【0】README

0.1） 本文文字描述部分轉自 數據結構與算法分析， 旨在理解 優先隊列——二項隊列（binominal queue） 的基礎知識；
0.2） 本文核心的剖析思路均為原創（insert，merge和deleteMin的操作步驟圖片示例）， 源代碼均為原創；
0.3） for original source code, please visit https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/tree/master/chapter6/p152_binominal_queue

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【1】二項隊列相關

1.0）Attention： 二項隊列中不允許有高度相同的二項樹存在該隊列中；
1.1）problem+solution：

• 1.1.1）problem：雖然左式堆和斜堆每次操作花費O（logN）時間， 這有效地支持了合并， 插入和deleteMin， 但還是有改進的余地，因為我們知道， 二叉堆以每次操作花費常數平均時間支持插入。
• 1.1.2）solution： 二項隊列支持所有這三種操作（merge + insert + deleteMin）， 每次操作的最壞情形運行時間為O（logN）， 而插入操作平均花費常數時間； （干貨——優先隊列的三種基本操作——merge + insert + deleteMin）

1.2）相關定義

• 1.2.1） 二項隊列定義： 二項隊列不同于我們看到的所有優先隊列的實現之處在于， 一個二項隊列不是一顆堆序的樹， 而是堆序樹的集合，稱為森林；（干貨——二項隊列的定義和構成，二項隊列是二項樹的集合，而二項樹是一顆堆序樹）
• 1.2.2）二項樹定義： 堆序樹中的每一顆都是有約束的形式。 （干貨——二項樹的定義）
• 1.2.3）二項樹的構成：每一個高度上至多存在一顆二項樹， 高度為0的二項樹是一顆單節點樹； 高度為k 的二項樹Bk 通過將一顆二項樹 Bk-1 附接到另一顆二項樹Bk-1 的根上而構成；（干貨——二項樹的構成）
  

對上圖的分析（Analysis）：

• A1）二項樹的性質：

  • A1.1）從圖中看到， 二項樹Bk 由一個帶有兒子B0， B1， …, Bk-1的根組成；
  • A1.2）高度為k 的二項樹恰好有2^k 個節點；
  • A1.3） 而在深度d 的節點數是 二項系數 。

• A2）如果我們把堆序添加到二項樹上， 并允許任意高度上最多有一顆二項樹，那么我們能夠用二項樹的集合唯一地表示任意大小的優先隊列；

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【2】二項隊列操作（merge + insert + deleteMin）

2.1）合并操作（merge） （干貨——合并操作的第一步就是查看是否有高度相同的二項樹，如果有的話將它們merge）

• step1） H1 沒有高度為0的二項樹而H2有，所以將H2中高度為0的二項樹直接作為H3的一部分；（直接的意思==中間不需要merge）；
• step2） H1 和 H2 中都有高度為1的二項樹，將它們進行merge， 得到高度為2的二項樹（根為12）；
• step3）現在存在三顆高度為2的二項樹（根分別為12， 14， 23），將其中兩個進行merge（如merge根為12 和 根為14 的二項樹），得到高度為3的二項樹；
• step4）所以，最后，我們得到二項隊列， 其集合包括：高度為０的二項樹（根為13）， 高度為1的二項樹（根為23），高度為3的二項樹（高度為12）；

Attention）

• A1）顯然，merge操作是按照高度升序依次進行的；
• A2）最后得到的二項隊列不存在高度相同的二項樹，即使存在，也要將高度相同的二項樹進行merge；
• A3）二項隊里中的二項樹的高度不必囊括所有的升序實數，即不必一定是0， 1， 2， 3，4 等等； 也可以是0， 1， 3 等；
• A4）單節點樹的高度為0； （干貨——樹高度從零起跳）
  

2.2）插入操作（insert） （干貨——insert操作是merge操作的特例，而merge操作的第一步就是查看是否有高度相同的二項樹，如果有的話將它們merge）

• 2.2.1）插入操作實際上： 就是特殊情形的合并， 我們只需要創建一顆單節點樹并執行一次merge；
• 2.2.2）更準確地說： 如果元素將要插入的那個優先隊列中不存在的最小的二項樹是Bi， 那么運行時間與 i + 1 成正比；
  

對上圖的分析（Analysis）：

• A1） 4 插入之后，與B0（根為3）進行merge， 得到一顆高度為1的樹B1’（根為3）；
• A2）將B1’ 與 B1（根為1） 進行merge 得到高度為2 的樹B2’（根為1）， 它是新的優先隊列；
• A3）在插入7之后的下一次插入又是一個壞情形， 因為需要三次merge操作；

2.3）刪除最小值操作（deleteMin）

• step1）找出一顆具有最小根的二項樹來完成， 令該樹為Bk， 令原始序列為H；
• step2）從H中除去Bk， 形成新的二項隊列H’；
• step3）再除去Bk的根， 得到一些二項樹B0, B1， …, Bk-1， 它們共同形成優先隊列H”；
• step4） 合并H’ 和 H” ， 操作結束；
  

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【3】 source code and printing results

3.1）source code at a glance
Attention）二項隊列的實現源代碼用到了 兒子兄弟表示法；

#include "binominal_queue.h" #define MINIMAL 10000int minimal(BinominalQueue bq) {int capacity;int i;int minimal;int miniIndex; minimal = MINIMAL;capacity = bq->capacity;for(i=0; i<capacity; i++){if(bq->trees[i] && bq->trees[i]->value < minimal){minimal = bq->trees[i]->value;miniIndex = i;}}return miniIndex; }// initialize the BinominalQueue with given capacity. BinominalQueue init(int capacity) {BinominalQueue queue; BinominalTree* trees; int i;queue = (BinominalQueue)malloc(sizeof(struct BinominalQueue));if(!queue){Error("failed init, for out of space !");return queue;} queue->capacity = capacity;trees = (BinominalTree*)malloc(capacity * sizeof(BinominalTree));if(!trees){Error("failed init, for out of space !");return NULL;} queue->trees = trees;for(i=0; i<capacity; i++){queue->trees[i] = NULL;}return queue; } // attention: the root must be the left child of the binominal tree. int getHeight(BinominalTree root) {int height; if(root == NULL){ return 0; }height = 1; while(root->nextSibling){height++;root = root->nextSibling;}return height; }// merge BinominalQueue bq2 into bq1. void outerMerge(BinominalQueue bq1, BinominalQueue bq2) {int height;int i;for(i=0; i<bq2->capacity; i++){height = -1;if(bq2->trees[i]){height = getHeight(bq2->trees[i]->leftChild); // attention for the line above// height = height(bq2->trees[i]->leftChild); not height = height(bq2->trees[i]);merge(bq2->trees[i], height, bq1);} } }// merge tree h1 and h2 = bq->trees[height], // who represents the new tree and old one respectively. BinominalTree merge(BinominalTree h1, int height, BinominalQueue bq) { if(h1 == NULL){return h1;}if(bq->trees[height] == NULL) // if the queue don't has the B0 tree.{ bq->trees[height] = h1;return bq->trees[height];}else // otherwise, compare the new tree's height with that of old one.{ if(h1->value > bq->trees[height]->value) // the new should be treated as the parent of the old.{ innerMerge(bq->trees[height], height, h1, bq);}else // the old should be treated as the parent of the new.{innerMerge(h1, height, bq->trees[height], bq);}} return h1; } BinominalTree lastChild(BinominalTree root) { while(root->nextSibling){ root = root->nextSibling;}return root; }// merge tree h1 and h2 = bq->trees[height], // who represents the new tree and old one respectively. BinominalTree innerMerge(BinominalTree h1, int height, BinominalTree h2, BinominalQueue bq) {if(h1->leftChild == NULL){h1->leftChild = h2;}else{lastChild(h1->leftChild)->nextSibling = h2;// attention for the line above// lastChild(h1->leftChild)->nextSibling = h2 not lastChild(h1)->nextSibling = h2}height++;bq->trees[height-1] = NULL;merge(h1, height, bq); return h1; } // insert an element with value into the priority queue. void insert(ElementType value, BinominalQueue bq) {TreeNode node;node = (TreeNode)malloc(sizeof(struct TreeNode));if(!node){Error("failed inserting, for out of space !");return ;}node->leftChild= NULL;node->nextSibling = NULL; node->value = value; merge(node, 0, bq); }// analog print node values in the binominal tree, which involves preorder traversal. void printPreorderChildSibling(int depth, BinominalTree root) { int i;if(root) { for(i = 0; i < depth; i++)printf(" ");printf("%d\n", root->value); printPreorderChildSibling(depth + 1, root->leftChild); printPreorderChildSibling(depth, root->nextSibling);} else{for(i = 0; i < depth; i++)printf(" ");printf("NULL\n");} }// print Binominal Queue bq void printBinominalQueue(BinominalQueue bq) {int i;for(i=0; i<bq->capacity; i++){printf("bq[%d] = \n", i);printPreorderChildSibling(1, bq->trees[i]);} }void deleteMin(BinominalQueue bq) {int i; BinominalTree minitree; BinominalTree sibling;i = minimal(bq);minitree = bq->trees[i]->leftChild; //minitree->value=51free(bq->trees[i]);bq->trees[i] = NULL; while(minitree){sibling = minitree->nextSibling;minitree->nextSibling = NULL;merge(minitree, getHeight(minitree->leftChild), bq); minitree = sibling;} }

3.2） printing results

總結

以上是生活随笔為你收集整理的优先队列——二项队列（binominal queue）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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