【0】README

0.1） 本文總結于 數據結構與算法分析， 源代碼均為原創， 旨在 理解 “DFS應用于找割點” 的idea 并用源代碼加以實現；
0.2） 必須要事先 做個specification的是：對于給定圖的除開起始vertex的那些 vertexes，都可以通過我們的 rules（見下文）找出割點，即對于根（start），我們需要做個special 的test，參見main函數中最后的源碼；

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【1】 無向圖割點相關

1.1）割點定義（articulate point）： 如果一個圖不是雙連通的， 那么將其刪除后圖將不再連通的那些頂點叫做割點；

1.2）雙連通性定義： 如果一個連通的無向圖中的任一頂點刪除之后， 剩下的圖仍然是連通的， 那么這樣的無向連通圖就是 雙連通的；
1.3）看個荔枝： 如果節點是 路由器或者交換機 的話， 邊是網絡鏈路， 那么若有一臺 路由器或者交換機 出故障而不能運行， 則網絡并不會受到影響的；

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【2】深度優先搜索提供一種找出連通圖中的所有割點的線性時間算法

2.1）首先， 從圖中任一頂點開始， 執行深度優先搜索并在頂點被訪問時給它們編號， 對于每一個頂點，我們稱其為先序編號 Num(v) （注：在源代碼中，vertexIndex 表示Num的含義，下文不再累述)；
2.2）然后， 對于深度優先搜索生成樹上的每一個頂點v， 計算編號最低的頂點， 我們稱之為 Low（v），該點從v 開始， 通過樹的零條或多條邊且可能還有一條背向邊而達到 （注：在源代碼中，vertexLow 表示Low的含義，下文不再累述)；
Attention）右上圖中的深度優先搜索樹首先指出先序編號，然后指出上述法則下可達到的最低編號頂點；

2.3）從A、B、C開始的可達到最低編號頂點為1（A）， 因為它們都能夠通過樹的邊到D， 然后再由一條背向邊回到A；
2.4）我們可以通過對該深度優先生成樹執行一次后序遍歷有效地算出 Low， 根據low的定義，可知Low（v）是：

• （1） Num（v） +
• （2） 所有背向邊（v, w）中的最低Num（w） +
• （3） 樹的所有邊（v, w）中的最低Low（w）， 以上三者中 的最小者；
• 對以上規則的分析： 第一個條件是不選取邊； 第二種方法是不選取樹的邊 而是選取一條背向邊；第三種方法則是選擇樹的某些邊以及可能還有一條背向邊；

Attention）

• A1）由于我們需要對v 的所有兒子計算出 Low 值后才能計算Low(v) , 因此這是一個后序遍歷；
• A2）對于任一條邊（v, w）， 我們只要檢查Num（v）和 Num（w）就可以知道它是樹的一條邊還是一條背向邊（因為如果是深度優先樹的邊， Num(v) < Num(w)， 因為v比w先被訪問到， 而如果是背向邊，Num(v) >Num(w)的 ）；
• A3）因此， Low（v） 容易計算： 我們僅僅需要掃描v 的鄰接表，應用適當 的法則，并記住最小值。 所有的計算花費 O（|E| + |V|）；

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【3】剩下要做的就是利用 這些信息找出所有的割點。

3.1）對于根（見本文README部分）：根是割點當且僅當它有多于一個的兒子（根至少要有兩個兒子），因為如果它有兩個兒子， 那么刪除根則使得節點不連通而分布在不同的子樹上；如果根只有一個兒子， 那么除去該根只不過是斷離該根。
3.2）對于任何其他頂點v： 它是割點當且僅當它有某個兒子w 使得Low（w）>= Num(v)； （注意， 這個條件在根處總是滿足的； 因此，需要進行特別的測試）（干貨）

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【4】source code + printing results

4.1）download source code： https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/tree/master/chapter9/p242_dfs_findArticulation
4.2）source code at a glance：（for complete code , please click the given link above）

• 4.2.1） 找割點的函數

// "find the articulation point from the given graph" void findArticulate(Vertex vertex, int depth) { int i;AdjTable temp; Vertex adjVertex; visited[vertex] = 1; // update visited status of vertexvertexIndex[vertex] = counter++; // evaluating vertex index with countervertexLow[vertex] = vertexIndex[vertex]; // the 1st rule: evaluating vertex low with countertemp = adj[vertex]; while(temp->next){adjVertex = temp->next->vertex; if(visited[adjVertex]) // judge whether the adjVertes was visited before {if(vertexIndex[vertex] > vertexIndex[adjVertex] && parent[vertex] != adjVertex) {//parent[adjVertex] = vertex; // building back side, attention of condition of building back side above //ex vertex= 3, adjVertex = 0// just for printing effectfor(i = 0; i < depth; i++) printf(" ");printf("vertex[%c]->vertex[%c] (backside) \n", flag[vertex], flag[adjVertex]);// only if there's a backside, we apply the 2rd rule into the graphvertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexIndex[adjVertex]); // the 2rd rule: find lowest vertexIndex[w] among all edges(v, w) }}// if(!visited[adjVertex])// there's the case no backside, and if condition sentences refers to case of backsideelse {parent[adjVertex] = vertex; // just for printing effectfor(i = 0; i < depth; i++) printf(" ");printf("vertex[%c]->vertex[%c] (building edge)\n", flag[vertex], flag[adjVertex]); findArticulate(adjVertex, depth+1);if(vertex != start) // judge whether the vertex is the start (root) or not if(vertexLow[adjVertex] >= vertexIndex[vertex])printf("\n\t vertex[%c] proves to be an articulation point !", flag[vertex]);vertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexLow[adjVertex]); // the 3rd rule: find lowest verdexLow[w] among all edges(v, w) }temp = temp->next; } }

• 4.2.2） 判斷start頂點是否是割點的函數

int isStartArticulation() {int i; AdjTable temp;Vertex adjVertex; temp = adj[start]; while(temp->next){adjVertex = temp->next->vertex; if(adjVertex == start){temp = temp->next;continue;}dfs(adjVertex, 1); for(i=0; i<size; i++) if(visited[i] != 1) // "refers that the start vertex is the articulation point"return 1; temp = temp->next;}return 0; }

4.3）printing results：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的DFS应用——找出无向图的割点的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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