多元函數與一元函數有一個很大的區別在于定義域的不同：一元函數自變量就在x軸上，因此趨近的方向只有某點的左右兩側，因此，考察一元函數極限的時候，僅考慮左鄰域和右鄰域即可。但是多變量微分變得復雜，趨向方式是無限種可能的。

比如：二元函數，定義域在一個平面內，趨近方式可以是直線，也可以是曲線。

1.導數

2.微分

3.微分與導數的關系

其實微分就是一個線性映射,導數就是這個線性映射在某個向量基(此處是標準正交基)下的矩陣,而偏導數(或者廣義的方向導數)就是這個矩陣的元素！
簡單點兒：

就說最簡單的一元情況下，導數是一個確定的數值，幾何意義是切線斜率，物理意義是瞬時速度。
而微分是一個函數表達式，用于自變量產生微小變化時計算因變量的近似值。

4.偏導

類比于一元函數，也想研究函數的變化率問題，在日常生活中，我們經常遇到這樣的問題，一個值和許多元素相關，我們習慣只改變一個變量值，其它變量值固定，看變化的情況。

這個思想就是偏導數：

固定y，讓x變化就是對x的偏導數：從圖中來看相當于經過A點做平行于xoz的平面，與空間曲面相交得到曲線，做切線，此切線的斜率即此點關于x的偏導。（具體公式去看課本，這里理解思想）

固定x，讓y變化就是對y的偏導數：

5.全微分

上面已經研究了分別控制自變量x,y，函數的改變量。那么兩個自變量都變化呢，很幸運我們得到如下方式：

可以看到全微分是滿足疊加性的，全微分等于由于各自變量改變引起函數值變化之和。

當然，全微分要比存在偏導要求更嚴格。全微分要求任意路徑的切線都要存在且在一個切平面內（參見如何理解全微分），而偏導存在只能證明沿著x軸和y軸方向的切線存在。

6.可微分與偏導數關系

7. 方向導數

方向導數思想很簡單，x和y均不固定，但是x和y的變化在一條直線上，此時考察函數的變化。值得注意的是，即使任意方向導數均存在，也不能保證全微存在。因為僅保證了以直線趨近到點A的導數存在。

公式：

為了幫助理解，仍用二元函數，定義域內取一個方向為：

8.方向導數與全微分的關系

9. 梯度向量

梯度可謂是多元函數中一個基本的名詞。它的物理意義我們都很清楚或者教材也都會介紹：方向指向數值增長最快的方向，大小為變化率。通過這個性質也說明梯度是有方向和大小的矢量。通過梯度的定義我們發現，梯度的求解其實就是求函數偏導的問題，而我們高中所學的導數在非嚴格意義上來說也就是一元的“偏導”。通過這一點我們自然而然地想到梯度應該是導數向更高維數的推廣。然而一我一直想不明白的是：
梯度是矢量而某點的導數是個常量，兩者應該有本質的區別，而導數的正負也反映了函數值的大小變化，而不是一直指向數值增大的方向。
在此我們通過一張圖來說明解釋一下兩者的關系：

其實一元函數肯定也有梯度，我們經常不提及的原因其實很簡單：一元函數的梯度方向自變量軸（x）！而導數值的正負號決定了這個方向是正方向還是反方向。如圖所示，A點右＂領域＂的導數為正值，則梯度的方向跟x軸正方向一致，梯度方向指向數值增大的方向；相反在B點右＂領域＂，導數為負值，則梯度的方向為x軸的負方向，梯度方向也是指向數值增大的方向。通過這個例子向多維函數推廣，梯度從數值小指向數值大的物理意義也就容易理解了。而一元函數的大小自然也就是導數的絕對值。

問題來了，方向向量角度是可以從0-360度的，哪個方向是函數值變化最大的呢？

從數學上來看非常簡單，上面已經推導出了內積的形式，那么內積最大的時候，即兩者同向的時候，此時得到梯度向量為，

梯度向量是方向導數最大的地方，也就是曲面上最陡峭的方向，在日常生活中梯度向量用的非常多，因為我們經常會遇到找尋下降最快的路徑（梯度向量的反方向）等問題，比如下山最省力氣的路徑。

https://blog.csdn.net/czmacd/article/details/81178650
https://zhuanlan.zhihu.com/p/39059717

總結

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