背包問題九講

我發(fā)現(xiàn)背包問題既棘手又有趣。 我敢肯定，如果您正在訪問此頁面，您已經(jīng)知道了問題說明，但是只是為了完成本章：

問題：

給定一個(gè)最大容量為W和N的背包，每個(gè)背包都有自己的值和重量，將它們放入背包中，使最終內(nèi)容物具有最大值。 kes！

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這是解釋問題的一般方法-考慮一個(gè)小偷進(jìn)入家中搶劫，他背著背包。 家里有固定數(shù)量的物品-每個(gè)物品都有自己的重量和價(jià)值-珠寶首飾，重量和重量比桌子高，價(jià)值少，但重量重。 為了給火上加油，小偷有一個(gè)老式的背包，容量有限。 顯然，他不能將桌子分成兩半，也不能將珠寶分成3/4分。 他要么接受要么離開。

范例：

Knapsack Max weight : W = 10 (units)Total items : N = 4Values of items : v[] = {10, 40, 30, 50}Weight of items : w[] = {5, 4, 6, 3}

粗略看一下示例數(shù)據(jù)可知，在最大權(quán)重為10的情況下，我們可以容納的最大值為50 + 40 = 90（權(quán)重為7）。

方法：

最佳解決方法是使用動(dòng)態(tài)編程-解決較小的背包問題，然后將其擴(kuò)展為較大的問題。

讓我們構(gòu)建一個(gè)名為V（值數(shù)組）的Item x權(quán)重?cái)?shù)組：

V[N][W] = 4 rows * 10 columns

此矩陣中的每個(gè)值代表一個(gè)較小的背包問題。

基本案例1 ：讓我們以第0列為例。 這僅意味著背包的容量為0。 你能在他們身上抱什么？ 沒有。 因此，讓我們用0填充它們。

基本情況2 ：讓我們以0行為例。 這僅表示房子中沒有物品。 如果沒有物品，您在背包里會(huì)做什么？ 沒事了！ 全零。

解：

現(xiàn)在，讓我們開始逐行填充數(shù)組。 第1行和第1列是什么意思？ 給定第一個(gè)項(xiàng)目（行），您能否將其容納在容量為1（列）的背包中。 不。 第一項(xiàng)的權(quán)重為5。因此，讓我們填寫0。實(shí)際上，直到到達(dá)第5列（權(quán)重5），我們才能填寫任何內(nèi)容。

一旦我們到達(dá)第一行的第5列（代表權(quán)重5），這意味著我們可以容納第1項(xiàng)。讓我們在此處填寫10（請記住，這是一個(gè)Value數(shù)組）：

繼續(xù)，對于權(quán)重6（第6列），我們是否可以容納剩余重量為1（重量–該項(xiàng)目的重量=> 6 – 5）的任何其他東西。 嘿，記住，我們在第一個(gè)項(xiàng)目上。 因此，從直覺上講，該行的其余部分也將是相同的值，因?yàn)槲覀儫o法為已獲得的額外重量添加任何其他項(xiàng)目。

因此，當(dāng)我們到達(dá)第三行的第4列時(shí)，會(huì)發(fā)生下一個(gè)有趣的事情。 當(dāng)前的跑步重量為4。

我們應(yīng)檢查以下情況。

我們可以容納項(xiàng)目2 –是的，我們可以。 項(xiàng)目2的權(quán)重為4。

如果沒有第2項(xiàng)，當(dāng)前重量的值是否會(huì)更高？ –檢查上一行是否具有相同的重量。 不。 前一行*的內(nèi)容為0，因?yàn)槲覀儫o法容納重量為4的商品1。

我們是否可以容納兩個(gè)重量相同的物品，以使價(jià)值最大化？ - 不。 減去Item2的權(quán)重后的剩余權(quán)重為0。

為什么要上一行？

僅僅是因?yàn)闄?quán)重為4的前一行本身是一個(gè)較小的背包解決方案，它給出了該權(quán)重在該點(diǎn)之前可以累積的最大值（遍歷所有項(xiàng)目）。

舉例來說，

當(dāng)前項(xiàng)目的值= 40

當(dāng)前商品的重量= 4

剩下的權(quán)重= 4 – 4 = 0

檢查上面的行（如果是項(xiàng)目1，則檢查上面的項(xiàng)目；如果其余的行，則檢查累積最大值）。 對于剩余重量0，我們是否可以容納項(xiàng)目1？ 簡而言之，對于給定的重量，上一行是否有任何值？

計(jì)算如下：

不帶此項(xiàng)，取相同重量的最大值： previous row, same weight = 0=> V[item-1][weight]

取當(dāng)前商品的價(jià)值+我們可以用剩余重量容納的價(jià)值： Value of current item + value in previous row with weight 4 (total weight until now (4) - weight of the current item (4))=> val[item-1] + V[item-1][weight-wt[item-1]]

兩者之間的最大值為40（0和40）。

下一個(gè)也是最重要的事件發(fā)生在第9列和第2行。這意味著我們的權(quán)重為9，并且有兩項(xiàng)。 查看示例數(shù)據(jù)，我們可以容納前兩個(gè)項(xiàng)目。 在這里，我們考慮幾件事： 1. The value of the current item = 40 2. The weight of the current item = 4 3. The weight that is left over = 9 - 4 = 5 4. Check the row above. At the remaining weight 5, are we able to accommodate Item 1.

因此，計(jì)算公式為：

不帶此項(xiàng)，取相同重量的最大值： previous row, same weight = 10

取當(dāng)前商品的價(jià)值+我們可以用剩余重量累計(jì)的價(jià)值： Value of current item (40) + value in previous row with weight 5 (total weight until now (9) - weight of the current item (4)) = 10

10比50 = 50。

解決所有這些較小的問題后，我們只需要返回權(quán)重為10的V [N] [W] –項(xiàng)目4的值：

復(fù)雜

分析解決方案的復(fù)雜性非常簡單。 我們只是在N => O（NW）的循環(huán)中有一個(gè)W循環(huán)

實(shí)現(xiàn)方式：

這是Java中的強(qiáng)制性實(shí)現(xiàn)代碼：

class Knapsack {public static void main(String[] args) throws Exception {int val[] = {10, 40, 30, 50};int wt[] = {5, 4, 6, 3};int W = 10;System.out.println(knapsack(val, wt, W));}public static int knapsack(int val[], int wt[], int W) {//Get the total number of items. //Could be wt.length or val.length. Doesn't matterint N = wt.length; //Create a matrix. //Items are in rows and weight at in columns +1 on each sideint[][] V = new int[N + 1][W + 1]; //What if the knapsack's capacity is 0 - Set//all columns at row 0 to be 0for (int col = 0; col <= W; col++) {V[0][col] = 0;}//What if there are no items at home. //Fill the first row with 0for (int row = 0; row <= N; row++) {V[row][0] = 0;}for (int item=1;item<=N;item++){//Let's fill the values row by rowfor (int weight=1;weight<=W;weight++){//Is the current items weight less//than or equal to running weightif (wt[item-1]<=weight){//Given a weight, check if the value of the current //item + value of the item that we could afford //with the remaining weight is greater than the value //without the current item itselfV[item][weight]=Math.max (val[item-1]+V[item-1][weight-wt[item-1]], V[item-1][weight]);}else { //If the current item's weight is more than the //running weight, just carry forward the value //without the current itemV[item][weight]=V[item-1][weight];}}}//Printing the matrixfor (int[] rows : V) {for (int col : rows) {System.out.format("%5d", col);}System.out.println();}return V[N][W];}}

翻譯自: https://www.javacodegeeks.com/2014/07/the-knapsack-problem.html

背包問題九講

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的背包问题九讲_背包问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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