導航

• VaR模型
• 案例：AAPL
• • 歷史模擬法
  • 參數模型分析法
  • 非參數bootstrap
  • Monte-Carlo模擬計算
• 參考資料

VaR模型

在險價值Value-at-risk的定義為，在一定時期$\Delta t$內，一定的置信水平$1?\alpha$下某種資產組合面臨的最大損失，公式為
$$P(\Delta p\le VaR)=1?\alpha$$
在持有組合時期$\Delta t$內，給定置信水平$1?\alpha$下，該組合的最大損失不會超過VaR，使用VaR進行風險衡量時，需要給定持有期和置信水平，巴塞爾協會規定持有期標準為10天，置信水平為99%，商業銀行可以確定各自的水平，J.P.Morgan公司在1994年年報中設置持有期為1天，置信水平為95%，VaR值為1500萬元，即J.P.Morgan公司在一天內所持有的風險頭寸損失小于1500萬的概率為95%.

VaR的主要性質：

• 變換不變性：$VaR(X+a)=VaR(X)+a,a\in \mathbb{R}$
• 正齊次性：$VaR(aX)=aVaR(X),a<0$，資產的風險與持有頭寸呈反比關系
• 協單調可加性：$VaR(X_1+X_2)=VaR(X_1)+VaR(X_2)$
• 不滿足次可加性和凸性：不滿足次可加性表示資產組合的風險不一定小于各資產風險之和，這個性質導致VaR測度存在不合理性，因為組合VaR不可以通過求各個資產的VaR得出。不滿足凸性表示以VaR為目標函數的規劃問題一般不是凸規劃，局部最優解不一定是全局最優解，由于多個局部極值的存在導致無法得到最優資產組合
• 滿足一階隨機占優
• VaR關于概率水平$1?\alpha$不是連續的

VaR對風險的衡量具有前瞻性，將預期損失的規模和發生的概率結合，可以了解在不同置信水平上風險的大小.
但是VaR模型是對正常市場環境中金融風險的衡量，如果整體環境出現了動蕩或者發生極端情況時，VaR就會失去參考價值，一般加上壓力測試（Stress Test）結合極值分析進行風險衡量，常用的極值分析方法有BMM和POT兩種，極值分析就是當風險規模超過設定閾值時進行建模，處理風險尾部.
由于金融數據的低信噪比特點，導致數據呈現尖峰后尾的分布，這種分布導致VaR模型無法產生一致性度量，針對風險度量的不一致性可以使用條件風險價值CVaR模型修正，即當資產組合損失超過給定的VaR值時，資產組合的損失期望，計算公式如下
$$CVa{R}_{\alpha }=\mathbb{E}(?X\mid ?X\le Va{R}_{\alpha }(x))$$
其中$X$表示資產的損益，CVaR滿足以下性質：

• 一致連續性
• 次可加性，$?X,Y$滿足$\rho (X+Y)\le \rho (X)+\rho (Y)$
• 滿足二階隨機占優
• 滿足單調性，$?X\le Y$滿足$\rho (X)\le \rho (Y)$

案例：AAPL

歷史模擬法

歷史模擬法計算AAPL公司的VaR，歷史模擬法使用市場歷史因子的變化來估計市場因子未來的變化，對市場因子的估計采用權值估計方法，根據市場因子的未來價格水平對頭寸進行重新估值，計算出頭寸的價值變化，將組合損益從小到大排序，得到損益分布，通過計算給定置信度下的分位數求出VaR. 這里計算了置信水平分別為95%和99%的VaR.

歷史模擬法python代碼

import pandas_datareader.data as web import datetime as dt import pandas as pd import numpy as np from scipy.stats import norm import matplotlib.pyplot as pltstart=dt.datetime(2012, 1, 1) end=dt.datetime(2018, 12, 31) df=web.DataReader('AAPL', 'yahoo', start, end)# 對數收益率 df['return']=np.log(df['Adj Close']/df['Adj Close'].shift(1)) # 計算收益率的分位數 # 5%分位數 VaR5=np.percentile(df['return'].dropna(), 5) # 1%分位數 VaR1=np.percentile(df['return'].dropna(), 1)def hm_demo():grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()# plt.savefig('hm_var.png')plt.show()hm_demo()

參數模型分析法

分析法利用證券組合的價值函數與市場因子之間的近似關系，推斷市場因子的統計分布，簡化VaR計算.
使用參數模型分析法需要進行數據預處理工作，在Matlab(R 2012a)中常用數據預處理函數如下

% 計算股票樣本的均值，標準差，相關性與beta % 價格轉收益率 tick_ret=tick2Ret(stockPrices, [], 'continuous') mu=mean(tick_ret) % 計算均值 std=std(tick_ret) % 計算標準差 mdd=maxdrawdown(tick_ret) % 計算最大回撤 coef=corrcoef(tick_ret) % 相關系數矩陣

tick2ret函數說明

[RetSeries, RetIntervals]=tick2ret(TickSeries, TickTimes, Method) INPUT TickSeries: 價格序列 TickTimes: 時間序列 Method: 計算方法，continuous表示對數收益率計算log(x)-log(y)；simple表示簡單收益率計算(x-y)/y OUTPUT RetSeries: 收益率序列 RetIntervals: 收益率對應的時間間隔

maxdrawdown函數說明

T日組合最大回撤計算接口為 [MaxDD, MaxDDIndex]=maxdrawdown(Data, Format) INPUT Data: 組合每日總收益序列 Format: 類別有 return(默認，收益率序列)，arithmetic（算術布朗運動），geometric（幾何布朗運動） OUTPUT MaxDD：最大回撤值 MaxDDIndex：最大回撤值位置

參數模型法計算VaR使用接口portvrisk，函數說明如下

ValueAtRisk=portvrisk(PortReturn, PortRisk, RiskThreshold, PortValue) INPUT PortReturn：組合收益率 PortRisk: 組合標準差 RiskThreshold：置信度閾值，默認為5% PortValue：組合資產價值，默認為1 OUTPUT ValueAtRisk：風險價值

參數模型法計算程序如下

pVar=portvrisk(mean(ret), std(ret), [0.01, 0.05], port_value); confidence=pVar/port_value

非參數bootstrap

對歷史數據進行有放回的采樣，計算每次采樣的VaR，然后對所有采樣結果求期望，設置采樣容量為300，進行200輪采樣的結果如下

python非參數bootstrap代碼

def bootstrap_demo():ret=df['return'].dropna()# 有放回采樣def sample(data, size):sample=np.random.choice(data, size, replace=True)VaR5=np.percentile(sample, 5)VaR1=np.percentile(sample, 1)return (VaR5, VaR1)sz, n=300, 200samples=np.array([sample(ret, sz) for _ in range(n)])VaR5, VaR1=np.mean(samples, axis=0)grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()plt.savefig('bootstrap_var.png')plt.show()bootstrap_demo()

Monte-Carlo模擬計算

Monte-Carlo計算歐式期權價格可以見這篇博客.
Monte-Carlo模擬的基本步驟是：
1.選擇市場因子變化的隨機過程和分布，估計該過程的參數的相關參數.
2.模擬市場因子的變化路徑，建立對市場因為未來的預測
3.對市場因子每個情景，利用公式計算價值和變化
4.根據組合價值變化分布模擬結果，計算給定置信度下的VaR.
設置股票價格符合幾何布朗運動，即
$$S_{t+1}=S_t\exp ((\mu ?\frac{{\sigma }^2}{2})\Delta t+\sigma \epsilon \sqrt{\Delta t})$$
其中$\mu$為收益率均值，${\sigma }^2$為收益率方差，$\epsilon$為從Gaussian分布中抽樣出的隨機值.
計算$\Delta t=1$日的VaR值

python蒙特卡洛模擬計算代碼

def monte_carlo_demo():ret = df['return'].dropna()mu, sig = np.mean(ret), np.std(ret)def gbm(s0, T, n):dt=T/nprice=s0for _ in range(n):eps=np.random.normal()s=price*np.exp((mu-sig**2/2)*dt+sig*eps*np.sqrt(dt))price=sreturn pricesp=[]s0=1for _ in range(10000):sp.append(gbm(s0, 1, 100))sret=np.array(sp)/s0-1VaR1=np.percentile(sret, 1)VaR5=np.percentile(sret, 5)print(VaR1, VaR5)grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()plt.savefig('monte-carlo_var.png')plt.show()monte_carlo_demo()

$k$天的VaR可以根據公式
$$Va{R}_k=Va{R}_1?\sqrt{k}$$
計算，或者令程序中gbm參數T=k進行模擬計算.

參考資料

DCC-Garch VaR 量化小白H
Copula模型估計組合VaR 量化小白H
python金融實戰之計算VaR
Risk Analysis in Python
量化投資以Matlab為工具 中國工信出版集團 李洋 鄭志勇

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【FinE】在险价值(VaR)计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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