《拓?fù)鋵W(xué)》作業(yè)
單項(xiàng)選擇
1．關(guān)于笛卡兒積，下面等式成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）當(dāng)且僅當(dāng)
2．設(shè)是映射，，，則下面結(jié)論不成立的是：
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在字典序拓?fù)淇臻g中，子集是：
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，也非閉集
4．設(shè)為映射，（表示實(shí)數(shù)集合），，下面關(guān)于的定義中是的度量的是：
（A） （B）
（C） （D）
5．設(shè)是平庸拓?fù)淇臻g，，則交錯序列在拓?fù)淇臻g中的收斂點(diǎn)集合是：
（A） （B） （C） （D）
6．設(shè)，，，，則在積空間中等于
（A） （B）
（C） （D）
7．設(shè)，，，，則在子空間中的內(nèi)部等于：
（A） （B） （C） （D）
8．拓?fù)淇臻g的Lindel?ff性，可分性，緊致性，完全正則性中是有限可積性質(zhì)的有：
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
9．下列拓?fù)淇臻g的蘊(yùn)涵關(guān)系中，成立的有
完全正則空間正則空間，完全正則空間正規(guī)空間，連通空間局部連通空間，
度量空間可分空間，度量空間Lindel?ff空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
10．拓?fù)淇臻g的可分性，緊致性，Lindel?ff性，連通性中在連續(xù)射下保持不變的性質(zhì)有：
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
11．設(shè)是一個等價關(guān)系，則不滿足的條件是
（A） （B）R∩R-1= （C） （D）
12．設(shè)是映射，，則下面等式中不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
13．在字典序拓?fù)淇臻g中，子集是：
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，亦非閉集
14．設(shè)，，則在拓?fù)淇臻g中常值序列的 收斂點(diǎn)集合是
（A） （B） （C） （D）
15．設(shè)，，，
，，則在積空間中，等于：
（A） （B）
（C） （D）
16.設(shè)，，，則在子空間Y中，A的閉包等于
（A） （B） （C） （D）
17．設(shè)是拓?fù)淇臻g，是可度量空間是指存在的度量使得由誘導(dǎo)的拓?fù)錆M足：
(A) (B) ? (D)
18．拓?fù)淇臻g的可分性，Lindel?ff性, 正規(guī)性、完全正則性中是遺傳性質(zhì)的有
（A）1個 (B) 2個 ? 3個 (D) 4個
19．下列拓?fù)淇臻g的蘊(yùn)涵關(guān)系中成立的有
滿足第二可數(shù)理空間可分空間 度量空間Lindel?ff空間
正規(guī)空間完全正則空間 度量空間滿足第一可數(shù)公理空間
正規(guī)空間正則空間 完全正則空間正則空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
20．設(shè)是拓?fù)淇臻g，則對中任意兩個不相交閉集存在連續(xù)映射使得，當(dāng)且僅當(dāng)是：
（A）正則空間 （B）完全正則空間 （C）正規(guī)空間 （D）空間
21．設(shè)是全集，，當(dāng)且僅當(dāng)
（A） （B） （C） （D）
22．設(shè)是映射，，則下面結(jié)論不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
23．在字典序拓?fù)淇臻g中，子集是
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，亦非閉集
24．定義度量，，，
，則度量空間（）中的單位球是

（A） （B）

（C） （D）

25．設(shè)是離散拓?fù)淇臻g，, 則在中交錯序列的收斂點(diǎn)集合是
（A） (B) ? (D)
26．設(shè)，，，則在子空間Y中A的閉包等于
（A） （B） （C） （D）
27．設(shè)，，，，則在積空間中等于
（A） （B）
（C） （D）
28．拓?fù)淇臻g的連通性、緊致性、可分性、完全正則性，Lindel?ff性，滿足第二可數(shù)公理性中是可遺傳性質(zhì)的有
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
29．下列拓?fù)淇臻g之間的蘊(yùn)涵關(guān)系中成立的有：
滿足第二可數(shù)合理空間可分空間， 度量空間滿足第一可數(shù)公理空間
完全正則空間正則空間， 緊致空間Lindel?ff空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
30．設(shè)是拓?fù)淇臻g，則對中任意兩個不相交閉集存在連續(xù)映射使得，當(dāng)且僅當(dāng)是：
（A）正則空間 （B）完全正則空間 （C）正規(guī)空間 （D）空間
31．設(shè)是映射，則滿足的條件是
（A）；如果，則
（B）；如果，則
（C）；如果，則
（D）；如果，則
32．設(shè)則下面等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
33．在字典序拓?fù)淇臻g中，子集是
（A）開集，非閉集 （B）閉集，非開集
（C）即開，且閉集 （D）即非開集，亦非閉集
34．設(shè)是度量空間，是的由誘導(dǎo)的拓?fù)?#xff0c;，則下列關(guān)于的結(jié)論不正確的是
（A）存在使得
（B）使得
（C）使得
（D）存在使得
35．設(shè)，則在拓?fù)淇臻g中常值序列…的收斂點(diǎn)集合是
（A） （B） （C） （D）
36．設(shè)，，則在子空間中的內(nèi)部是
（A） （B） （C） （D）
37．設(shè)，，，則在積空間中，等于
（A） （B）
（C） （D）
38．拓?fù)淇臻g的可分性，Lindel?ff性，緊致性，正規(guī)性，連通性中是有限可積的性質(zhì)有：
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
39．下列拓?fù)淇臻g之間的蘊(yùn)涵關(guān)系中成立的有
正規(guī)空間正則空間 完全正則空間正則空間
局部連通空間連通空間 滿足第二可數(shù)公理空間可分空間
度量空間滿足第一可數(shù)公理空間 度量空間可分空間
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
40．設(shè)是拓?fù)淇臻g，則對中任意閉集及，存在連續(xù)映射使得當(dāng)且僅當(dāng)是
（A）空間 （B）正規(guī)空間 （C）完全正則空間 （D）空間

二．證明題
1.設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是映射，證明若是連續(xù)映射，則，。
2.設(shè)是一一映射，而且，，證明是一個連續(xù)映射.
3.設(shè)，是兩個拓?fù)淇臻g，是映射，證明若是連續(xù)性映射，則
4.設(shè)是拓?fù)淇臻g，是映射，且滿足，證明是連續(xù)映射。

5.設(shè)是拓?fù)淇臻g，Y是X的連通子集，A，B是X的隔離子集，
證明：或者，或者
6.設(shè)是拓?fù)淇臻g，, 是連通的，是即開且閉集 ,證明: 或者，或者。
7. 設(shè)是連通拓?fù)淇臻g，，證明：
8. 設(shè)是一個連通空間，是一個非空真子集，證明
9.證明正則的空間是空間。
10.設(shè)R表示實(shí)數(shù)集合，

證明（1）存在R的唯一拓?fù)湟詾橥負(fù)浠?
（2）證明.
11. 設(shè)是一個緊致空間，是中的一個閉子集，證明是的一個緊致子集。
12.設(shè)R表示實(shí)數(shù)集合，。
證明：（1）存在R的唯一拓?fù)湟詾橥負(fù)浠?br /> （2）在拓?fù)淇臻g中證明：.
13.設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，
證明：（1）是一個拓?fù)淇臻g
(2) 不是空間
14.設(shè)X是集合，是中的有限子集}。
證明：（1）是拓?fù)淇臻g
（2）是一個正則空間
15.設(shè)R表示實(shí)數(shù)集合，表示有理數(shù)集，令

證明（1）存在R的唯一拓?fù)湟詾橥負(fù)浠?#xff1a;
（2）.
16.設(shè)是一個集合, 是有限集}
（1）證明是一個拓?fù)淇臻g。
（2）證明是一個緊致空間。
17.設(shè)是正則空間，是緊致子集，是中閉集，。證明存在，使得
18. 設(shè)是一個空間，是中的一個緊致子集，，證明存在，使得。

總結(jié)

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