漫画：什么是动态规划？（整合版）
轉(zhuǎn)載自?玻璃貓 程序員小灰
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題目：
有一座高度是10級(jí)臺(tái)階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級(jí)或者2級(jí)臺(tái)階。要求用程序來(lái)求出一共有多少種走法。
比如，每次走1級(jí)臺(tái)階，一共走10步，這是其中一種走法。我們可以簡(jiǎn)寫成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。
再比如，每次走2級(jí)臺(tái)階，一共走5步，這是另一種走法。我們可以簡(jiǎn)寫成 2,2,2,2,2。
當(dāng)然，除此之外，還有很多很多種走法。
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第一種情況：
第二種情況：
把思路畫出來(lái)，就是這樣子：
F(1) = 1;
F(2) = 2;
F(n) = F(n-1)+F(n-2)（n>=3）
方法一：遞歸求解
由于代碼比較簡(jiǎn)單，這里就不做過(guò)多解釋了。
如圖所示，相同的顏色代表了方法被傳入相同的參數(shù)。
方法二：備忘錄算法
在以上代碼中，集合map是一個(gè)備忘錄。當(dāng)每次需要計(jì)算F(N)的時(shí)候，會(huì)首先從map中尋找匹配元素。如果map中存在，就直接返回結(jié)果，如果map中不存在，就計(jì)算出結(jié)果，存入備忘錄中。
方法三：動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解
程序從 i=3 開(kāi)始迭代，一直到 i=n 結(jié)束。每一次迭代，都會(huì)計(jì)算出多一級(jí)臺(tái)階的走法數(shù)量。迭代過(guò)程中只需保留兩個(gè)臨時(shí)變量a和b，分別代表了上一次和上上次迭代的結(jié)果。 為了便于理解，我引入了temp變量。temp代表了當(dāng)前迭代的結(jié)果值。
題目二： 國(guó)王和金礦
有一個(gè)國(guó)家發(fā)現(xiàn)了5座金礦，每座金礦的黃金儲(chǔ)量不同，需要參與挖掘的工人數(shù)也不同。參與挖礦工人的總數(shù)是10人。每座金礦要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程序求解出，要想得到盡可能多的黃金，應(yīng)該選擇挖取哪幾座金礦？
方法一：排列組合
每一座金礦都有挖與不挖兩種選擇，如果有N座金礦，排列組合起來(lái)就有2^N種選擇。對(duì)所有可能性做遍歷，排除那些使用工人數(shù)超過(guò)10的選擇，在剩下的選擇里找出獲得金幣數(shù)最多的選擇。
代碼比較簡(jiǎn)單就不展示了，時(shí)間復(fù)雜度也很明顯，就是O(2^N)。
F(n,w) = 0 (n<=1, w<p[0]);
F(n,w) = g[0] (n==1, w>=p[0]);
F(n,w) =?F(n-1,w) (n>1, w<p[n-1])
F(n,w) = max(F(n-1,w), F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1]) (n>1, w>=p[n-1])
其中第三條是補(bǔ)充上去的，原因不難理解。
方法二：簡(jiǎn)單遞歸
把狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式翻譯成遞歸程序，遞歸的結(jié)束的條件就是方程式當(dāng)中的邊界。因?yàn)槊總€(gè)狀態(tài)有兩個(gè)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，所以遞歸的執(zhí)行流程類似于一顆高度為N的二叉樹(shù)。
方法的時(shí)間復(fù)雜度是O(2^N)。
方法三：備忘錄算法
在簡(jiǎn)單遞歸的基礎(chǔ)上增加一個(gè)HashMap備忘錄，用來(lái)存儲(chǔ)中間結(jié)果。HashMap的Key是一個(gè)包含金礦數(shù)N和工人數(shù)W的對(duì)象，Value是最優(yōu)選擇獲得的黃金數(shù)。
方法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度相同，都等同于備忘錄中不同Key的數(shù)量。
方法四：動(dòng)態(tài)規(guī)劃
方法利用兩層迭代，來(lái)逐步推導(dǎo)出最終結(jié)果。在外層的每一次迭代，也就是對(duì)表格每一行的迭代過(guò)程中，都會(huì)保留上一行的結(jié)果數(shù)組 preResults，并循環(huán)計(jì)算當(dāng)前行的結(jié)果數(shù)組results。
方法的時(shí)間復(fù)雜度是 O(n * w)，空間復(fù)雜度是(w)。需要注意的是，當(dāng)金礦只有5座的時(shí)候，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的性能優(yōu)勢(shì)還沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái)。當(dāng)金礦有10座，甚至更多的時(shí)候，動(dòng)態(tài)規(guī)劃就明顯具備了優(yōu)勢(shì)。
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總結(jié)
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