函數(shù)的極限

第一步：判斷極限類型

1、

型

常用方法：①洛必達法則 ②等價無窮小代換 ③泰勒公式

2、

型

常用方法：①洛必達法則

②分子分母同除以分子和分母各項中最高階的無窮大

③基本極限：

當n=m時，極限等于

,當n＜m時，極限等于0，當n>m時，極限等于+∞.

3、∞-∞ 型

常用方法：①通分化為

（適用于分式差）

②根式有理化（適用于根式差）

③提無窮因子，然后等價代換或變量代換（t=

）、泰勒公式

4、0 · ∞ 型

常用方法：f(x)由分子變?yōu)榉帜?/p>，化為 型或 型

5、

型

常用方法：

①湊基本極限

②改寫成指數(shù)

，用洛必達法則；

③利用結(jié)論：

6、

型

這類函數(shù)一定是冪指函數(shù)，即

，求解的方法式將其改寫為指數(shù)形式，從而就化為0 · ∞ 型。

第二步：化簡原式

a）兩式相加減時考慮：

①提取極限非零的公因子

②拆開后等價無窮小代換

（拆開的條件：加法兩式相除的極限≠-1，減法兩式相除的極限≠1，

即若

，則

，則 ）

b）看見根號相加減時，考慮有理化

c）分母為

，分子為sinx，cosx， ，ln(1+x)時，考慮泰勒公式

d）冪指函數(shù)時：先改寫冪指函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，再等價代換

當

---

數(shù)列的極限

常見的數(shù)列極限有：

1、不定式

與函數(shù)極限方法相同，但注意不能直接使用洛必達法則，要先改寫為函數(shù)極限才可以使用

2、n項和的數(shù)列極限

常用方法 ①夾逼原理 ②定積分定義 ③級數(shù)求和

當變化部分的最大值與其主體部分相比較是次量級，使用夾逼原理

（如

, 中1、2為變化部分， 為主體部分。）

當變化部分的最大值與其主體部分相比較是同量級，使用定積分定義

（ 如

）

一種常見的極限式：

3、n項連乘的數(shù)列極限

常用方法： ①夾逼原理 ②取對數(shù)化為n項和

4、遞推關(guān)系

定義的數(shù)列極限

常用方法:

①當數(shù)列具有單調(diào)性時：先證明數(shù)列收斂（單調(diào)有界準則），然后令

，

等式

兩端取極限得A=f(A)，由此求得極限A

②當數(shù)列不具有單調(diào)性或單調(diào)性很難判定時：

先令

，然后等式 兩端取極限得A=f(A)，由此求得極限A，得到極限初步結(jié)果，最后再證明令 .

---

證明數(shù)列極限的“通法框架”：

（引用 來源：跌落的小刀
鏈接：https://www.zhihu.com/question/21068499/answer/1156867616）

一個數(shù)列極限為A在圖形上（即數(shù)列的散點圖）可表示為①②③三種形態(tài)，對①②③三種形態(tài)來說，均可使用夾逼定理進行計算，但是對于①②兩種形態(tài)的數(shù)列來說有更為簡便的證明方法，即是單調(diào)有界準則，而對于③這一種形態(tài)的數(shù)列來說只能運用夾逼定理進行證明；

• 一個問題的討論：數(shù)列的有界性（①②③三種形態(tài)）和單調(diào)性（①②兩種形態(tài)）誰依附于誰？是先證明單調(diào)性還是先證明有界性？答案是有界性。因為對于夾逼定理而言，我們需要進行放縮處理（可以結(jié)合下面的例題進行思考），而放縮的關(guān)鍵就是數(shù)列的有界性必須知道；對于單調(diào)有界準則而言，單調(diào)性的證明（鄰項相減、相除、求導(dǎo)）又依賴于數(shù)列有界性；

• 如何證明有界性？

我們可以看到數(shù)列的極限A在數(shù)列的有界性中扮演著重要角色，所以我們需要先求出A。這一步其實很簡單，我們可以先假設(shè)數(shù)列極限存在并為A，利用已知條件解方程求出A即可，之后再證明數(shù)列極限的存在就可以了（因為我們是先假設(shè)極限存在的）。求出A之后一切就都明了了，我們可以求出數(shù)列的前幾項的具體數(shù)值，然后與A進行比較，就可以知道此數(shù)列是①②③中的哪種形態(tài)了。然后所有的東西就已經(jīng)陳列在我們面前：是運用夾逼還是單調(diào)有界？是單調(diào)增還是減？以及數(shù)列的界限在哪也很清楚了。然后我們就可以猜測數(shù)列的界限了，當然猜完之后我們還需要證明，也就是許多教科書上運用的歸納法，總的來說單調(diào)性的證明就是先猜后證；

• 如何證明單調(diào)性？

單調(diào)性的證明方法就是：鄰項相減、相除、求導(dǎo)；

• 方法的選擇：“單調(diào)有界準則”or“夾逼定理”？

當我們判斷出所求數(shù)列屬于①②③中的哪種形態(tài)時，就可以知道應(yīng)該使用哪種方法了。對①②③來說均可以使用夾逼定理；對①②來說既可以使用夾逼也可以使用單調(diào)有界，但是具體哪個證明方法更簡單，就因題而異了；

• 總結(jié)：數(shù)列極限證明流程

第一步：先假設(shè)極限存在并設(shè)為A，然后利用已知條件求出A（通常是解方程），繼而判斷出所求數(shù)列屬于①②③中的哪種形態(tài)；
第二步：由第一步判斷出所求數(shù)列的形態(tài)后，就可以根據(jù)數(shù)列形態(tài)猜測數(shù)列的界限了，然后運用歸納法對數(shù)列界限進行證明；
第三步：當所求數(shù)列屬于①②形態(tài)時既可以運用夾逼亦可以運用單調(diào)有界準則，至于哪個更簡單可以自主選擇；所求數(shù)列屬于③形態(tài)時，只能運用夾逼；
第四步：單調(diào)性的證明（只有數(shù)列是①②形態(tài)時才進行單調(diào)性證明），考研考的都是這種，方法是鄰項相減、相除、求導(dǎo)；

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的labview求n阶乘的和_求极限方法总结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。