似然估計(jì)是參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的有效方法，具有近似最佳的估計(jì)性能及穩(wěn)健性。但是，鑒于多信號(hào)多參數(shù)估計(jì)問(wèn)題所需多維優(yōu)化的復(fù)雜性，因此在多徑時(shí)延估計(jì)問(wèn)題中直接使用最大似然估計(jì)方法并不可行。EM算法可以將多維優(yōu)化的復(fù)雜問(wèn)題分解為一系列一維優(yōu)化問(wèn)題的迭代，在減小運(yùn)算復(fù)雜性的同時(shí)可以保證估計(jì)性能。

2 問(wèn)題背景及信號(hào)模型

多徑時(shí)延估計(jì)是現(xiàn)代通信信號(hào)處理中信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的一個(gè)重要組成部分。發(fā)送端的發(fā)送信號(hào)由于受到傳播空間中不同物體的反射和漫射，使得接收機(jī)收到的信號(hào)是多條路徑上信號(hào)的合成，即接收信號(hào) $r (t)$ 可以簡(jiǎn)單表示為如下形式[1]：

$\sum\limits_{l = 1}^L {{h_l}s(t - {\tau _l}) + w(t)} \quad t \in [0,T)$ (1)

式中， $s (t)$ 為t時(shí)刻的發(fā)送信號(hào)； $w (t)$ 為t時(shí)刻的觀測(cè)噪聲，其符合高斯分布，平均功率為 $σ2{{\sigma }^{2}}$ ；參數(shù) $τl{{\tau }_{l}}$ 和 ${{h}_{l}}$ 分別為各條多徑信號(hào)的時(shí)延和復(fù)信道系數(shù)，包含有信號(hào)由發(fā)送至接收所經(jīng)歷的時(shí)間延遲、幅度衰減、以及相位變化等信息，反映了信號(hào)的傳播距離、傳播介質(zhì)以及反射體的特性等； $L$ 為存在的總的多徑個(gè)數(shù)， $[0, T)$ 為信號(hào)的觀測(cè)區(qū)間。

3 基于EM的多徑時(shí)延估計(jì)

由第2章可知，接收信號(hào)可以表示為(1)式，總的信號(hào)路徑個(gè)數(shù)為L(zhǎng)，因此帶估計(jì)參數(shù)向量可以表示如下

$θ=(τ1,τ2,?,τL,h1,h2,?,hL)T\theta ={{({{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}},\cdots ,{{\tau }_{L}},{{h}_{1}},{{h}_{2}},\cdots ,{{h}_{L}})}^{T}}$ (2)

本文考慮確定性信號(hào)下的[\theta ]估計(jì)問(wèn)題。為不失一般性，假設(shè)

$∫Ts2(t)dt=1\int_{T}{{{s}^{2}}(t)dt=1}$ (3)

則由(2)可得[r(t)]的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

$ln?fR(r;θ)=C?12σ2∫[r(t)?∑l=1Lhls(t?τl)]2dt\ln {{f}_{R}}(r;\theta )=C-\frac{1}{2{{\sigma }^{2}}}{{\int{\left[ r(t)-\sum\limits_{l=1}^{L}{{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}})} \right]}}^{2}}dt$ (4)

其中，C為常數(shù)。為獲得 ${{h}_{l}}$ 和 $τl{{\tau }_{l}}$ 的最大似然估計(jì)量，必須解決式(5)的最優(yōu)化問(wèn)題。

$min?θ∫[r(t)?∑l=1Lhls(t?τl)]2\underset{\theta }{\mathop{\min }}\,{{\int{\left[ r(t)-\sum\limits_{l=1}^{L}{{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}})} \right]}}^{2}}$ (5)

這是一個(gè)2N元的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)然，使用暴力也可以解決問(wèn)題，在粗略的網(wǎng)格上通過(guò)搜索目標(biāo)函數(shù)求值，粗略定位全局最小值，然后應(yīng)用高斯法、牛頓－拉夫森法或其他迭代梯度搜索算法進(jìn)行求解。然而，這些方法往往是非常復(fù)雜的，且需要大量的計(jì)算時(shí)間。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，對(duì) 進(jìn)行分解，以參與疊加的各個(gè)單徑信號(hào)分量為基礎(chǔ)構(gòu)造完備數(shù)據(jù)如下所示

$x(t)=(x1(t),x2(t),?,xL(t))Tx(t)={{\left( {{x}_{1}}(t),{{x}_{2}}(t),\cdots ,{{x}_{L}}(t) \right)}^{T}}$ (6)

其中

$xl(t)=hls(t?τl)+wl(t){{x}_{l}}(t)={{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}})+{{w}_{l}}(t)$

$∑l=1Lwl(t)=w(t)\sum\limits_{l=1}^{L}{{{w}_{l}}(t)}=w(t)$

$r(t)=1Tx(t)1T=(1,1,?,1)r(t)={{\mathbf{1}}^{T}}x(t)\begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}{{\mathbf{1}}^{T}}=(1,1,\cdots ,1)$

則有

$r(t)=∑l=1Lxl(t)r(t)=\sum\limits_{l=1}^{L}{{{x}_{l}}(t)}$ (7)

我們希望通過(guò)使 $ln?fR(r;θ)\ln {{f}_{R}}(r;\theta )$ 最大來(lái)求解的最大似然估計(jì)量（MLE），但這是困難的，以求 $ln?fX(x;θ)\ln {{f}_{X}}(x;\theta )$ 的最大值來(lái)代替，因x無(wú)法求得，故使用對(duì)數(shù)似然函數(shù)的條件數(shù)學(xué)期望來(lái)代替對(duì)數(shù)似然函數(shù)[2]，即

$E{ln?fX(x;θ)∣r;θ}=∫ln?fX(x;θ)f(x∣r;θ)dxE\left\{ \ln {{f}_{X}}(x;\theta )|r;\theta \right\}=\int{\ln }{{f}_{X}}(x;\theta )f(x|r;\theta )dx$ (8)

上式中，必須知道 $θ\theta$ 才能確定 $ln?fX(x;θ)\ln {{f}_{X}}(x;\theta )$ ，故對(duì)數(shù)似然函數(shù)的期望將作為當(dāng)前的猜測(cè)，令 $θi{{\theta }^{i}}$ 表示 $θ\theta$ 的MLE的第 $i$ 次猜測(cè)，則根據(jù)

$ln?fX(x;θ)=∑l=1Lln?fXl(xl;θ)=C1?∑l=1L12σl2∫[xl(t)?hls(t?τl)]2dt\ln {{f}_{X}}(x;\theta )=\sum\limits_{l=1}^{L}{\ln {{f}_{{{X}_{l}}}}({{x}_{l}};\theta )}={{C}_{1}}-\sum\limits_{l=1}^{L}{\frac{1}{2\sigma _{l}^{2}}}{{\int{\left[ {{x}_{l}}(t)-{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}}) \right]}}^{2}}dt$ (9)

式中，C1為與待估參數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)。確定完備數(shù)據(jù)的平均對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

$Q(θ,θi)=E{ln?fX(x;θ)∣r;θ}=C2?∑l=1L12σl2∫[xli(t)?hls(t?τl)]2dtQ(\theta ,{{\theta }^{i}})=E\left\{ \ln {{f}_{X}}(x;\theta )|r;\theta \right\}={{C}_{2}}-\sum\limits_{l=1}^{L}{\frac{1}{2\sigma _{l}^{2}}}{{\int{\left[ x_{l}^{i}(t)-{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}}) \right]}}^{2}}dt$ (10)

式中，C2為與待估參數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)。其中， $x_{l}^{i}(t)$ 由觀測(cè)數(shù)據(jù) $r (t)$ 以及第 $i$ 次迭代中獲得的待估參數(shù) $θi{{\theta }^{i}}$ 給出，利用聯(lián)合高斯隨機(jī)變量的條件期望的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，可以得到如下表示

$xli(t)=E{xl(t)/∑l=1Lxl(t)=r(t);θi}=E(xl)+CxrCrr?1(r?E(r))x_{l}^{i}(t)=E\left\{ {{{x}_{l}}(t)}/{\sum\limits_{l=1}^{L}{{{x}_{l}}(t)=r(t);}}\;{{\theta }^{i}} \right\}=E\left( {{x}_{l}} \right)+{{C}_{xr}}C_{rr}^{-1}(r-E(r))$ (11)

由此可以看出，EM算法的M步驟中，對(duì)條件期望函數(shù) $Q(θ,θi)Q(\theta ,{{\theta }^{i}})$ 的最大化問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)求和項(xiàng)中的各分量分別最大化來(lái)實(shí)現(xiàn)，即

$θ^i+1=arg?max?θQ(θ,θ^i){{\hat{\theta }}^{i+1}}=\arg \underset{\theta }{\mathop{\max }}\,Q(\theta ,{{\hat{\theta }}^{i}})$ (12)

則EM算法步驟可以描述為：

E-step：根據(jù)所獲得的條件期望函數(shù) $Q(θ,θi)Q(\theta ,{{\theta }^{i}})$ 的表達(dá)式，利用第 $i$ 次迭代得到的參數(shù)估計(jì) $θ^i{{\hat{\theta }}^{i}}$ 。對(duì) l=1,2,…,L，構(gòu)造數(shù)據(jù)

$xli(t)=hlis(t?τli)+βl[r(t)?∑l=1Lhlis(t?τli)]x_{l}^{i}(t)=h_{l}^{i}s(t-\tau _{l}^{i})+{{\beta }_{l}}\left[ r(t)-\sum\limits_{l=1}^{L}{h_{l}^{i}s(t-\tau _{l}^{i})} \right]$ (13)

M-step：根據(jù)上一步得到的數(shù)據(jù)，對(duì)l=1,2,…,L，計(jì)算使(14)式最優(yōu)化的參數(shù) $hli+1,τli+1h_{l}^{i+1},\tau _{l}^{i+1}$

$min?hl,τl∫[xli(t)?hls(t?τl)]2dt\underset{{{h}_{l}},{{\tau }_{l}}}{\mathop{\min }}\,{{\int{\left[ x_{l}^{i}(t)-{{h}_{l}}s(t-{{\tau }_{l}}) \right]}}^{2}}dt$ (14)

其中，

$∑l=1Lβl=1\sum\limits_{l=1}^{L}{{{\beta }_{l}}=1}$

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算，得對(duì)應(yīng)于同一信號(hào)的參數(shù)估計(jì) $(h^l,τ^l)({{\hat{h}}_{l}},{{\hat{\tau }}_{l}})$ 為

$τ^l=arg?max?τl∫xli(t)s(t?τl)dt{{\hat{\tau }}_{l}}=\arg \underset{{{\tau }_{l}}}{\mathop{\max }}\,\int{x_{l}^{i}(t)s(t-{{\tau }_{l}})}dt$ (15)

$h^l=∫xli(t)s(t?τli+1)dt∫s2(t?τli+1)dt{{\hat{h}}_{l}}=\frac{\int{x_{l}^{i}(t)s(t-\tau _{l}^{i+1})}dt}{\int{{{s}^{2}}(t-\tau _{l}^{i+1})dt}}$ (16)

重復(fù)以上兩個(gè)步驟直到算法收斂。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

為了驗(yàn)證上述所提出的對(duì)多徑時(shí)延EM估計(jì)方法的有效性，進(jìn)行蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)次數(shù)N=1000。仿真中，采用加窗的線性調(diào)頻信號(hào) $s (t)$ 作為已知的導(dǎo)頻信號(hào)，如下所示

$s(t)=g(t)ej2π(t?T2)2,0<t≤Ts(t)=g(t){{e}^{j2\pi {{\left( t-\frac{T}{2} \right)}^{2}}}},\ 0<t\le T$ (17)

其中， $g (t)$ 為鐘形的窗函數(shù)，如下所示：

$g(t)={0.5?0.5cos?(πt/Tw)0<t<Tw1Tw?t?T?Tw,Tw=T100.5?0.5cos?[π(t?T)/Tw]T?Tw<t?Tg(t)=\left\{\begin{array}{ll}0.5-0.5 \cos \left(\pi t / T_{w}\right) & 0<t<T_{w} \\ 1 & T_{w} \leqslant t \leqslant T-T_{w}, T_{w}=\frac{T}{10} \\ 0.5-0.5 \cos \left[\pi(t-T) / T_{w}\right] & T-T_{w}<t \leqslant T\end{array}\right.$

信號(hào)的調(diào)頻斜率K=100000，持續(xù)時(shí)間T=20.6ms，采樣速率 ${{f}_{s}}$ =10080，采樣周期 ${{T}_{s}}=1/{{f}_{s}}$ ，信號(hào)帶寬 $B = 2 K T = 4.12 k H z$ 。設(shè)接收信號(hào) $r (t)$ 由2路多徑信號(hào)構(gòu)成，其參數(shù)分別為

$τl=16Ts,h1=ejπ/4;τ2=20Ts,h1=ejπ/8{{\tau }_{l}}=16{{T}_{s}},{{h}_{1}}={{e}^{j\pi /4}};{{\tau }_{2}}=20{{T}_{s}},{{h}_{1}}={{e}^{j\pi /8}}$ (19)

在EM算法的迭代過(guò)程中，設(shè)置迭代收斂的判定條件為對(duì)數(shù)似然函數(shù)的增量小于其取值的0.1%，滿足此條件時(shí)的參數(shù)取值即為最終估計(jì)值，即定義如下的收斂判定條件：

$Λ(r;θi+1)?Λ(r;θi)≤Λ(r;θi)×0.1\Lambda \left( \mathbf{r};{{\theta }^{i+1}} \right)-\Lambda \left( \mathbf{r};{{\theta }^{i}} \right)\le \Lambda \left( \mathbf{r};{{\theta }^{i}} \right)\times 0.1%$ (20)

4.2 仿真結(jié)果及分析

鐘形函數(shù) $g (t)$ 的時(shí)域波形如圖1所示，線性調(diào)頻信號(hào) $s (t)$ 的實(shí)部、虛部的時(shí)域波形如圖2，線性調(diào)頻信號(hào)的時(shí)頻圖如圖3所示。

圖1 鐘形窗函數(shù)g(t)時(shí)域波形圖圖2 線性調(diào)頻信號(hào)s(t)的實(shí)部、虛部波形圖圖3 線性調(diào)頻信號(hào)s(t)的時(shí)頻圖

圖4～圖６為對(duì)時(shí)延參數(shù)和傳播系數(shù)參數(shù)估計(jì)的均方根誤差性能隨信噪比變化的關(guān)系曲線。

圖４時(shí)延估計(jì)均方根誤差隨信噪比變化的關(guān)系曲線圖5 幅度衰減因子實(shí)部均方根誤差隨信噪比變化的關(guān)系曲線圖6 幅度衰減因子虛部均方根誤差隨信噪比變化的關(guān)系曲線

從圖中所示的仿真結(jié)果可以看出，在信噪比較低的情況下，會(huì)存在多徑時(shí)延估計(jì)不準(zhǔn)的偶然情況，除信噪比SNR=2.5dB時(shí)，時(shí)延估計(jì)存在誤差外，其他信噪比下誤差均為0。此外，在信噪比SNR≥5.5dB時(shí)，幅度衰減因子的實(shí)部、虛部均方根誤差可達(dá)到10-3左右。仿真結(jié)果表明，高斯白噪聲下基于EM的多徑時(shí)延估計(jì)算法能夠較好地估計(jì)多徑時(shí)延和幅度衰減因子。

5 總結(jié)與展望

當(dāng)多徑信號(hào)時(shí)延不是采樣周期的整數(shù)倍時(shí)，要提高時(shí)延估計(jì)的精度需要通過(guò)內(nèi)插處理才能得到。在EM算法的每次迭代中都使用內(nèi)插將會(huì)大大增加算法的運(yùn)算量，因此可以首先對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，通過(guò)DFT將其變換到頻率域，再進(jìn)行EM算法迭代處理，即可避免了原先在迭代過(guò)程中頻繁的內(nèi)插處理。迭代初始值的設(shè)置既影響EM算法的收斂結(jié)果，同時(shí)也影響算法的收斂速度。初值的選擇和迭代更新可參考輪換投影（AP）方法。

6 參考文獻(xiàn)

[1] 劉波. 基于EM的突發(fā)通信參數(shù)估計(jì)技術(shù)研究[D]. 2009.
[2] Steven M. Kay. 統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理基礎(chǔ)——檢測(cè)與估計(jì)理論（卷I、卷II合集）[M], 2014. 154-156.
[3] Meir Feder, Ehud Weinstein. Multipath Time-Delay Estimation via the EM Algorithm[D]. Woods Hole Oceanographic Institution, 1987.

7 代碼

下載:https://download.csdn.net/download/wlwdecs_dn/12620599

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高斯白噪声下基于EM的多径时延估计的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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