一、協(xié)方差：

可以通俗的理解為：兩個(gè)變量在變化過(guò)程中是同方向變化？還是反方向變化？同向或反向程度如何？

你變大，同時(shí)我也變大，說(shuō)明兩個(gè)變量是同向變化的，這時(shí)協(xié)方差就是正的。

你變大，同時(shí)我變小，說(shuō)明兩個(gè)變量是反向變化的，這時(shí)協(xié)方差就是負(fù)的。

從數(shù)值來(lái)看，協(xié)方差的數(shù)值越大，兩個(gè)變量同向程度也就越大。反之亦然。

咱們從公式出發(fā)來(lái)理解一下：

公式簡(jiǎn)單翻譯一下是：如果有X,Y兩個(gè)變量，每個(gè)時(shí)刻的“X值與其均值之差”乘以“Y值與其均值之差”得到一個(gè)乘積，再對(duì)這每時(shí)刻的乘積求和并求出均值（其實(shí)是求“期望”，但就不引申太多新概念了，簡(jiǎn)單認(rèn)為就是求均值了）。

下面舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明吧：

比如有兩個(gè)變量X,Y，觀察t1-t7（7個(gè)時(shí)刻）他們的變化情況。

簡(jiǎn)單做了個(gè)圖：分別用紅點(diǎn)和綠點(diǎn)表示X、Y，橫軸是時(shí)間。可以看到X，Y均圍繞各自的均值運(yùn)動(dòng)，并且很明顯是同向變化的。

總結(jié)一下，如果協(xié)方差為正，說(shuō)明X，Y同向變化，協(xié)方差越大說(shuō)明同向程度越高；如果協(xié)方差為負(fù)，說(shuō)明X，Y反向運(yùn)動(dòng)，協(xié)方差越小說(shuō)明反向程度越高。

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一般的同學(xué)看到above the line的內(nèi)容就ok了。但有一些愛鉆研的同學(xué)，可能會(huì)進(jìn)一步提問(wèn)：

另外，如果你還鉆牛角尖，說(shuō)如果t1，t2，t3……t7時(shí)刻X，Y都在增大，而且X都比均值大，Y都比均值小，這種情況協(xié)方差不就是負(fù)的了？7個(gè)負(fù)值求平均肯定是負(fù)值啊？但是X，Y都是增大的，都是同向變化的，這不就矛盾了？

這個(gè)更好解釋了：這種情況不可能出現(xiàn)！

因?yàn)?#xff0c;你的均值算錯(cuò)了……

好了，現(xiàn)在，對(duì)于協(xié)方差應(yīng)該有點(diǎn)感覺了吧？

二、相關(guān)系數(shù)：

對(duì)于相關(guān)系數(shù)，我們從它的公式入手。一般情況下，相關(guān)系數(shù)的公式為：

翻譯一下：就是用X、Y的協(xié)方差除以X的標(biāo)準(zhǔn)差和Y的標(biāo)準(zhǔn)差。

所以，相關(guān)系數(shù)也可以看成協(xié)方差：一種剔除了兩個(gè)變量量綱影響、標(biāo)準(zhǔn)化后的特殊協(xié)方差。

既然是一種特殊的協(xié)方差，那它：

1、也可以反映兩個(gè)變量變化時(shí)是同向還是反向，如果同向變化就為正，反向變化就為負(fù)。

2、由于它是標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差，因此更重要的特性來(lái)了：它消除了兩個(gè)變量變化幅度的影響，而只是單純反應(yīng)兩個(gè)變量每單位變化時(shí)的相似程度。

比較抽象，下面還是舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：

這是為什么呢？

因?yàn)橐陨蟽煞N情況下，在X、Y兩個(gè)變量同向變化時(shí)，X變化的幅度不同，這樣，兩種情況的協(xié)方差更多的被變量的變化幅度所影響了。

所以，為了能準(zhǔn)確的研究?jī)蓚€(gè)變量在變化過(guò)程中的相似程度，我們就要把變化幅度對(duì)協(xié)方差的影響，從協(xié)方差中剔除掉。于是，相關(guān)系數(shù)就橫空出世了，就有了最開始相關(guān)系數(shù)的公式：

所以標(biāo)準(zhǔn)差描述了變量在整體變化過(guò)程中偏離均值的幅度。協(xié)方差除以標(biāo)準(zhǔn)差，也就是把協(xié)方差中變量變化幅度對(duì)協(xié)方差的影響剔除掉，這樣協(xié)方差也就標(biāo)準(zhǔn)化了，它反應(yīng)的就是兩個(gè)變量每單位變化時(shí)的情況。這也就是相關(guān)系數(shù)的公式含義了。

同時(shí)，你可以反過(guò)來(lái)想象一下：既然相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差除以標(biāo)準(zhǔn)差，那么，當(dāng)X或Y的波動(dòng)幅度變大的時(shí)候，它們的協(xié)方差會(huì)變大，標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)變大，這樣相關(guān)系數(shù)的分子分母都變大，其實(shí)變大的趨勢(shì)會(huì)被抵消掉，變小時(shí)也亦然。于是，很明顯的，相關(guān)系數(shù)不像協(xié)方差一樣可以在$+\infty$ 到$?\infty$間變化，它只能在＋1到－1之間變化（相關(guān)系數(shù)的取值范圍在＋1到－1之間變化可以通過(guò)施瓦茨不等式來(lái)證明，有些復(fù)雜，這里就不贅述了，有興趣的可以google下）。

總結(jié)一下，對(duì)于兩個(gè)變量X、Y，

當(dāng)他們的相關(guān)系數(shù)為1時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量變化時(shí)的正向相似度最大，即，你變大一倍，我也變大一倍；你變小一倍，我也變小一倍。也即是完全正相關(guān)（以X、Y為橫縱坐標(biāo)軸，可以畫出一條斜率為正數(shù)的直線，所以X、Y是線性關(guān)系的）。

隨著他們相關(guān)系數(shù)減小，兩個(gè)變量變化時(shí)的相似度也變小，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0時(shí)，兩個(gè)變量的變化過(guò)程沒有任何相似度，也即兩個(gè)變量無(wú)關(guān)。

當(dāng)相關(guān)系數(shù)繼續(xù)變小，小于0時(shí)，兩個(gè)變量開始出現(xiàn)反向的相似度，隨著相關(guān)系數(shù)繼續(xù)變小，反向相似度會(huì)逐漸變大。

當(dāng)相關(guān)系數(shù)為－1時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量變化的反向相似度最大，即，你變大一倍，我變小一倍；你變小一倍，我變大一倍。也即是完全負(fù)相關(guān)（以X、Y為橫縱坐標(biāo)軸，可以畫出一條斜率為負(fù)數(shù)的直線，所以X、Y也是線性關(guān)系的）。

好了，講了這么多，不知你看完是否對(duì)相關(guān)系數(shù)也有了一些感覺？

原文作者GRAYLAMB
https://www.zhihu.com/question/20852004

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的「协方差」与「相关系数」的概念的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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