計算機模擬在數學建模中的應用

計算機模擬是按時間來劃分的，因為計算機模擬實質上是系統隨時間變化而變化的動態寫照，以下是小編搜集整理的一篇探究計算機模擬在數學建模應用的論文范文，供大家閱讀參考。

【摘要】本文主要闡述了如何利用計算機模擬來解決數學建模中的實際問題.首先，提出問題，根據問題的具體模式對其進行分析整理.其次，對上述問題進行數學建模.然后，利用計算機進行模擬，主要分為隨機模擬(蒙特―卡洛方法)、離散系統模擬和連續系統模擬三種類型.最后對結果進行分析，說明計算機模擬方法在數學建模中的有效性.

【關鍵詞】計算機模擬;數學建模;隨機模擬;離散系統

一、引言

模型(Model)和模型建構(Modeling)不僅僅是科學理論體系中的重要內容，也是我們認識世界的重要工具和方法.計算機技術的飛速發展給許多學科帶來了巨大的影響，計算機使問題的求解變得更加簡單方便，同時，也使解決問題的領域變得更加寬泛.計算機適合解決不確定、規模大且難以解析化的數學模型.例如，對于一些帶隨機因素的復雜系統的問題，建模之前常需要做一些簡化假設，這可能導致與實際情況相距甚遠，解答無法應用.此時，利用計算機進行模擬幾乎成為了唯一的選擇.在歷屆全國和國際大學生數學建模比賽(MCM/ICM)中，計算機模擬常用于去求解、檢驗，是建模過程中非常重要的一種方法[1].

一般地，計算機模擬在以下幾種情況中能有效解決問題：

(1)難以在實際環境中進行實驗和觀察，只能用計算機模擬，比如太空飛行的研究;

(2)需要在短時間內觀察到系統發展的全過程，用來估計某些參數對系統變化的影響;

(3)需要對系統進行長時間觀察、運行比較，從大量方案中尋求最優方案;

(4)難以用解析式表示的系統;

(5)雖然有解析式，但是分析、計算過程過于復雜，只能借助計算機模擬來提供簡單可行的方法.

在通常情況下，計算機模擬是按時間來劃分的，因為計算機模擬實質上是系統隨時間變化而變化的動態寫照.目前，計算機模擬大致可以分為隨機模擬(蒙特―卡洛方法)、離散系統模擬和連續系統模擬三類.其中，蒙特―卡洛(MontoCarlo)方法是典型的靜態模擬;離散系統模擬和連續系統模擬是屬于動態模擬.下面將就具體問題討論這三種數學建模競賽中經常用到的模擬方法.

二、問題的定義與分類

數學建模的第一步，就是提出問題，對具體問題進行分析、整理與歸類.

1.問題的定義

問題是指不能直接利用已有知識處理，但是可以間接用已有知識處理的情境[2].

2.問題的分類

根據計算機模擬的種類，問題主要可以分為以下三種模式：非線性規劃問題、離散系統問題和連續系統問題三種類型.下面舉例說明一下這三種不同類型的問題.

(1)非線性規劃(nonlinearprogramming)問題

非線性規劃是具有非線性約束條件或目標函數的數學規劃，研究一個n元實函數在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標函數和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數.

例1非線性規劃問題

minf(x)x∈En.s.t.gi(x)≥0i=1，2，…，m.aj≤xj≤bjj=1，2，…，n.

(2)離散系統(discretesystem)問題

離散系統是指系統狀態只在有限的時間點或可數的時間點上有隨機事件發生的系統.

例如排隊系統，顯然，狀態量的變化只是在離散的隨機事件點上完成.假設離散系統狀態的變化是在一個時間點上瞬間完成的.

例2離散系統問題：庫存問題

在銷售部門、工廠等領域中都存在庫存問題，庫存太多造成浪費以及資金積壓，庫存太少不能滿足需求也會造成損失.部門的工作人員需決定何時進貨，進多少，使得所花費的平均費用最少，而收益最大，這就是庫存問題.

某企業當天生產的產品必須售出，否則就會變質.該產品單位成本為2.5元，單位產品售價為5元.企業為避免存貨過多而造成損失，擬從以下2種庫存方案中選出一個較優的方案：

方案甲：按前1天的銷售量作為當天的庫存量;

方案乙：按前2天的平均銷售量作為當天的庫存量.

(3)連續系統(continuoussystem)問題

連續系統是指時間和各個組成部分的變量都具有連續變化形式的系統.例如自動控制系統，只有當受控過程和控制方式同時為連續時的系統才稱為連續控制系統.

例3連續系統問題：追逐問題

追逐問題如圖，正方形ABCD的四個頂點各有一人.在某一時刻，四人同時出發以勻速v=1m/s按順時針方向追逐下一人，如果他們始終保持對準目標，則最終按螺旋狀曲線交匯于中心點O.試求出這種情況下每個人的行進軌跡.

三、模型的建立與計算機模擬

1.隨機模擬(蒙特―卡洛方法)

(1)蒙特―卡洛(MontoCarlo)方法簡介

蒙特―卡洛(MontoCarlo)方法(或稱隨機模擬法)，是計算機模擬的基礎，源于1977年法國科學家蒲豐提出的一種計算圓周率π的方法―隨機投針法，即著名的蒲豐投針問題[3].蒙特―卡洛方法的基本思想，是建立一個概率模型，使所求問題的解正好是該模型的參數或其他有關的特征量.然后，通過模擬多次隨機抽樣實驗，統計出某事件發生的百分比.只要實驗次數n很大，該百分比便近似于事件發生的概率.蒙特―卡洛方法屬于試驗數學的一個分支.

(2)模型建立

例1中，對于非線性規劃問題

minf(x)，x∈En.

s.t.gi(x)≥0(i=1，2，…，m).

aj≤xj≤bj(j=1，2，…，n).

用蒙特―卡洛方法求解的基本思想是，在估計的區域{(x1，x2，……，xn)|xj∈[aj，bj]，j=1，2，……，n}. 　　內隨機取若干個試驗點，然后從試驗點中找出可行點，再從可行點中選擇最小點.

假設試驗點的第j個分量xj服從[aj，bj]內的均勻分布.

符號假設

P：試驗點總數;maxP：最大試驗點總數;

K：可行點總數;maxK：最大可行點數;

X：迭代產生的最優點;

Q：迭代產生的最小值f(X)，其初始值為計算機所能表示的最大數.

2.離散系統模擬

離散系統模擬是指對離散系統，即系統狀態只在有限的時間點或可數的時間點上有隨機事件發生的系統進行模擬.例如排隊系統.本文例2中討論某企業生產的庫存系統的計算機模擬方法，這是排隊系統的一個典型例子.下面對例2中的.問題進行分析模擬：

(1)模型建立

假定市場對該產品的每天需求量是一個隨機變量，并且從以往的統計分析得知它服從正態分布：N(135，22.4).

計算機模擬的思路如下：

一、獲得市場對該產品需求量的數據;

二、計算出按照2種不同方案，經T天后企業所得的利潤值;

三、比較大小，并從中選出一個更優的方案.

引入下列記號：

D：每天需求量;

Q1：方案甲當天的庫存量;

Q2：方案甲當天的庫存量;

S1：方案甲前1天的銷售量;

S21：方案乙前1天的銷售量;

S22：方案乙前2天的銷售量;

S3：方案甲當天實際銷售量;

S4：方案乙當天實際銷售量;

L1：方案甲當天的利潤;

L2：方案乙當天的利潤;

TL1：方案甲累計總利潤;

TL2：方案甲累計總利潤;

T：預定模擬天數.

(2)模型的求解

利用Matlab編程來實現這一過程，這需要建立如下的M-文件：

function[TL1，TL2]=kucun(T，S1，S21，S22)

TL1=0;TL2=0;k=1;

whilek　　Q1=S1;Q2=(S21+S22)/2;

D=normrnd(135，22.4);

ifD　　S3=Q1;

else

S3=D;

end

ifD　　S4=Q2;

else

S4=D;

end

L1=5*S3-2.5*Q1;L2=5*S4-2.5*Q2;

TL1=TL1+L1;TL2=TL2+L2;

k=k+1;

end

S1=S3;S22=S21;S21=S4;

給出一個初值，反復運行上述程序，通過比較最后可得出每一個方案的優劣.計算機模擬在排隊系統中其他方面如加工制造系統、訂票系統、計算機系統、交通控制系統等，都有廣泛的應用.

3.連續系統模擬

對連續系統的模擬，實際上是將連續狀態變量在時間上進行離散化處理，并由此模擬系統的運行狀態.下面對例3中的問題進行分析模擬：

(1)模型建立

a.建平面直角坐標系A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).

b.取時間間隔為Δt，計算每一點在各個時刻的坐標.

設某點在t時刻的坐標為(xi，yi)，則在t+Δt時刻的坐標為(xi+vΔtcosα，yi+vΔtsinα)，

其中cosα=xi+1-xid，sinα=yi+1-yid，

d=(xi+1-xi)2+(yi+1-yi)2.

c.取足夠小的ε，當d

d.連接每一個點在各個時刻的位置，即得所求運動軌跡(如圖2).

(2)模型的求解

利用Matlab編程來實現這一過程，這需要建立如下的M-文件：

v=1;dt=0.05;x=[001010];x=[010100];fori=1：4plot(x(i)，y(i)，'.')，holdonendd=20;while(d>0.1)x(5)=x(1);y(5)=y(1);fori=1：4d=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d;y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d;plot(x(i)，y(i)，'.')，holdonendend

四、結果分析

對以上各個例子中的結果進行分析，發現計算機模擬的結果能更加真實的表現系統實際的動態變換過程.事實上，還有很多實際問題都可以用計算機模擬來解決，如背包問題、安排比賽選手的比賽日程、三國時期的“華容道”問題等等都可以用計算機模擬來解決.

總之，使用計算機模擬來進行數學建模，可以使求解更加快捷、方便和精確，另外，也使得解決問題的領域擴大，從離散、連續確定性領域延伸到隨機的非確定性領域，計算機模擬正是處理此類問題的重要方法.

[1]謝國瑞，郝志峰，汪國祥.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]王沫然.Matlab7.0與科學計算[M].北京：電子工業出版社，2011.

[3]趙靜，但琦，嚴尚安，等.數學建模與數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2010

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總結

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