開學已經是第二周了，我的《微分幾何》也上課兩周了，進度比較慢，現在才講到平面曲線的曲率。在平面曲線$\boldsymbol{t}(t)=(x(t),y(t))$某點上可以找出單位切向量。

$$\boldsymbol{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$

其中$ds^2 =dx^2+dy^2$，將這個向量逆時針旋轉90度之后，就可以定義相應的單位法向量$\boldsymbol{n}$，即$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$。

常規寫法

讓我們用弧長$s$作為參數來描述曲線方程，$\boldsymbol{t}(s)=(x(s),y(s))$，函數上的一點表示對$s$求導。那么我們來考慮$\dot{\boldsymbol{t}}$，由于$\boldsymbol{t}^2=1$，對s求導得到

$$\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{t}}=0$$

也就是說$\dot{\boldsymbol{t}}$與$\boldsymbol{t}$垂直，由于只是在平面上，所以$\dot{\boldsymbol{t}}$與$\boldsymbol{n}$平行。即

$$\dot{\boldsymbol{t}}=\kappa \boldsymbol{n}$$

類似地，有$\dot{\boldsymbol{n}}$與$\boldsymbol{t}$平行。并且對$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$求導得到

$$\dot{\boldsymbol{t}}\cdot\boldsymbol{n}+\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{n}}=0$$

將$\dot{\boldsymbol{t}}=\kappa \boldsymbol{n}$代入上式得到

$$\dot{\boldsymbol{n}}=-\kappa \boldsymbol{t}$$

$\kappa$被稱為曲線在該點的曲率。

復數表示

以上是教科書的標準寫法，但事實上，研究平面曲線的最方便的工具還是復數。將$\boldsymbol{r}(s)$用一個帶參數的復數表示$z(s)$，那么上面的兩式可以寫成更簡潔的一個式子

$$\ddot{z}(s)=i\kappa (s) \dot{z}(s) $$

這樣寫的好處還在于，任意給出曲率函數$\kappa (s) $，我們就可以求出對應的曲線

$$z(s)=\int e^{i\int \kappa (s)ds}ds $$

這是簡潔而有效的。

另外，不妨設$dz=ds e^{i\phi}$，那么

$$\dot{z}=e^{i\phi}$$

自然地

$$\ddot{z}=e^{i\phi}\left(i\dot{\phi}\right)$$

所以曲率可以表示為

$$\kappa=\dot{\phi}$$

各種坐標

利用它可以很方便地推導出各種坐標系下的曲率表達式，如曲線為一般的參數方程$(x(t),y(t))$時，用函數加一撇表示對t求導，有$ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt,\phi=\arctan\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)$，那么

$$\frac{d\phi}{ds}=\frac{\frac{y''(t)}{x'(t)}-\frac{y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^2}}{1+\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)^2}\div \left(\frac{ds}{dt}\right)$$

代入整理易得

$$\kappa=\frac{y''(t) x'(t)-x''(t) y'(t)}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}$$

在極坐標下，設$r=f(\theta)$，則$z=f(\theta)e^{i\theta}$，那么

$$dz=\left(\frac{d f}{d \theta}+i f\right)e^{i\theta}d\theta$$

所以

$$ds=\sqrt{f^2+\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}d\theta$$

而$\phi=\arctan\frac{f}{\left(\frac{d f}{d \theta}\right)}+\theta$，那么

$$\frac{d\phi}{ds}=\left[\frac{1-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right) f/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}{1+f^2/\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2}+1\right]\div \left(\frac{d s}{d \theta}\right)$$

代入整理得

$$\kappa=\frac{2\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2+f^2-\left(\frac{d^2 f}{d \theta^2}\right)f}{\left[\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^2+f^2\right]^{3/2}}$$

三維空間有沒有類似方便的東西呢？我也正在思考^_^

更詳細的轉載事宜請參考：《科學空間FAQ》

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蘇劍林. (2014, Mar 04). 《平面曲線的曲率的復數表示 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/2403

總結

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