[遇見數(shù)學(xué)創(chuàng)作小組] 作者: 心如止水(Java程序員。善于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，簡(jiǎn)潔易懂地表達(dá)出來)

在學(xué)三角這部分的時(shí)候，有些書習(xí)慣列出誘導(dǎo)公式(induction formula)，都列出來的話可以寫小半張紙。

那什么是“誘導(dǎo)公式”呢？

“誘導(dǎo)公式”應(yīng)該是一個(gè)老的翻譯，“誘導(dǎo)”也就是我們今天所說的“推導(dǎo)”，除了公理之外，那有什么公式不是推導(dǎo)出來的呢？所以說起這種名字就意味著根本就沒有名字，因?yàn)閷?shí)在太顯而易見了，所以沒有人好意思大叫“尤里卡”，沒有人好意思冠名。

但是沒有名字，交流起來又不方便，所以就干脆這么叫了，這種叫法類似于“孩他娘”。

“顯而易見”在哪里？

一堆式子本質(zhì)上只說了兩件事情：

① ×(-1) 幾何意義是轉(zhuǎn) π，× i 是轉(zhuǎn)了 π/2。

② f(-x) 的幾何意義是 x 軸對(duì)稱。

上面是兩個(gè)老調(diào)重彈，然后，再結(jié)合兩個(gè)顯而易見的已知事實(shí)：

③ ±2π 的幾何意義是不變。

④ co 的含義是余角。

這就是所有的“誘導(dǎo)公式”。

你可以看出，這說的都是些最基礎(chǔ)的東西，角函數(shù)就是這樣的地位：它是二維在一維的投影；旋轉(zhuǎn)和平移的橋梁；可以看做比值，它卻有簡(jiǎn)潔的幾何定義。

如此簡(jiǎn)單的事實(shí)是怎么變成那么多公式的？

首先，誘導(dǎo)公式并不是用幾何形式寫的，而用函數(shù)語言寫的，所以你需要換一種表示方法，或者說換一種觀察角度。而我們對(duì)這種角度是陌生的，所以就容易產(chǎn)生混亂的感覺，只要習(xí)慣了是一樣的。

其次，之所以誘導(dǎo)公式能寫很長(zhǎng)一串，就是因?yàn)榘?tan/sec/cot/csc 都印上去了，其實(shí)這些都可以通過 sin/cos 的變化一眼就看出來，印上去是為了實(shí)際的查閱方便，不是為了記憶。不解釋一下會(huì)“嚇人一跳”，懂了之后就很簡(jiǎn)單，看似很多，其實(shí)就那么回事。

?怎么樣從幾何視角轉(zhuǎn)換為函數(shù)視角呢？

其實(shí)就是復(fù)數(shù)的乘法

sin 與 cos 可以看作投影，“平面上關(guān)于 x 軸 對(duì)稱的點(diǎn)”，在 y 軸 的投影自然是一致的，

y 軸的投影剛好符號(hào)相反。

任何角轉(zhuǎn)一圈，從靜止的角度來看都是不變的。

co 的意思是余角，余弦就是余角的正弦。

實(shí)際該怎么使用呢？

之所以羅列出誘導(dǎo)公式，最重要的目的就是忘記的時(shí)候，對(duì)照查閱的，如果你手邊沒有對(duì)照表，其實(shí)只要?jiǎng)觿?dòng)腦筋就可以想明白：

● 這些變化都是以 π/2 為單位的，所以說只要看到 π/2 的倍數(shù)，就知道可以應(yīng)用誘導(dǎo)公式。

● 如果是 -π/2 奇數(shù)倍就是在原來角和余角之間切換，如果是 +π/2 奇數(shù)倍就是 × i ；如果是 π 的奇數(shù)倍，就是 ×(-1) ；如果發(fā)現(xiàn)是上述情況，但是符號(hào)不對(duì)，那就通過取對(duì)稱變換符號(hào)。

真正重要的公式是“積化和差”，從名字就會(huì)看出這個(gè)東西有降次作用，在對(duì)數(shù)表發(fā)明之前，天學(xué)家們就已經(jīng)用這個(gè)公式來簡(jiǎn)化計(jì)算了，納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)表，也可能受到了它的啟發(fā)。

參考資料: 維基百科

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的公式冒号是什么意思_三角学中，这么一堆公式其实就说了2个事而已的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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