參考文獻

高昆輪 2019考研數(shù)學
張宇 1000題

說明

【數(shù)字+字母+數(shù)字】表示1000題的索引，如【2B4】表示第2章 B組 第4題
【例+數(shù)字】為講義的例題

一、極限的定義

1.鄰域的概念

2.極限的定義

單側(cè)極限

需要分別求左右極限的情形：

• 分段函數(shù)的分段點處
• $e^{\infty }$
• $\arctan \infty$

二、極限的一般性質(zhì)

1.唯一性

2.局部有界性

研究開區(qū)間有界，分別將左區(qū)間的右鄰域和右區(qū)間的左鄰域求極限，若都存在，則有界

3.局部保號性

在某點上取到極值，某點的鄰域?qū)?shù)
填空題：題目的核心不一定在題目上，也可能在選項上。如選項中都出現(xiàn)極值，大概率是考導數(shù)。

三、極限的運算性質(zhì)

$?$:極限；連續(xù)；可導

$?$$\pm$不$?$=不$?$

不$?$	$\pm$	不$?$	=	不定
$?$	$\times$	不$?$	=	不定
不$?$	$\times$	不$?$	=	不定

【例4】先在選項中確認是哪兩個的關系，然后找到它們之間的關系，然后按照上面的判斷。

四、極限的存在性質(zhì)

1.夾逼定理

題目類型：函數(shù)極限
描述：分子和分母都是變量（會動）
解決：分子累加，分母固定（前最大后最小）
1）固定分母
$$\frac{分子之和}{最大分母}\le 夾\le \frac{分子之和}{最小分母}$$
放縮
2）- 單調(diào)有界準則（它的在第三章有詳細的描述）
單調(diào)性問題
1）數(shù)學歸納法
單調(diào)
有界
極限
給定$x_1$先單調(diào)，再有界，后極限；否則先有界，單調(diào)，極限。
注意：單調(diào)用k不用n
【例6】

五、無窮小

1.無窮小的定義

2.無窮小的比較

高階無窮小：分母的階數(shù)更高一些

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直接給出函數(shù)$f(x)$
同階無窮小【B1、3】
高階無窮小【A18】【B2、10】
k階無窮小【B4、6、11、16、17】
等價無窮小【A17】【B5、12】

無直接給出函數(shù)$f(x)$
【A10】【B7、14】

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3.無窮小的性質(zhì)

無窮小乘以有界仍是無窮小（單獨考察在求極限，填空題求極限，抓大頭【例7】）
$$\ln x^{\alpha }?x^{\beta }?a^x$$

4.極限與無窮小的關系

函數(shù)極限和數(shù)列極限

• 求函數(shù)的極限
  求函數(shù)極限，重點要知道是$\frac{什么}{什么}$，然后選方法（等價代換，化簡，洛必達等）

$\frac{0}{0}$等價代換洛必達泰勒公式

$\frac{\infty }{\infty }$	等價代換	分子分母同除最大量
$0?\infty$	化為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$	對數(shù)、反三角作分子	（$\infty$變?yōu)?或0變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$\infty$）
$\infty ?\infty$	通分（分式差）	有理化（根式差）	倒代換（沒分母）化$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$
$0^0,{\infty }^0$	$\lim u(x{)}^{v(x)}\to$	$\lim e^{v(x)\ln u(x)}$
$1^{\infty }$	$\lim u(x{)}^{v(x)}=e^A$	$其中A=\lim v(x)[u(x)?1]$	注釋：在做1000題的時候用的是上面的公式

對于$\frac{\infty }{\infty },0?\infty$等含$\infty$的，要將$\infty \to 0$,$\infty$轉(zhuǎn)換為0
抓大頭驗證

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• 泰勒
  難記
  $$\begin{array}{rl}\cos x& =1?\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^2+o(x^2)\\ e^x& =1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)\\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha ?1)}{2!}{x}^2+o(x^2)\end{array}$$

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函數(shù)極限解題步驟：

$\frac{0}{0}$型

1.先看是什么比什么$(如\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty ?\infty ,1^{\infty }等)$
2.然后根據(jù)題目選擇方法（上圖）

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$1^{\infty }$型

【B組15（10、11、12、17）】
??將$\ln$（相同函數(shù)的之比），構(gòu)造為等價代換$\ln (1+x)$

??如【B（10）】$\ln (\frac{\ln x?1}{\ln x+1})$【B12】$\ln \frac{\cos x}{\cos 2x}$
分別構(gòu)造為$\ln (1+\frac{?2}{\ln x+1})$和$\ln (1+\frac{\cos x}{\cos 2x}?1)$

??反例【B11】$\ln \frac{\sin x}{x}$ 而$\sin x$和$x$為不同的函數(shù)，上面的方式不適用，直接展開即可

??特例【B17】也可直接構(gòu)造等價代換

小結(jié)：$1^{\infty }$大部分都可用等價代換，如果等價代換后無意義（為0），那就不用等價代換。

需要注意的：若分子有兩個可等價代換，拆分需保證存在性。

總結(jié)：$1^{\infty }$型大多數(shù)需要構(gòu)造，特征：$1^{\infty }$型，對數(shù)復合函數(shù)，相同函數(shù)之比，
重點：有 ln 能否寫出 1+ X

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題型比例：（由多至少）
$\frac{0}{0},1^{\infty },\infty ?\infty ,0?\infty$

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• 求數(shù)列的極限

n項和：

解題方法有：先求和（裂項相加）、夾逼定理、定積分定義

裂項相加：拆分通項，相加
【例19】

夾逼定理：找老大老小，沒有老大設老大，設完老大作老小
【例20、21】
【2B4】與【例21相同】

證明題或求極限：（一般會給出遞推公式）

解題方法：單調(diào)有界準則（單調(diào)有界則存在極限）

$$\begin{array}{l}單調(diào):X_{n+1}?X_n或\frac{X_{n+1}}{X_n}\\ 有界:X_n\end{array}\}?極限$$

到底是先單調(diào)還是先有界：給定$x_1$先單調(diào)，否則先有界

(i) 給定初始條件$x_1$:
【2A4】
【2B5、6】
這三題是一樣的

先單調(diào)$(X_{n+1}?X_n或\frac{X_{n+1}}{X_n})$,后有界$X_n$，收斂（極限存在）到常數(shù)A，求解A

有些題是先假設極限存在為A，根據(jù)通項求得A
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{X}_n=A$$，等價證明$$\underset{n\to \infty }{\lim }|X_n?A|=0$$
，然后不斷縮放最后只剩下A和$x_1$，對其求極限得證。

(ii) 無初始條件$x_1$:
【例22】單調(diào)有界極限
【2C5（2）】有界單調(diào)極限

先有界$X_n$，后單調(diào)$(X_{n+1}?X_n或\frac{X_{n+1}}{X_n})$

其中證明有界會使用不等式關系

單調(diào)有界準則 總結(jié)：有$x_1$,單調(diào)有界極限；無$x_1$,有界單調(diào)極限

• 單調(diào):$x_{n+1}?x_n$或者$\frac{x_{x+1}}{x_n}$
• 有界(此步較復雜，視情況而定)：不等式關系等,
  $$\frac{1}{2}\sqrt{a+b}\ge \sqrt{ab}$$
  $$\frac{1}{3}\sqrt{a+b+c}\ge \sqrt[3]{abc}$$
  極限：看上

六、連續(xù)與間斷

左右極限和間斷點

左右極限都存在第一類間斷點

左右極限	至少一個不存在	第二類間斷點
左右極限	存在且相等	可去間斷點
左右極限	存在且不相等	跳躍間斷點

$間斷點f(x)?\begin{array}{l}無定義點\{\begin{array}{l}{e}^{\infty }\\ \arctan \infty \end{array}\\ 分段點\end{array}$

分段函數(shù)一般是考間斷點，在某點處的連續(xù)性，在某點處是否連續(xù)都是考間斷點

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(給出分段函數(shù))
間斷點解題步驟：

【A6、11、12、13、19】
【B9、18、19、20、22】

??找到所有的無定義點和分段點，然后求極限，注意求極限需要分左右極限的三種情況：分段函數(shù)分段點處，$e^{\infty },\arctan \infty$

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（無分段函數(shù)）
【B8、21、23、24】考間斷點卻不直接給出分段函數(shù)，給的是極限函數(shù) $\lim$ ，有兩個變量，解題思路是根據(jù)極限函數(shù)得到分段函數(shù)，然后使用間斷點解題步驟即可。

底數(shù)0到1，單調(diào)減，指數(shù)無窮大，趨于0
底數(shù)大于1，單調(diào)增，指數(shù)無窮大，趨于無窮

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七、連續(xù)函數(shù)的運算法則

八、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

重點

• 有界性
• 最大值最小值定理
• 介值定理
  設$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，介于$m$和$M$之間的任意數(shù)$\mu$，必$?\xi \in [a,b]$，使$f(\xi )=\mu$
  要一步步湊
• 零點定理
  設$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，若$f(a)?f(b)<0$，則$?\in (a,b)$，使$f(\xi )=0$
  翻譯：兩個端點的乘積小于0，說明函數(shù)穿過橫軸，必然存在零點。

注意：閉區(qū)間連續(xù)，必須想到這兩個定理

總結(jié)

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