《實(shí)變函數(shù)》作業(yè)
一．判斷題
1． 可測(cè)的充要條件是可測(cè)。 （ ）
2．所有無(wú)理數(shù)構(gòu)成的集合是可數(shù)集。 （ ）
3．如果在上單調(diào)減少，則在上可測(cè)。 （ ）
4．直線上任意非空開(kāi)集均可表示為至多可數(shù)個(gè)兩兩不交的開(kāi)區(qū)間的并。 （ ）
5．若是不可數(shù)集，則 。 （ ）
6．若函數(shù)在上黎曼可積，則至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)。 ( )
7．可數(shù)集合的任意并是可數(shù)集合。 （ ）
8．中既開(kāi)且閉的集只有空集與。 （ ）
9．如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則在上是黎曼可積。 （ ）
10.若，則是可測(cè)集。 （ ）
11.定義上的狄利克雷函數(shù)

在上幾乎處處連續(xù)。 （ ）
12.集合上的常值函數(shù)必可積。 （ ）
13、區(qū)間[0，1]是一個(gè)可數(shù)集合。 （ ）
14、有界可測(cè)集合上的連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)。 （ ）
15、Rieman可積函數(shù)一定是Lebegus可積函數(shù)。 （ ）
16、[0，1]上的無(wú)理數(shù)是一個(gè)可數(shù)集合。 （ ）
17、有界可測(cè)集合上的連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)。 （ ）
18、有界區(qū)間上Rieman可積函數(shù)一定是Lebegus可積函數(shù)。 （ ）
19、設(shè)是一個(gè)無(wú)限集合，則至少有一個(gè)聚點(diǎn)。 （ ）
20、如果在上幾乎處處收斂于，則在上。 （ ）
21． （ ）
22．若至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則。 （ ）
23．在一切集合的基數(shù)中，是最大的基數(shù)。 （ ）
24．若是可測(cè)集，則的任一子集均可測(cè)。 （ ）
25、設(shè)，則的特征函數(shù)是可測(cè)函數(shù)的充要條件是為可測(cè)集。 （ ）
26、單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)之集是至多可數(shù)集。 （ ）

二．
1．證明：
2．試找出使和之間一一對(duì)應(yīng)的一種方法。
3試列出使集合和一一對(duì)應(yīng)的方法。
4證明：
5、證明
6、證明：可數(shù)點(diǎn)集是Lebesgue 可測(cè)集，并求其測(cè)度。
7、證明：
8．證明：
9. 作出一個(gè)和的一一對(duì)應(yīng)，并寫出這個(gè)一一對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式。
10. 證明：由直線上互不相交的開(kāi)區(qū)間作為集的元素，則至多為可數(shù)集。

三．證明題

設(shè)是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列，，而幾乎處處收斂于有限函數(shù)，則對(duì)任意的，存在常數(shù)與可測(cè)集，，使在上，對(duì)一切，有。

設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，證明：，集合是閉集。

設(shè)在可積，則對(duì)任何，必存在上的連續(xù)函數(shù)，使得
.

設(shè)在上，且?guī)缀跆幪幱谏铣闪?#xff0c; 試證在上幾乎處處成立。

設(shè)是的個(gè)可測(cè)子集，假定中的任一點(diǎn)至少屬于這個(gè)集合中的個(gè)，證明：必有一個(gè)集，它的測(cè)度不小于。
6.設(shè)在Cantor集上定義函數(shù)，而在的余集中長(zhǎng)為的構(gòu)成區(qū)間上定義。試證在上可積，并求出積分值。

設(shè)在上，且?guī)缀跆幪幊闪?#xff0c; 則幾乎處處有收斂于。

試從，，證明.

證明：

設(shè)，在上可積。如果對(duì)于任何有界可測(cè)函數(shù)，都有

證明：在上幾乎處處成立。
11. 設(shè)為上非負(fù)可積函數(shù)列，若

證明：。
12. 證明：
。
13．設(shè)是直線上的一個(gè)有界集合，，則對(duì)任意小于的正數(shù)，存在的子集，使得
14設(shè)為全集，證明：
15設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，證明對(duì)任意的常數(shù)，集合

是一個(gè)閉集。
16設(shè)是一些互不交的可測(cè)集，，證明：

17設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，證明對(duì)任意的常數(shù)，集合

是一個(gè)開(kāi)集。

18、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，證明：，集合是開(kāi)集。
19、證明：可數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零。
20. 證明：由直線上互不相交的開(kāi)區(qū)間作為集的元素，則至多為可數(shù)集。
21、設(shè)是直線上的一個(gè)有界集合，，則對(duì)任意小于的正數(shù)，存在的子集，使得
22、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，證明：，集合是閉集。
23、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是上的可測(cè)函數(shù)，證明：是可測(cè)函數(shù)。

總結(jié)

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