前言

在學習級數的過程中,讀到歐拉變換,覺得非常巧妙,而且在之后發散級數的學習中作者曾提出原級數在發散的情況下歐拉變換后的級數仍有可能收斂(例如1-1+1-1+1-...,當然這是Cesaro和意義下的結果或是解析延拓意義下的結果,其級數本身就是發散級數,這是毋庸置疑的,此級數的求和前提是在什么理論體系下討論,正如自然數之和為

是在特定的理論體系之上建立的.單純的將其拿出來講是不嚴謹的).因此更覺得精妙,雖然仍有許多疑問,但仍將自己學會的內容共享,歡迎指出錯誤.

現考慮下列收斂級數:

在變換之前引入差分的概念:

我們通過數學歸納法得到:

于是我們開始變形以下

:

現在我們把

提出,可得:

保留第一項

,考慮后項:

可以發現從中又有相似的結構出現,于是我們反復使用變形,可以得到:

其中

是余項,現考慮

我們將差分的公式

代入得到:

整理可得:

考慮到原級數的余項

因此我們代入到

中,得到:

因為

,所以我們得到:

由此,我們證明了級數的歐拉變換是可行的,以下等式是成立的.

特別的,我們將

代入,易得:

例.

這是

的萊布尼茲公式,下面開始變形,

令

,通過數學歸納法,我們得到:

將其代入公式得到:

即:

我們將前者與后者的收斂速度進行對比:

利用

在當 時,

,誤差大小 .

通過歐拉變換得到的新級數,我們可以得到在當

時,

,誤差大小 .

(每次對比都取

.利用python進行數據計算).

參考資料:《微積分學教程·第二卷》,菲赫金戈爾茨著,P322-P324.

作者:Playmaker

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换及其应用 pdf_级数的欧拉变换及其应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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