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C/C++ 递归

發布時間：2023/10/11 119 老码农

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 C/C++ 递归小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

遞歸

當一個函數調用它自己來定義時稱它為遞歸函數。（什么叫它自己調用它自己呢？）

1.1、引出遞歸

從一個簡單的問題考慮遞歸，求0，1，2， 3，4，5......n的和。

首先定義一個求和公式：sum(n);

顯然對于（n > 0）： sum(n) = sum(n - 1) + n ;

? （n = 0 ） : sum(0) = 0;

? 成立。

將上述公式翻譯成C++函數：

unsigned int sum(unsigned int n)

{

    if(0 == n)

    {

        return 0; //基準情況(遞歸的出口)，sum不能一直調用它自己吧，總歸要有一個出口結束遞歸吧

    }

    else

    {

        return sum(n - 1) + n; //sum(unsigned int)調用了它自己

    }

}

假設 n = 5 分析一下計算過程：

sum(5) = sum(4) + 5;

sum(4) = sum(3) + 4;

sum(3) = sum(2) + 3;

sum(2) = sum(1) + 2;

sum(1) = sum(0) + 1;

sum(0) = 0; 當sum(0)時，sum()不再調用它自己，作為遞歸的出口結束遞歸。

假設沒有n = 0, sum(0) = 0 這個基準情況作為遞歸的出口跳出遞歸，遞歸就會一直遞歸下去，沒完沒了直至崩潰。因此遞歸函數必須有一個基準情況作為遞歸出口。

1.2、失敗的遞歸

給出一個所謂的遞歸函數：

int bad(unsigned int n)

{

    if(0 == n)

    {

        return 0;

    }

    else

    {

        return bad(n/3 + 1) + n - 1;

    }

}

分析一下以上函數，函數給出了 n = 0 的情況作為遞歸的出口，看似沒什么問題。

還是假設n = 5；

bad(5) ：調用bad(5/3 + 1), 即bad(2);

bad(2) : 調用bad(2/3 + 1), 即bad(1);

bad(1) : 調用bad(1/3 + 1), 即bad(1);

bad(1) : 調用bad(1/3 + 1), 即bad(1)..........

bad(1)一直調用bad(1), 一直調用到程序崩潰。很明顯bad()函數定義雖然給出了 n = 0 作為遞歸出口，但是bad()函數根本不會推進到n = 0 的這種情況。因此遞歸調用必須總能夠朝著產生基準情況（遞歸出口）的方向推進。

1.3、遞歸和歸納

考慮一個問題：現在需要將一個正整數 n 打印出來，但是I/O給出的函數接口(printDigit)只能處理單個數字（即n < 10）。

我們隨便假設一個n值：n = 2019，那么單個數字打印的順序就是2， 0， 1， 9。換句話說，9是最后一個打印的，在打印9之前要先打印201，即先打印“201”，再打印“9”；依次類推對于“201”先打印“20”，再打印“1”；對于“20”先打印“2”，再打印“0”；對于2已經是單個數字，可以直接打印了, 不需要再劃分，再遞歸了，也就是說單個數字n < 10即為遞歸的出口。

我們按上述思路細致的分析一下：

對2019分成2部分: 201 = 2019 / 10; 9 = 2019 % 10;

對201分成2部分：20 = 201 / 10; 1 = 201 % 10;

對20分成2部分：2 = 20 / 10; 0 = 20 % 10;

對于 2 滿足 n < 10 的條件，不再遞歸，直接打印。

現在遞歸已經很明顯了，嘗試編寫一下代碼：

//假設printDigit((unsigned int n)如下，

void printDigit(unsigned int n)

{

    std::cout << n;

}

void print(unsigned int n)

{

    if(n >= 10)

    {

        print(n / 10);

    }

    printDigit(n % 10);

}

代碼編寫好了，現在需要證明以下代碼是否正確：對于n >= 0，數的遞歸打印算法總是正確的。

證明：用k表示數字n的包含單個數字的個數。當k = 1，即 n < 10 時，很明顯程序是正確的，因為它不需要遞歸，print()只調用一次printDigit(), 不調用它自己。然后假設print()對于所有k位數都能正常工作，任何k + 1位的數字n都可以通過它的前k位的數字和最低1位數字來表示。前k 位的數字恰好是[ n / 10], 歸納假設它能正常工作，而最低1位數字是[ n % 10]，因此該程序能夠正確的打印出任意k + 1位。于是根據歸納法^[1]，所有數字都能被正確打印出來。

由以上實例總結可以出一條遞歸的設計法則：假設所有遞歸調用都能運行。

1.4、遞歸的合成效益法則

用遞歸實現一個斐波那契數列：

//斐波納契數列:1、1、2、3、5、8、13、21、34

int f(int n)

{

    if(n < 1)

    {

        return 0;

    }

    else if(n <= 2)

    {

        return 1;

    }

    return f(n-1) + f(n-2);

}

假設n = 8, 函數調用f(8), 遞歸調用如下圖：

graph TB
8-->7;
7-->6;
6-->5;
5-->4;
4-->3;
3-->2;
8-->id0(6);
id0(6)-->id1(5);
id1(5)-->id2(4);
id2(4)-->id3(3);
id3(3)-->id4(2);
7-->id5(5);
id5(5)-->id6(4);
id6(4)-->id7(3);
id7(3)-->id8(2);
6-->id9(4);
id9(4)-->id10(3);
id10(3)-->id11(2);
5-->id12(3);
id12(3)-->id13(2);
4-->id14(2);
3-->id15(1);
id12(3)-->id16(1);
id9(4)-->id17(2);
id10(3)-->id18(1);
id5(5)-->id19(3);
id19(3)-->id20(2);
id19(3)-->id21(1);
id6(4)-->id22(2);
id7(3)-->id23(1);
id0(6)-->id24(4);
id24(4)-->id25(3);
id24(4)-->id28(2);
id25(3)-->id26(2);
id25(3)-->id27(1);
id1(5)-->id29(3);
id29(3)-->id30(2);
id29(3)-->id31(1);
id2(4)-->id32(2);
id3(3)-->id33(1);

由上圖我們不厭其煩的數一下：

n = 1時，f()調用1次；

n = 2時，f()調用1次；

n = 3時，f()調用3次；

n = 4時，f()調用5次；

n = 5時，f()調用9次；

n = 6時，f()調用15次；

n = 7時，f()調用25次；

n = 8時，f()調用41次；

增長的是不是太快了，在f()里加一個計數器測試一下，可以看到在n = 30 的時候，f()的調用次數大約在160萬。

究其原因，是因為我們在求解的過程時，重復了大量的計算過程，在n = 8 的時候單單是f(3)就重復調用了8次。

由上我們可以得出一個結論：在求解一個問題的同一實例時，在不同的遞歸中做重復性的工作，對資源的消耗可能是災難性的。

最后歸納一下要牢記的遞歸四條基本法則：

基準情形。必須總有某些基準情況，它無須遞歸就能求解，即遞歸必須有出口。
不斷推進。對于那些需要遞歸求解的情形，每一次遞歸調用都必須要使求解狀態朝基準情形的方向推進。
設計法則。假設所有的遞歸調用都能運行。
合成效益法則。在求解一個問題的同一實例時，切勿在不同的遞歸中做重復性的工作。

1、證明當n= 1時命題成立。2、假設n=m時命題成立，那么可以推導出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）。3、歸納結論。 ??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的C/C++ 递归的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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