隨著量子信息和量子計算的快速發(fā)展（經(jīng)費多了），科研工作者們一邊感嘆著量子計算機時代即將擁有的強大計算能力，一邊又在考慮著如何將現(xiàn)有的高效算法和量子計算機相適配。作為最近幾年如此火爆的機器學(xué)習(xí)，也就自然而然地加入了量子化大軍。2018年有Lukin的量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Seth Lloyd的量子生成對抗學(xué)習(xí)。這篇文章里將通過量子生成對抗網(wǎng)絡(luò)QGAN來簡介一下量信工作者們對機器學(xué)習(xí)算法的量子化。

Rmk. 本來是寫了個回答的https://www.zhihu.com/question/268419799/answer/338900541，結(jié)果因為是一年之前隨手寫個一個回答現(xiàn)在重新改的，破乎的推薦功能之類的好像用不了，于是發(fā)在文章里了。

量子生成對抗網(wǎng)絡(luò)

發(fā)展

理論上，由2018年僅僅間隔一周時間的兩篇論文提出。Seth Lloyd的PRL[1]更側(cè)重思辨，想了很多情況，文章短小精悍沒什么公式要靠讀者自己腦補，作者也是非一般的牛。PRA[2]側(cè)重于數(shù)值實現(xiàn)，公式很多并且寫了怎么用量子電路實現(xiàn)差分梯度下降。實驗上已經(jīng)在2019年被中國科大（妮可）和清華做出來了，見參考文獻[3]。

GAN的原理

生成對抗網(wǎng)絡(luò)作為一種重要的生成模型，通過生成器和判別器之間的博弈來學(xué)習(xí)樣本的統(tǒng)計性質(zhì)。

GAN中的訓(xùn)練樣本假設(shè)服從概率分布

。

生成器G為一個非線性映射，將噪聲樣本z映射到數(shù)據(jù)樣本x的空間，并力求模仿訓(xùn)練樣本的統(tǒng)計分布。

這里， 是噪聲的先驗分布，如正態(tài)分布， 則是通過非線性映射之后得到的樣本分布，而生成器（非線性映射）想要做的就是使q(x)和p(x)盡可能接近。

那么如何判斷兩個分布是否接近呢？我們請一位裁判，稱為判別器D，我們給他一個樣本，讓他告訴我們這個樣本是來自訓(xùn)練樣本（真實）還是生成樣本。而在裁判進行判決的過程中，我們也可以對他進行訓(xùn)練，讓他判別出錯的概率減小。這樣，在判別器和生成器之間就產(chǎn)生了博弈。在訓(xùn)練過程中，判別器越來越準(zhǔn)確，生成器也只能讓生成的樣本分布和訓(xùn)練樣本的分布更加接近以欺騙判別器。

說到G非線性映射，而D又是一個分類器，那么自然而然的會想到用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來作為二者的參數(shù)表示，這樣一來，就開始了Deep GAN的故事。

量子版本QGAN

受到GAN的啟發(fā)，量信工作者們提出了量子版本的QGAN。前面提一遍GAN的原理是為了方便在這里通過對比來介紹QGAN。

首先是訓(xùn)練樣本，也就是我們想要模仿統(tǒng)計信息的樣本，量子力學(xué)里的樣本由態(tài)矢描述（取了相應(yīng)的坐標(biāo)基矢后是波函數(shù)），而這些樣本（態(tài)矢）以一定的概率復(fù)合起來構(gòu)成的整體就是量子系綜，為混合態(tài)，由密度算符

刻畫。

接下來是生成器。對于噪聲先驗，我們用另一個系綜

描述，表示我們產(chǎn)生噪聲樣本的方式。而生成器，則用來把從 中抽取的噪聲樣本映射到新的態(tài) ，并且希望以此獲得的統(tǒng)計性質(zhì)和訓(xùn)練樣本相近。于是，生成器生成的樣本的系綜的密度算符為

Rmk.與GAN不同的是，QGAN中的生成器是線性算符，而不是非線性的

對于判別器。上面已經(jīng)提到，GAN中的判別器相當(dāng)于一個二分類器，給定一個樣本，給出其屬于訓(xùn)練樣本還是生成樣本。對應(yīng)于量子力學(xué)，這一過程由一測量給出，給定態(tài)矢，測量結(jié)果表明其類別。形式上，可用POVM（正算子值測度）表示，

，其中，T對應(yīng)訓(xùn)練樣本，F對應(yīng)生成樣本。

相應(yīng)于Deep GAN的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)化，Deep QGAN可以通過深層的量子電路（quantum circuit）來實現(xiàn)生成器（線性算符G）和判別器（POVM T或F）的參數(shù)化。

What's new

相對于GAN需要花費極大的計算能力在CPU, GPU上進行訓(xùn)練，QGAN作為量子版本的GAN能夠更加好的適應(yīng)量子計算機

QGAN的隨機性是量子力學(xué)內(nèi)稟的，而不是GAN中的隨機數(shù)生成器

理論上的優(yōu)雅，量子力學(xué)的定義表明，密度算符的全體是凸集，而POVM的測量算符也構(gòu)成緊凸集，這些使得QGAN的各種性質(zhì)能夠簡單而優(yōu)雅的給出，相對于GAN的復(fù)雜證明而言

Pf.(Convergence)

訓(xùn)練的目標(biāo)函數(shù)是成功判別的概率，即給出訓(xùn)練樣本時測量分類給出T，給出生成樣本時測量分類為F，由條件期望的平滑性

QGAN和GAN的訓(xùn)練目標(biāo)則是，讓生成器能盡可能欺騙判別器，形式化為

先考慮最大化，顯然，當(dāng)T為跡內(nèi)算符的正部分投影時，目標(biāo)函數(shù)最大，

，其中， 為 的正值本征矢。

Rmk.最優(yōu)測量算符的物理意義也很明顯，當(dāng)

時，樣本產(chǎn)生于

最優(yōu)化判別器后，損失函數(shù)為

顯然，最小值對應(yīng)于

Rmk.可見，迭代訓(xùn)練將收斂到納什均衡

參考文獻

[1] https://arxiv.org/abs/1804.09139

[2] Quantum generative adversarial networks

[3] https://advances.sciencemag.org/content/5/1/eaav2761

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的wps生成正态分布的随机数_量子计算与机器学习: 量子生成对抗网络QGAN的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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