數(shù)學(xué)上，一個(gè)m×n的矩陣是一個(gè)由m行n列元素排列成的矩形陣列。矩陣?yán)锏脑乜梢允菙?shù)字、符號(hào)或數(shù)學(xué)式。以下是一個(gè)由6個(gè)數(shù)字符素構(gòu)成的2行3列的矩陣：

大小相同（行數(shù)列數(shù)都相同）的矩陣之間可以相互加減，具體是對(duì)每個(gè)位置上的元素做加減法。矩陣的乘法則較為復(fù)雜。兩個(gè)矩陣可以相乘，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的行數(shù)等于第二個(gè)矩陣的列數(shù)。矩陣的乘法滿足結(jié)合律和分配律，但不滿足交換律。

矩陣的一個(gè)重要用途是解線性方程組。線性方程組中未知量的系數(shù)可以排成一個(gè)矩陣，加上常數(shù)項(xiàng)，則稱為增廣矩陣。另一個(gè)重要用途是表示線性變換，即是諸如之類的線性函數(shù)的推廣。設(shè)定基底后，某個(gè)向量v可以表示為m×1的矩陣,而線性變換f可以表示為行數(shù)為m的矩陣R，使得經(jīng)過(guò)變換后得到的向量f(v)可以表示成Rv的形式。矩陣的特征值和特征向量可以揭示線性變換的深層特性。

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請(qǐng)參考矩陣?yán)碚摗Ｔ谔祗w物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

目錄 ??[隱藏]? 1?定義 1.1?標(biāo)記 2?矩陣的基本運(yùn)算 3?矩陣乘法 3.1?線性方程組 3.2?線性變換 4?方塊矩陣 4.1?行列式 4.2?特征值與特征向量 4.3?對(duì)稱 4.4?正定性 5?矩陣的計(jì)算 5.1?矩陣分解 6?矩陣的推廣 6.1?一般域和環(huán)上的矩陣 6.2?矩陣與線性變換 6.3?矩陣群 6.4?無(wú)限維矩陣 6.5?空矩陣 6.6?分塊矩陣 7?應(yīng)用 7.1?圖論 7.2?數(shù)學(xué)分析 7.3?概率論與統(tǒng)計(jì) 8?歷史 9?參見(jiàn) 10?注釋與參考 10.1?腳注 10.2?參考文獻(xiàn) 11?外部鏈接

[編輯]定義

將一些元素排列成若干行，每行放上相同數(shù)量的元素，就是一個(gè)矩陣。這里說(shuō)的元素可以是數(shù)字，例如以下的矩陣：

排列成的形狀是矩形，所以稱為矩陣。在中國(guó)大陸，橫向的元素組稱為“行”，縱向稱為“列”，而在臺(tái)灣則相反，橫向稱為“列”，縱向稱為“行”。矩陣一般用大寫拉丁字母表示，需要具體寫出其中元素時(shí)，一般用方括號(hào)或圓括號(hào)括起。以上的矩陣A是一個(gè)4行3列的矩陣。

行數(shù)和列數(shù)是1的矩陣分別稱為行向量和列向量。這是因?yàn)橐粋€(gè)向量可以表示成行數(shù)或列數(shù)是1的矩陣形式。矩陣的任一行（列）都是都是一個(gè)行（列）向量，例如矩陣A的第一行??就是一個(gè)行向量。行（列）向量可以看成一個(gè)向量，因此可以稱矩陣的兩行（列）相等，或者某一行等于某一列，表示其對(duì)應(yīng)的向量相等。

[編輯]標(biāo)記

一個(gè)矩陣A從左上角數(shù)起的第i?行第j?列上的元素稱為第i,j項(xiàng)，通常記為、、或。在上述例子中?。如果不知道矩陣A的具體元素，通常也會(huì)將它記成或。反之，如果A的元素可以寫成只與其行數(shù)i和列數(shù)j有關(guān)的統(tǒng)一函數(shù)f，那么也可以用作為A的簡(jiǎn)寫。例如是矩陣

的簡(jiǎn)寫。要注意的是，一些計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言中，會(huì)將第1行（列）稱為第0行（列），從而對(duì)矩陣的寫法產(chǎn)生影響，比如矩陣B就要改寫成。

矩陣的元素可以是數(shù)字、符號(hào)或數(shù)學(xué)表達(dá)式。一般為了支持矩陣的運(yùn)算，矩陣的元素之間應(yīng)當(dāng)能做加減法和乘法，所以是某個(gè)環(huán)里的元素。最常見(jiàn)的是元素屬于實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域的矩陣，簡(jiǎn)稱為實(shí)矩陣和復(fù)矩陣。更一般的情況下，矩陣的元素可以是由一個(gè)環(huán)中的元素排成。 給定一個(gè)環(huán)R，所有由R中元素排成的m×n矩陣的集合寫作或。若m?=?n，則通常記以?或，稱其為n維矩陣或方陣。

[編輯]矩陣的基本運(yùn)算

主條目：矩陣加法、轉(zhuǎn)置矩陣和初等矩陣

矩陣的最基本運(yùn)算包括矩陣加（減）法，數(shù)乘和轉(zhuǎn)置運(yùn)算。被稱為“矩陣加法”、“數(shù)乘”和“轉(zhuǎn)置”的運(yùn)算不止一種^[1]，其中最基本最常用的定義如下：

運(yùn)算定義例子

加（減）法	m×n?矩陣A和B的和（差）：A±B為一個(gè)m×n矩陣，其中每個(gè)元素是A和B相應(yīng)元素的和（差）， (A?±?B)i,j?=?Ai,j?±?Bi,j， 其中 1 ≤?i?≤?m?, 1 ≤?j?≤?n.
數(shù)乘	標(biāo)量c與矩陣A的數(shù)乘：cA的每個(gè)元素是A的相應(yīng)元素與c的乘積， (cA)i,j?=?c?·?Ai,j.
轉(zhuǎn)置	m×n?矩陣A的轉(zhuǎn)置是一個(gè)n×m的矩陣，記為AT（有些書中也記為Atr?或tA、A'），其中的第i個(gè)行向量是原矩陣A的第i個(gè)列向量；或者說(shuō)，轉(zhuǎn)置矩陣AT第i行第j列的元素是原矩陣A第j行第i列的元素， (AT)i,j?=?Aj,i.

矩陣的加法運(yùn)算滿足交換律：A?+?B?=?B?+?A^[2]。矩陣的轉(zhuǎn)置和數(shù)乘運(yùn)算關(guān)于加法滿足分配律：

(A?+?B)^T?=?A^T?+?B^T

c(A?+?B)?=?cA?+?cB

矩陣加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算使得成為一個(gè)mn維的實(shí)數(shù)線性空間。而轉(zhuǎn)置和數(shù)乘運(yùn)算滿足類似于結(jié)合律的規(guī)律：

c(A^T)?=?(cA)^T

矩陣也有類似行列式的初等變換，即對(duì)矩陣的某些行和某些列進(jìn)行三類操作：交換兩行（列），將一行（列）的每個(gè)元素都乘以一個(gè)固定的量，以及將一行（列）的每個(gè)元素乘以一個(gè)固定的量之后加到另一行（列）的相應(yīng)元素上。這些操作在求矩陣的逆之時(shí)有用。

[編輯]矩陣乘法

主條目：矩陣乘法

矩陣A和B相乘得到AB的示意圖

兩個(gè)矩陣的乘法僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的行和另一個(gè)矩陣B的列數(shù)相等時(shí)才能定義。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣，它們的乘積AB是一個(gè)m×p矩陣，它的一個(gè)元素

其中 1 ≤?i?≤?m, 1 ≤?j?≤?p^[3]。

例如

矩陣的乘法滿足結(jié)合律和關(guān)于矩陣加法的分配律（左分配律和右分配律）：

• 結(jié)合律：(AB)C?=?A(BC),
• 左分配律： (A + B)C?=?AC?+?BC,
• 右分配律：?C(A + B) =?CA?+?CB.

矩陣的乘法與數(shù)乘運(yùn)算之間也滿足類似結(jié)合律的規(guī)律；與轉(zhuǎn)置之間則滿足倒置的分配律。

c(AB) =(cA)B?=?A(cB)

(AB)^T?=?B^TA^T

矩陣乘法不滿足交換律。一般來(lái)說(shuō)，矩陣A及B的乘積AB存在，但BA不一定存在，即使存在，大多數(shù)時(shí)候?AB?≠?BA。比如下面的例子：

這一特性使得矩陣代數(shù)與常見(jiàn)的一些數(shù)域（有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)）以及環(huán)（多項(xiàng)式環(huán)、整數(shù)環(huán)）都不同。給定一個(gè)n維的方塊矩陣A，與A交換的所有方塊矩陣構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為A的交換子環(huán)。這些矩陣也構(gòu)成的一個(gè)子空間，稱為A的可交換空間^[4]。與中所有矩陣交換的矩陣只有形如?的矩陣（稱為數(shù)乘矩陣）。其中的是單位矩陣，也就是對(duì)角元素為1，其它元素為0的矩陣。任意矩陣M乘以單位矩陣都得到自身：?。

除了最常見(jiàn)的矩陣乘法定義以外，也有一些較不常見(jiàn)的矩陣乘法，比如阿達(dá)馬乘積和克羅內(nèi)克乘積^[5]。

[編輯]線性方程組

主條目：線性方程組

矩陣乘法的一個(gè)基本應(yīng)用是在線性方程組上。線性方程組是方程組的一種，它符合以下的形式：

其中的以及等等是已知的常數(shù)，而等等則是要求的未知數(shù)。運(yùn)用矩陣的方式，可以將線性方程組寫成一個(gè)向量方程：

其中，A是由方程組里未知量的系數(shù)排成的m×n?矩陣，x?是含有n?個(gè)元素的行向量，b?是含有m?個(gè)元素的行向量^[6]。

這個(gè)寫法下，將原來(lái)的多個(gè)方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)向量方程，在已知矩陣??和向量??的情況下，求未知向量。

[編輯]線性變換

主條目：線性變換

矩陣是線性變換的便利表達(dá)法。矩陣乘法的本質(zhì)在聯(lián)系到線性變換的時(shí)候最能體現(xiàn)，因?yàn)榫仃嚦朔ê途€性變換的合成有以下的連系： 以表示所有長(zhǎng)度為n的行向量的集合。每個(gè)m×n的矩陣A都代表了一個(gè)從射到的線性變換。反過(guò)來(lái)，對(duì)每個(gè)線性變換，都存在唯一m×n矩陣??使得對(duì)所有中的元素x，??。這個(gè)矩陣第i?行第j?列上的元素是正則基向量（第j個(gè)元素是1，其余元素是0的向量）在f映射后的向量的第i個(gè)元素。

也就是說(shuō)，從射到的線性變換構(gòu)成的向量空間??上存在一個(gè)到的一一映射：

以下是一些典型的2維實(shí)平面上的線性變換對(duì)平面向量（圖形）造成的效果，以及它們對(duì)應(yīng)的2維矩陣。其中每個(gè)線性變換將藍(lán)色圖形映射成綠色圖形；平面的原點(diǎn)(0, 0)用黑點(diǎn)表示。

水平錯(cuò)切變換， 幅度m=1.25.	水平反射變換	“擠壓”變換， 壓縮程度r=3/2	放縮變換，3/2倍	旋轉(zhuǎn)變換，左轉(zhuǎn)30°

設(shè)有k×m的矩陣B代表線性變換g?:?R^m?->?R^k，則矩陣積BA代表了線性變換的復(fù)合g?o?f^[7]，因?yàn)?/p>

(g?°?f)(x) =?g(f(x)) =?g(Ax) =?B(Ax) = (BA)x

矩陣的秩是指矩陣中線性無(wú)關(guān)的行（列）向量的最大個(gè)數(shù)^[8]，同時(shí)也是矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換的像空間的維度^[9]。秩－零化度定理說(shuō)明矩陣的列數(shù)量等于矩陣的秩與零空間維度之和^[10]。

[編輯]方塊矩陣

主條目：方塊矩陣

行數(shù)與列數(shù)相同的矩陣稱為方塊矩陣，簡(jiǎn)稱方陣。所有n維的方塊矩陣構(gòu)成一個(gè)線性空間，這個(gè)空間對(duì)矩陣乘法也是封閉的，因此也是一個(gè)代數(shù)。方陣A稱為可逆或非奇異的，如果存在另一個(gè)方陣B，使得

AB?=?I_n

成立。這時(shí)候可以證明也有BA?=?I_n成立^[11]，可將矩陣B稱為A的逆矩陣^[12]。一個(gè)矩陣A的逆矩陣如果存在的話，就是唯一的，通常記作A^?1。

矩陣A的元素A_i,i稱為其主對(duì)角線上的元素。方塊矩陣A的所有主對(duì)角線元素之和稱為它的跡，寫作tr(A)。盡管矩陣的乘法不滿足交換律，方陣相乘時(shí)交換順序會(huì)導(dǎo)致乘積變化，但它們的跡不會(huì)變，即tr(AB) = tr(BA)^[13]。除此以外，矩陣轉(zhuǎn)置的跡等于其自身的跡，tr(A) = tr(A^T)。

如果一個(gè)方陣只有主對(duì)角線上的元素不是0，其它都是0，那么稱其為對(duì)角矩陣。如果主對(duì)角線上方的元素都是0，那么稱為下三角矩陣；反之如果主對(duì)角線下方的元素都是0，那么稱為上三角矩陣。例如n?= 3的時(shí)候，這些矩陣分別寫作：

?（對(duì)角矩陣），??（下三角矩陣）和??（上三角矩陣）。

[編輯]行列式

主條目：行列式

R²里的一個(gè)線性變換f將藍(lán)色圖形變成綠色圖形，面積不變，而順時(shí)針排布的向量x1和x2的變成了逆時(shí)針排布。對(duì)應(yīng)的矩陣行列式是-1.

方塊矩陣A的行列式是一個(gè)將其映射到標(biāo)量的函數(shù)，記作 det(A) 或 |A|，反應(yīng)了矩陣自身的一定特性。一個(gè)方陣的行列式等于0當(dāng)且僅當(dāng)該方陣不可逆。系數(shù)是實(shí)數(shù)的時(shí)候，二維（三維）方陣A的行列式的絕對(duì)值表示單位面積（體積）的圖形經(jīng)過(guò)A對(duì)應(yīng)的線性變換后得到的圖形的面積（體積），而它的正負(fù)則代表了對(duì)應(yīng)的線性變換是否改變空間的定向：行列式為正說(shuō)明它保持空間定向，行列式為負(fù)則說(shuō)明它逆轉(zhuǎn)空間定向。

2×2矩陣的行列式是

3×3矩陣的行列式由6項(xiàng)組成。更高維矩陣的行列式則可以使用萊布尼茲公式寫出?^[14]?，或使用拉普拉斯展開由低一維的矩陣行列式遞推得出^[15]?。

兩個(gè)矩陣相乘，乘積的行列式等于它們的行列式的乘積：det(AB) = det(A)·det(B)^[16]。將矩陣的一行（列）乘以某個(gè)系數(shù)加到另一行（列）上不改變矩陣的行列式，將矩陣的兩行（列）互換則使得其行列式變號(hào)^[17]。用這兩種操作可以將矩陣變成一個(gè)上三角矩陣或下三角矩陣，而后兩種矩陣的行列式就是主對(duì)角線上元素的乘積，因此能方便地計(jì)算。運(yùn)用行列式可以計(jì)算線性方程組的解（見(jiàn)克萊姆法則）^[18]。

[編輯]特征值與特征向量

主條目：特征向量

n×n的方塊矩陣A的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)特征向量是滿足

^[19]

的標(biāo)量以及非零向量。特征值和特征向量的概念對(duì)研究線性變換很有幫助。一個(gè)線性變換可以通過(guò)它對(duì)應(yīng)的矩陣在向量上的作用來(lái)可視化。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)向量在經(jīng)過(guò)映射之后可以變?yōu)槿魏慰赡艿南蛄?#xff0c;而特征向量具有更好的性質(zhì)^[20]。假設(shè)在給定的基底下，一個(gè)線性變換對(duì)應(yīng)著某個(gè)矩陣A，如果一個(gè)向量可以寫成矩陣的幾個(gè)特征向量的線性組合：

其中的表示此向量對(duì)應(yīng)的特征值是，那么向量經(jīng)過(guò)線性變換后會(huì)變成：

可以清楚地知道變換后向量的結(jié)構(gòu)。

另一個(gè)等價(jià)的特征值定義是：標(biāo)量為特征值，如果矩陣是不可逆矩陣。根據(jù)不可逆矩陣的性質(zhì)，這個(gè)定義也可以用行列式方程描述：為特征值，如果

^[21]

這個(gè)定義中的行列式可以展開成一個(gè)關(guān)于的n階多項(xiàng)式，叫做矩陣A的特征多項(xiàng)式，記為。特征多項(xiàng)式是一個(gè)首一多項(xiàng)式（最高次項(xiàng)系數(shù)是1的多項(xiàng)式）。它的根就是矩陣A特征值^[22]。哈密爾頓－凱萊定理說(shuō)明，如果用矩陣A本身代替多項(xiàng)式中的不定元，那么多項(xiàng)式的值是零矩陣^[23]：

[編輯]對(duì)稱

主條目：對(duì)稱矩陣

轉(zhuǎn)置等于自己的矩陣，即滿足A?=?A^T的方塊矩陣A叫做對(duì)稱矩陣。滿足A?= -?A^T的矩陣稱為反對(duì)稱矩陣。在復(fù)系數(shù)矩陣中，則有埃爾米特矩陣的概念：滿足A?=?A^*的方塊矩陣稱為埃爾米特矩陣，其中的A^*表示A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

根據(jù)譜定理，實(shí)對(duì)稱矩陣和復(fù)埃爾米特矩陣擁有特征基，即由矩陣的特征向量組成的基底。因此任何向量都能表示成矩陣特征向量的線性組合。此外，這兩類矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)^[24]。

[編輯]正定性

矩陣表達(dá)式
正定性	不定矩陣	正定矩陣
對(duì)應(yīng)二次型
取值圖像
說(shuō)明	正定矩陣對(duì)應(yīng)的二次型的取值范圍永遠(yuǎn)是正的， 不定矩陣對(duì)應(yīng)的二次型取值則可正可負(fù)

主條目：正定矩陣

n×n的實(shí)對(duì)稱矩陣A如果滿足對(duì)所有非零向量x?∈?Rⁿ，對(duì)應(yīng)的二次型

Q(x) =?x^TAx

函數(shù)值都是正數(shù)，就稱A為正定矩陣。類似地還有半正定矩陣、負(fù)定矩陣、不定矩陣等概念^[25]。對(duì)稱矩陣的正定性與其特征值密切相關(guān)。矩陣是正定的當(dāng)且僅當(dāng)其特征值都是正數(shù)^[26]。

[編輯]矩陣的計(jì)算

矩陣在許多學(xué)科領(lǐng)域中都有應(yīng)用，在很多時(shí)候，除了需要知道矩陣的理論性質(zhì)以外，還需要計(jì)算矩陣的數(shù)值。為了矩陣的計(jì)算能夠足夠精確與快捷，數(shù)值線性代數(shù)中專門有研究矩陣的數(shù)值計(jì)算方法^[27]。與其它的數(shù)值計(jì)算一樣，矩陣的數(shù)值計(jì)算注重的主要也是算法的復(fù)雜度和數(shù)值穩(wěn)定性。矩陣的數(shù)值計(jì)算可以使用直接計(jì)算，也可以用迭代算法，例如在計(jì)算方塊矩陣的特征值時(shí)，可以從一個(gè)非零向量開始，通過(guò)特定迭代方法得到一個(gè)逼近某個(gè)特征向量的向量序列^[28]。

測(cè)量一個(gè)算法的復(fù)雜度是指估計(jì)此算法需要的基本運(yùn)算如數(shù)字的加法和乘法的次數(shù)，或者找出它的一個(gè)上界。例如按照定義計(jì)算的話，兩個(gè)n階方陣的乘法需要次數(shù)字乘法計(jì)算，因?yàn)槠涑朔e是一個(gè)n階方陣，有個(gè)元素，計(jì)算每個(gè)元素需要次數(shù)字乘法。如果使用施特拉森算法的話，可以將數(shù)字乘法的次數(shù)減低到大約次^[29]。此外，編程語(yǔ)言或環(huán)境本身對(duì)算法的復(fù)雜度也會(huì)有影響。

某些特殊類型的矩陣攜帶的數(shù)據(jù)量比一般矩陣要少，同時(shí)帶來(lái)的信息量比一般矩陣多。一個(gè)重要的例子是稀疏矩陣，這類矩陣中絕大部分的元素是零。有關(guān)稀疏矩陣的計(jì)算，如計(jì)算稀疏矩陣A的線性方程組Ax=?b時(shí)，可以使用一些專用于稀疏矩陣的特殊算法（比如共軛梯度法^[30]），減低計(jì)算復(fù)雜度。

算法的數(shù)值穩(wěn)定性是指輸入值的小變化不會(huì)讓計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大偏差。例如計(jì)算矩陣的逆時(shí)，可以用以下的算法（其中adj(A)表示A的伴隨矩陣）

A^?1?= Adj(A) / det(A)

這個(gè)算法在A的行列式接近0的時(shí)候會(huì)引起很大的舍入誤差^[31]。

[編輯]矩陣分解

主條目：矩陣分解、對(duì)角化、高斯消去法和巴萊斯算法

矩陣研究的一大方向是將一般的矩陣用一些比較“簡(jiǎn)單”的矩陣來(lái)表示。這種表示方式稱為矩陣的變換與分解。矩陣變換與分解的方法有很多，它們的目的都是希望化簡(jiǎn)后的矩陣保持原矩陣的某些性質(zhì)，比如行列式、秩或逆矩陣，而形式相對(duì)簡(jiǎn)單，因而能用容易地進(jìn)行討論和計(jì)算，或者能使得某些算法更易執(zhí)行。

LU分解將矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積^[32]。分解后的矩陣可以方便某些問(wèn)題的解決。例如解線性方程組時(shí)，如果將系數(shù)矩陣A分解成A?=?LU的形式，那么方程的求解可以分解為求解Ly?=?b和Ux?=?y兩步，而后兩個(gè)方程可以十分簡(jiǎn)潔地求解（詳見(jiàn)三角矩陣中“向前與向后替換”一節(jié)）。又例如在求矩陣的行列式時(shí)，如果直接計(jì)算一個(gè)矩陣A的行列式，需要計(jì)算大約 (n?+ 1)! 次加法和乘法；而如果先對(duì)矩陣做LU分解，再求行列式，就只需要大約次加法和乘法，大大降低了計(jì)算次數(shù)。這是因?yàn)樽?strong>LU分解的復(fù)雜度大約是次，而后注意到L和U是三角矩陣，所以求它們的行列式只需要將主對(duì)角線上元素相乘即可。

若爾當(dāng)矩陣，其中灰色框內(nèi)的是若爾當(dāng)塊

高斯消去法也是一種矩陣分解方法。通過(guò)初等變換操作，可以將任何矩陣變?yōu)殡A梯形矩陣，而每個(gè)操作可以看做是將矩陣乘上一個(gè)特定的初等矩陣^[33]。奇異值分解則是另一種分解方法，將一個(gè)矩陣表示成3個(gè)矩陣的乘積：A?=?UDV。其中U和V是酉矩陣，D是對(duì)角矩陣。

特征分解是將一個(gè)矩陣A寫成PDP^?1的形式，其中P是一個(gè)可逆矩陣，D是對(duì)角矩陣^[34]。如果A的特征分解存在，就稱它是可對(duì)角化的矩陣。不能對(duì)角化的矩陣，也有類似的分解方式。任意的矩陣A都可以寫成PJP^?1的形式，其中的矩陣J是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣的一種，它與對(duì)角矩陣類似，只不過(guò)主對(duì)角線上的元素不是數(shù)值，而是若爾當(dāng)塊：主對(duì)角線上為同一元素，主對(duì)角線右上一行的次對(duì)角線上都是1，其它元素都是0的矩陣（見(jiàn)右圖）^[35]。特征分解可以方便計(jì)算矩陣的冪次和多項(xiàng)式，如要計(jì)算Aⁿ：

Aⁿ?= (PDP^?1)ⁿ?=?PDP^?1PDP^?1...PDP^?1?=?PDⁿ?P^?1

而其中對(duì)角矩陣的冪次Dⁿ要比Aⁿ容易計(jì)算得多。同理還可計(jì)算矩陣指數(shù)：e^A（在線性微分方程中有應(yīng)用）、矩陣對(duì)數(shù)和矩陣的平方根^[36]。為了提高算法的數(shù)值穩(wěn)定性，還有舒爾分解等矩陣分解方法^[37]。

[編輯]矩陣的推廣

矩陣的元素除了可以是實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)以外，也可以任意環(huán)或域中元素。在線性代數(shù)中，矩陣的性質(zhì)可以經(jīng)由有限維的線性空間中的線性變換定義。更廣泛的，無(wú)限維空間中的線性算子，則可以定義更廣泛的無(wú)窮維矩陣。矩陣的另一種推廣是張量。標(biāo)量可以看成零維方式排列的數(shù)據(jù)（只有一個(gè)“點(diǎn)”），向量可以看成是一維方式排列的數(shù)據(jù)（若干個(gè)“點(diǎn)”排成的“線段”），矩陣可以看成是二維方式排列的數(shù)據(jù)（若干個(gè)“線段”排成的“矩形”），而張量的概念則包括了這幾種排列方式。在張量的概念中，標(biāo)量是零維張量，向量是一維張量，矩陣是二維向量，而更高維方式排列的數(shù)據(jù)方式就是高維張量^[38]。

[編輯]一般域和環(huán)上的矩陣

矩陣的元素除了可以是實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)以外，還可以是任何能夠使得矩陣的運(yùn)算律成立的元素。首先，矩陣的元素可以是任意一個(gè)域（即能夠進(jìn)行“加減乘除”運(yùn)算的集合）中元素。例如編碼理論中會(huì)出現(xiàn)系數(shù)為有限域中元素的矩陣，以及有理數(shù)系數(shù)的矩陣。如果矩陣的系數(shù)所在域K不是代數(shù)閉域，那么在求矩陣的特征值時(shí)，由于特征值是相應(yīng)的特征多項(xiàng)式的根，可能不在系數(shù)域K中，而是在系數(shù)域的某個(gè)擴(kuò)域L中。反過(guò)來(lái)，如果考慮擴(kuò)域L/K，以及L中的一個(gè)元素，以及L中線性變換，那么由于也是一個(gè)K-線性變換，它可以表示成一個(gè)n×n的K系數(shù)矩陣?，其中的n是擴(kuò)域L/K的階數(shù)。是這個(gè)矩陣的特征值，這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式?是在K中的最小多項(xiàng)式的冪次：

其中的是擴(kuò)域L/K?的階數(shù)^[39]。

更一般的情況是矩陣的元素屬于某個(gè)環(huán)R^[40]。環(huán)是比域更廣泛的概念，只要求其中元素能夠進(jìn)行加減法和乘法運(yùn)算（不一定能定義除法）。給定一個(gè)環(huán)?R，中的矩陣之間可以相互加減以及相乘，所以關(guān)于矩陣的加法和乘法也構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為矩陣環(huán)。n維方陣的環(huán)與左R-模Rⁿ的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)^[41]。

若R是交換環(huán)，則是一個(gè)帶單位元的R-代數(shù)，滿足結(jié)合律，但不滿足交換律。其中的矩陣仍然可以用萊布尼茲公式定義行列式。一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)其行列式為環(huán)R中的可逆元（域上的矩陣可逆只需行列式不等于0）^[42]。

[編輯]矩陣與線性變換

前面已經(jīng)提到，所有Rⁿ?→?R^m的線性變換都對(duì)應(yīng)著一個(gè)中的矩陣。更一般地，給定了基底后，任意兩個(gè)有限維線性空間之間的線性映射f:?V?→?W也對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣A_f= (a_ij)。設(shè)空間V和W的基底分別是v₁, ...,?v_n?和?w₁, ...,?w_m，那么

對(duì)任意??，?

矩陣A_f實(shí)際上“記錄”了V中每個(gè)基底向量經(jīng)過(guò)變換后得到的W中的像在基底(w₁, ...,?w_m)下的形式。要注意矩陣的內(nèi)容取決于基底的選擇。可以說(shuō)，矩陣是線性變換f?在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述f?的矩陣是不同的，但這些矩陣都是相似矩陣^[43]。與矩陣有關(guān)的基本概念都可以用線性變換的層面來(lái)解釋，比如一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置可以用f?的對(duì)偶變換f^*?:?W^*?→?V^*來(lái)表示^[44]。

當(dāng)矩陣的元素是帶單位元的環(huán)R中的元素時(shí)，m×n的R-矩陣對(duì)應(yīng)的則是R-自由模R^m和Rⁿ之間的R-線性變換。n?=?m?的時(shí)候，這些R-線性變換可以相互復(fù)合，因此n維的R-矩陣環(huán)能夠與R-自同態(tài)環(huán)Rⁿ同構(gòu)。

[編輯]矩陣群

主條目：矩陣群

群是比環(huán)更寬泛的代數(shù)結(jié)構(gòu)，只需要集合配備一個(gè)滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算，即將兩個(gè)群內(nèi)元素映射到群內(nèi)一元素的運(yùn)算。矩陣群是指矩陣關(guān)于矩陣乘法組成的群^[45]。顯然，只有方塊矩陣才能構(gòu)成乘法群。所有n維的可逆方陣構(gòu)成一個(gè)群，稱為n階一般線性群。由于群內(nèi)每個(gè)元素都必須是可逆的，任意的矩陣群都必然是一般線性群的子群。

能夠在矩陣乘法和求逆矩陣運(yùn)算下保持的性質(zhì)都可以用來(lái)刻畫一定的矩陣群。例如所有行列式為1的矩陣可以構(gòu)成一個(gè)群，稱為n階特殊線性群^[46]。所有n維的正交矩陣，即滿足：

M^TM?=?I

的矩陣M也構(gòu)成一個(gè)群，稱為n階正交群^[47]。正交矩陣得名于它在Rⁿ中對(duì)應(yīng)的線性變換具有保角性，也就是說(shuō)對(duì)基本的點(diǎn)積，滿足

(Mv) · (Mw) =?v?·?w.^[48]

每個(gè)有限群都同構(gòu)于一個(gè)矩陣群。實(shí)際上，每個(gè)有限群都同構(gòu)于某個(gè)置換群的子群，而每個(gè)置換群都同構(gòu)于一個(gè)矩陣群（見(jiàn)置換群的正則群表示^[49]）鑒于矩陣群的性質(zhì)可以通過(guò)與矩陣相關(guān)的更多手段更好地理解，常常通過(guò)研究矩陣群來(lái)研究一個(gè)有限群。相關(guān)的理論稱為群表示論。

[編輯]無(wú)限維矩陣

主條目：無(wú)限維矩陣

無(wú)窮維矩陣可以指行數(shù)或列數(shù)無(wú)窮大，或兩者都是無(wú)窮大的矩陣^[50]。盡管這樣的矩陣無(wú)法完整寫出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以對(duì)它進(jìn)行矩陣操作和運(yùn)算。這里矩陣的行數(shù)和列數(shù)甚至不一定需要是可數(shù)集。需要注意的是，無(wú)窮維矩陣的乘法涉及到無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，因此只有在相關(guān)的無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的時(shí)候，才能定義矩陣的乘積^[51]。無(wú)限維矩陣也可以是方塊矩陣，定義為行標(biāo)記集合與列標(biāo)記集合相同的矩陣（如）^[52]。

無(wú)限矩陣無(wú)法定義通常意義上的行列式，因此可逆矩陣不一定是方塊矩陣，同理，酉矩陣也不一定要是方塊矩陣^[53]。

[編輯]空矩陣

主條目：空矩陣

空矩陣是指行數(shù)或列數(shù)為零的矩陣。空矩陣的定義可以完善一些關(guān)于零維空間的約定。包括約定一個(gè)矩陣與空矩陣相乘得到的也是空矩陣，兩個(gè)n×0和0×p的空矩陣相乘是一個(gè)n×p的零矩陣（所有元素都是零的矩陣）。0×0的空矩陣的行列式約定為1，所以它也可以有逆矩陣，約定為它自己^[54]。

[編輯]分塊矩陣

分塊矩陣是指一個(gè)大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣

可分割成4個(gè)2×2的矩陣

。

[編輯]應(yīng)用

矩陣在許多領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛。有些時(shí)候用到矩陣是因?yàn)槠浔磉_(dá)方式緊湊，例如在博弈論和經(jīng)濟(jì)學(xué)中，會(huì)用收益矩陣來(lái)表示兩個(gè)博弈對(duì)象在各種決策方式下的收益^[55]。文本挖掘和索引典匯編的時(shí)候，比如在TF-IDF方法中，也會(huì)用到文件項(xiàng)矩陣來(lái)追蹤特定詞匯在多個(gè)文件中的出現(xiàn)頻率^[56]。

復(fù)數(shù)可以用實(shí)系數(shù)的2×2矩陣表示：

這種表示法與復(fù)數(shù)的加減法、乘法都相兼容。比如，2×2的旋轉(zhuǎn)矩陣可以用來(lái)表示模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)，一個(gè)向量乘以此旋轉(zhuǎn)矩陣可以視作一個(gè)復(fù)數(shù)乘以該模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)。對(duì)四元數(shù)也有類似的矩陣表達(dá)^[57]。

早期的密碼技術(shù)如希爾密碼也用到矩陣。然而，矩陣的線性性質(zhì)使這類密碼相對(duì)容易破解^[58]。計(jì)算機(jī)圖像處理也會(huì)用到矩陣來(lái)表示處理對(duì)象，并且用放射旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)計(jì)算對(duì)象的變換，實(shí)現(xiàn)三維對(duì)象在特定二維屏幕上的投影^[59]。多項(xiàng)式環(huán)上的矩陣在控制論中有重要作用。

化學(xué)中也有矩陣的應(yīng)用，特別在使用量子理論討論分子鍵和光譜的時(shí)候。具體例子有解羅特漢方程時(shí)用重疊矩陣和福柯矩陣來(lái)得到哈特里－福克方法中的分子軌道。

[編輯]圖論

一個(gè)無(wú)向圖的鄰接矩陣

圖論中可以用矩陣描述一個(gè)有限圖^[60]。這個(gè)矩陣叫做相關(guān)矩陣的鄰接矩陣，記錄了圖的每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)之間是否有邊連接。對(duì)簡(jiǎn)單圖來(lái)說(shuō)，鄰接矩陣的元素只取兩個(gè)值：0和1,第i?行第j?列上取值為0，表示沒(méi)有從第i?個(gè)頂點(diǎn)連到第j?個(gè)頂點(diǎn)的邊，取值為1則說(shuō)明有。如果是一般情況的話，第i?行第j?列上的取值是從第i?個(gè)頂點(diǎn)連到第j?個(gè)頂點(diǎn)的邊的數(shù)目。距離矩陣則是表示圖中各頂點(diǎn)之間距離的矩陣^[61]。在研究互聯(lián)網(wǎng)等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候，鄰接矩陣常常會(huì)是稀疏矩陣。因此網(wǎng)絡(luò)理論中有專門研究稀疏矩陣的方面。

[編輯]數(shù)學(xué)分析

在多元函數(shù)微積分學(xué)中，對(duì)二階偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)f:?Rⁿ?→?R，可以定義其海森矩陣^[62]：

n=2時(shí)，海森矩陣的特征值一正一負(fù)，說(shuō)明函數(shù)f(x,y) =?x²???y²在 (x?=?0,?y?=?0) 處有一個(gè)鞍點(diǎn)（紅色點(diǎn)）

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，僅當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)上的二階偏導(dǎo)數(shù)存在，才能定義這一點(diǎn)上的海森矩陣。海森矩陣給出了函數(shù)在這一點(diǎn)的變化率方面的信息。當(dāng)給定的點(diǎn)x?=?(x₁,?...,?x_n)是函數(shù)平穩(wěn)點(diǎn)（即函數(shù)f?在這一點(diǎn)上的一階偏導(dǎo)數(shù)都是0）時(shí)，就需要利用海森矩陣來(lái)查看函數(shù)在這一點(diǎn)周圍的增長(zhǎng)特性。多元函數(shù)在點(diǎn)x的泰勒展開是：

如果函數(shù)在點(diǎn)x的一階偏導(dǎo)數(shù)都是0，那么，所以函數(shù)在x附近的變化率取決于海森矩陣的性質(zhì)。如果是正定矩陣，那么函數(shù)在點(diǎn)x取得局部最小值，如果是負(fù)定矩陣，則函數(shù)在x取得局部最大值。在這類情況下，關(guān)于函數(shù)f?的條件最優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于海森矩陣的二次規(guī)劃問(wèn)題^[63]。

矩陣在多元函數(shù)微積分中的另一個(gè)應(yīng)用是雅可比矩陣。函數(shù)f:?Rⁿ?→?R^m在某一點(diǎn)x上的一階偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，可以定義它在這點(diǎn)上的雅可比矩陣^[64]：

如果n>m，而又是滿秩矩陣（秩等于m）的話，根據(jù)反函數(shù)定理，可以找到函數(shù)f?在x附近的一個(gè)局部的反函數(shù)^[65]。

偏微分方程理論中，二階擬線性偏微分方程可以根據(jù)最高次偏導(dǎo)項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成的矩陣的正定性分類。假設(shè)有一個(gè)二階擬線性偏微分方程：

?并假設(shè)?

記矩陣。如果矩陣A是正定或負(fù)定矩陣，那么就稱方程(E)為橢圓形偏微分方程；如果A不可逆，就稱(E)為拋物形偏微分方程，如果A可逆而且恰有n?- 1個(gè)特征值同號(hào)，就稱(E)為雙曲型偏微分方程。其它情況下也稱(E)為超雙曲形偏微分方程。不同類型的方程解的形式也不一樣^[66]。

用數(shù)值方法解偏微分方程時(shí)更需要用到矩陣。一個(gè)重要的方法是有限元方法，在求解各種物理中遇到的偏微分方程時(shí)廣泛使用。有限元方法的基本思想是用一系列“簡(jiǎn)單”函數(shù)的線性組合來(lái)“逼近”偏微分方程的精確解。這些“簡(jiǎn)單”函數(shù)通常是指將求解區(qū)域分割成一定數(shù)量的“小塊”后，僅在某一“小塊”上非零的分段線性函數(shù)。選定了網(wǎng)格和“簡(jiǎn)單”函數(shù)后，可以求解關(guān)于剛度矩陣的方程得到近似解。有限元理論中證明了在滿足一定的條件下，近似解將隨著網(wǎng)格趨于精細(xì)而弱收斂到精確解^[67][68]。

[編輯]概率論與統(tǒng)計(jì)

概率論中常用到隨機(jī)矩陣，即行向量是概率向量（即所有的元素都在0和1之間，并且加起來(lái)等于1的向量）的矩陣。隨機(jī)矩陣可用來(lái)定義有限概率空間中的馬爾可夫鏈。設(shè)隨機(jī)變量是某個(gè)馬爾可夫鏈在時(shí)刻的狀態(tài)，所有可能的狀態(tài)稱為狀態(tài)空間，那么隨機(jī)矩陣則記錄了假設(shè)已知的可能情況下做各種取值的可能性^[69]。的第i?行第j?列上的元素表示當(dāng)?shù)臅r(shí)候，的可能性。的第j?行記錄了從轉(zhuǎn)移到各種狀態(tài)的可能性。所以叫做時(shí)刻的轉(zhuǎn)移矩陣。如果馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣不隨時(shí)刻變化，則稱為齊次馬爾可夫鏈。這時(shí)馬爾可夫鏈的吸引態(tài)可以通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣的特征向量得到^[70]。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中也會(huì)用到各種不同的矩陣。描述統(tǒng)計(jì)學(xué)中常常需要用矩陣的形式來(lái)描述數(shù)據(jù)樣本，顯得更為緊湊。幾個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣表示它們之間的協(xié)方差關(guān)系。

[編輯]歷史

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。1693年，微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨建立了行列式論（theory of determinants）。1750年，加布里爾·克拉默其后又定下了克萊姆法則。1800年代，高斯和威廉·約當(dāng)建立了高斯－約當(dāng)消去法。

1848年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特首先創(chuàng)出matrix一詞。研究過(guò)矩陣論的著名數(shù)學(xué)家有阿瑟·凱萊、威廉·盧云·哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮·諾伊曼。

[編輯]參見(jiàn)

• • 矩陣論專有名詞表：有關(guān)矩陣論所用到的名詞的定義
  • 方塊矩陣
  • 矩陣范數(shù)
  • 雅可比矩陣

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/olvo/archive/2012/04/23/2466325.html

總結(jié)

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