稀疏矩陣的定義：

具有少量非零項(xiàng)的矩陣(在矩陣中，若數(shù)值0的元素?cái)?shù)目遠(yuǎn)多于非0元素的數(shù)目，并且非0元素分布沒(méi)有規(guī)律時(shí)，)則稱該矩陣為稀疏矩陣；相反，為稠密矩陣。非零元素的總數(shù)比上矩陣所有元素的總數(shù)為矩陣的稠密度。

稀疏矩陣的兩個(gè)動(dòng)機(jī)：稀疏矩陣通常具有很大的維度，有時(shí)甚大到整個(gè)矩陣(零元素)與可用內(nèi)存不想適應(yīng)；另一個(gè)動(dòng)機(jī)是避免零矩陣元素的運(yùn)算具有更好的性能。

稀疏矩陣的格式

存儲(chǔ)矩陣的一般方法是采用二維數(shù)組，其優(yōu)點(diǎn)是可以隨機(jī)地訪問(wèn)每一個(gè)元素，因而能夠容易實(shí)現(xiàn)矩陣的各種運(yùn)算。對(duì)于稀疏矩陣，采用二維數(shù)組的存儲(chǔ)方法既浪費(fèi)大量的存儲(chǔ)單元來(lái)存放零元素，又要在運(yùn)算中浪費(fèi)大量的時(shí)間來(lái)進(jìn)行零元素的無(wú)效運(yùn)算。因此必須考慮對(duì)稀疏矩陣進(jìn)行壓縮存儲(chǔ)(只存儲(chǔ)非零元素)。

Scipy.sparse模塊提供了許多來(lái)自于稀疏矩陣的不同存儲(chǔ)格式。這里僅描述最為重要的格式CSR、CSC和LIL。CSR、CSC是用于矩陣-矩陣和矩陣-向量運(yùn)算的有效格式，LIL格式用于生成和更改稀疏矩陣。Python不能自動(dòng)創(chuàng)建稀疏矩陣，所以要用scipy中特殊的命令來(lái)得到稀疏矩陣。

(1)?壓縮稀疏行(CSR，Compressed Sparse Row)：或csr_matrix??按行對(duì)矩陣進(jìn)行壓縮的。

CSR使用了三個(gè)數(shù)組，分別為數(shù)值、行偏移(表示某一行的第一個(gè)元素在數(shù)值里面的起始偏移位置，在行偏移的最后補(bǔ)上矩陣總的元素個(gè)數(shù))、列號(hào)。CSR是一種編碼的方式

一維數(shù)組data(數(shù)值):有序地存儲(chǔ)了所有的非零值，它具有與非零元素同樣多數(shù)量的元素，通常由變量nnz表示。

一維數(shù)組indptr(行偏移量)：包含了證書(shū)使得indptr[i]是data中元素的索引，它是行i中的第一個(gè)非零元素。如果整個(gè)行i為零，則indptr[i]==indptr[i+1]

如初始矩陣有m行，則len(indptr)==m+1

一維數(shù)組Indices(列號(hào):):其使用如下方式包含列索引信息:indices[indptr[i]:indptr[i+1]]是一個(gè)具有行i中非零元素的列索引的整數(shù)數(shù)組。Len(indice)==len(data)==nnz

備注：列索引表示數(shù)值所在的列號(hào)，從0開(kāi)始。

數(shù)組data：包含矩陣中的非零元素，以行優(yōu)先的形式保存。

行偏移：CSR中行索引被壓縮，沒(méi)有行索引，這里用行偏移表示行索引。

實(shí)例：

如上圖所示：data=(1,7,2,8,5,3,9,6,4)

Indices=(0,1,1,2,0,2,3,1,3) ???#列索引

Indptr=(0,2,4,7,9) ?#行偏移(表示某一行的第一個(gè)元素在數(shù)值里面的起始偏移位置，在行偏移的最后補(bǔ)上矩陣總的元素個(gè)數(shù))

在Python中使用：

import numpy as np

from scipy.sparse import csr_matrix

indptr = np.array([0, 2, 3, 6])

indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

A=csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)).toarray()#生成CSR格式的矩陣

print(A) ???#運(yùn)行結(jié)果：

[[1 0 2]

[0 0 3]

[4 5 6]]

解析：第i行的列索引存儲(chǔ)在indices[indptr[i]:indptr[i+1]]中,對(duì)應(yīng)的值為data[indptr[i]:indptr[i+1]]。即例如第0行的列索引為indices[0:2]=[0,2](第i行中非零元素的列索引組成的整數(shù)數(shù)組),值為data[0:2]=[1,2];第1行的列索引為indices[2:3]=[2],值為data[2:3]=[3]…

(2)?稀疏列矩陣CSC(Compressed Sparse Column),用于CSC格式的類(lèi)型為：csc_matrix按列對(duì)矩陣進(jìn)行壓縮的。

與CSR格式相比唯一的不同點(diǎn)是indptr和indices數(shù)組的定義，該定義與列有關(guān)。

CSC格式的實(shí)例：

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

AS=sp.csc_matrix(A)

Print(AS)

print(AS.data)

print(AS.indptr)

print(AS.indices)

print(AS.nnz) ???#運(yùn)行結(jié)果：

[1 3 1 2 4]

[0 3 3 4 5] ????#注意此處，同一矩陣CSR格式的indptr為[0 2 2 3 5]

[0 2 3 0 3]

5

(3)?基于行的鏈表格式：LIL(Row-Based Linked List Format)

1. 鏈表稀疏格式在列表數(shù)據(jù)中以行方式存儲(chǔ)非零元素，

列表data: data[k]是行k中的非零元素的列表。如果該行中的所有元素都為0，則它包含一個(gè)空列表。

列表rows:?是在位置k包含了在行k中的非零元素列索引列表。

LIL格式的同一示例：

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

AS=sp.lil_matrix(A)

print(AS.data)

print(AS.rows)

print(AS.nnz) ?#運(yùn)行結(jié)果：

[list([1, 2]) list([]) list([3]) list([1, 4])]

[list([0, 2]) list([]) list([0]) list([0, 3])]

5

2. 用LIL格式更改和切割矩陣：

LIL格式最適合切片的方法，即以LIL格式提取子矩陣，并通過(guò)插入非零元素來(lái)改變稀疏模式。

例如：提取

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

AS=sp.lil_matrix(A)

print(AS)

BS=AS[0:2,0:3] ?????#切片提取0，1行，0，1，2列組成的子矩陣

print(BS)

print(BS.data)

print(BS.rows)

#運(yùn)行結(jié)果：

(0, 0) ???????1

(0, 2) ???????2

[list([1, 2]) list([])]

[list([0, 2]) list([])]

更改：插入新的非零元素會(huì)自動(dòng)更新屬性

AS[0,1]=17

print(AS.data)

print(AS.rows)

print(AS.nnz)

#結(jié)果：[list([1, 17, 2]) list([]) list([3]) list([1, 4])]

[list([0, 1, 2]) list([]) list([0]) list([0, 3])]

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生成稀疏矩陣：

Numpy包的命令eye、identity、diag和rand都有其對(duì)應(yīng)的稀疏矩陣，這些命令需要額外的參數(shù)來(lái)指定所得矩陣的稀疏矩陣格式。

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

print(sp.eye(20,20,format = 'lil'))

print(sp.spdiags(np.ones((20,)),0,20,20,format = 'csr'))

print(sp.identity(20,format =?'csc'))

print(sp.rand(20,200,density=0.1,format='csr')) ???#sp.rand命令需要額外的參數(shù)來(lái)描述生成隨機(jī)矩陣的密度。

稀疏矩陣方法

將稀疏矩陣類(lèi)型轉(zhuǎn)換為另一種類(lèi)型和數(shù)據(jù)或數(shù)組的方法：

AS.toarray ?#轉(zhuǎn)換稀疏矩陣類(lèi)型為數(shù)組

AS.tocsr

AS.tocsc

AS.tolil

#通過(guò)issparse、isspmatrix_lil、isspmatrix_csc、isspmatrix_csr等方法檢查稀疏矩陣的類(lèi)型。

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

def sparse_sin(A):

if not (sp.isspmatrix_csr(A) or sp.isspmatrix_csc(A)):

A=A.tocsr()

A.data=sin(A.data)

return(A)

B=sparse_sin(A)

print(B)

#稀疏矩陣方法的dot，用于矩陣-矩陣或者矩陣-向量乘法運(yùn)算，返回csr_matrix或Numpy array

例如：import numpy as np

import scipy.sparse as sp

A=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

AS=sp.csr_matrix(A)

b=np.array([1,2,3,4])

c=AS.dot(b) ????#結(jié)果為：[ 7 ?0 3 ?17]

print(c)

c=AS.dot(AS) ???????#結(jié)果仍為稀疏矩陣

print(c)

d=np.dot(AS,b)

print(d) ????#不能返回期望的結(jié)果

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python 的csr_python的高级数组之稀疏矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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