前言

在學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)的過程中,讀到歐拉變換,覺得非常巧妙,而且在之后發(fā)散級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)中作者曾提出原級(jí)數(shù)在發(fā)散的情況下歐拉變換后的級(jí)數(shù)仍有可能收斂(例如1-1+1-1+1-...,當(dāng)然這是Cesaro和意義下的結(jié)果或是解析延拓意義下的結(jié)果,其級(jí)數(shù)本身就是發(fā)散級(jí)數(shù),這是毋庸置疑的,此級(jí)數(shù)的求和前提是在什么理論體系下討論,正如自然數(shù)之和為

是在特定的理論體系之上建立的.單純的將其拿出來(lái)講是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?.因此更覺得精妙,雖然仍有許多疑問,但仍將自己學(xué)會(huì)的內(nèi)容共享,歡迎指出錯(cuò)誤.

現(xiàn)考慮下列收斂級(jí)數(shù):

在變換之前引入差分的概念:

我們通過數(shù)學(xué)歸納法得到:

于是我們開始變形以下

:

現(xiàn)在我們把

提出,可得:

保留第一項(xiàng)

,考慮后項(xiàng):

可以發(fā)現(xiàn)從中又有相似的結(jié)構(gòu)出現(xiàn),于是我們反復(fù)使用變形,可以得到:

其中

是余項(xiàng),現(xiàn)考慮

我們將差分的公式

代入得到:

整理可得:

考慮到原級(jí)數(shù)的余項(xiàng)

因此我們代入到

中,得到:

因?yàn)?

,所以我們得到:

由此,我們證明了級(jí)數(shù)的歐拉變換是可行的,以下等式是成立的.

特別的,我們將

代入,易得:

例.

這是

的萊布尼茲公式,下面開始變形,

令

,通過數(shù)學(xué)歸納法,我們得到:

將其代入公式得到:

即:

我們將前者與后者的收斂速度進(jìn)行對(duì)比:

利用

在當(dāng) 時(shí),

,誤差大小 .

通過歐拉變換得到的新級(jí)數(shù),我們可以得到在當(dāng)

時(shí),

,誤差大小 .

(每次對(duì)比都取

.利用python進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算).

參考資料:《微積分學(xué)教程·第二卷》,菲赫金戈?duì)柎闹?P322-P324.

作者:Playmaker

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换及其应用 pdf_级数的欧拉变换及其应用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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