題目：

4836: [Lydsy2017年4月月賽]二元運(yùn)算
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Description
定義二元運(yùn)算 opt 滿(mǎn)足
現(xiàn)在給定一個(gè)長(zhǎng)為 n 的數(shù)列 a 和一個(gè)長(zhǎng)為 m 的數(shù)列 b ，接下來(lái)有 q 次詢(xún)問(wèn)。每次詢(xún)問(wèn)給定一個(gè)數(shù)字 c
你需要求出有多少對(duì) (i, j) 使得 a_i opt b_j=c 。
Input
第一行是一個(gè)整數(shù) T (1≤T≤10) ，表示測(cè)試數(shù)據(jù)的組數(shù)。
對(duì)于每組測(cè)試數(shù)據(jù)：
第一行是三個(gè)整數(shù) n,m,q (1≤n,m,q≤50000) 。
第二行是 n 個(gè)整數(shù)，表示 a_1,a_2,?,a_n (0≤a_1,a_2,?,a_n≤50000) 。
第三行是 m 個(gè)整數(shù)，表示 b_1,b_2,?,b_m (0≤b_1,b_2,?,b_m≤50000) 。
第四行是 q 個(gè)整數(shù)，第 i 個(gè)整數(shù) c_i (0≤c_i≤100000) 表示第 i 次查詢(xún)的數(shù)。
Output
對(duì)于每次查詢(xún)，輸出一行，包含一個(gè)整數(shù)，表示滿(mǎn)足條件的 (i, j) 對(duì)的個(gè)數(shù)。

題解：
要求$a_{i}opt{b}_j=c$的c的個(gè)數(shù)，倘若題干中沒(méi)有分段操作的限制條件，那么這個(gè)題是一個(gè)裸的FFT加速求卷積的題目，比如如果要求$a_i+b_j=c$的個(gè)數(shù)，那么只需要構(gòu)建一個(gè)A序列，$A[i]$表示的是a數(shù)列中，值為i的元素的個(gè)數(shù)，B序列同理，直接求個(gè)卷積就出來(lái)了。如果要求$a_i?b_j=c$的個(gè)數(shù)，那么可以將B序列倒置，然后求卷積得到C數(shù)組，此時(shí)$C[i]$所表示的就是$a_i?b_j=i?50000$的對(duì)數(shù)。
但是現(xiàn)在opt是一個(gè)分段操作，與x和y的關(guān)系有關(guān)，我們就不能直接求卷積了。讓我們回想逆序數(shù)是怎么處理的，逆序數(shù)要求的是滿(mǎn)足下標(biāo)$i<j$的時(shí)候，$a[i]>a[j]$的對(duì)數(shù)。而我們這個(gè)題目要求的是滿(mǎn)足下標(biāo)$i<j$的時(shí)候,$i+j=c$的對(duì)數(shù)，以及滿(mǎn)足下標(biāo)$i>=j$的時(shí)候，$i?j=c$的對(duì)數(shù)。是不是非常的相似，因此我們可以采用與求逆序數(shù)相同的方法，也就是分治法來(lái)解決。
$solve(L,R)$表示的是把子問(wèn)題[L,R]完全解決。
分治的時(shí)候，我們先$solve(L,mid);$和$solve(mid,R);$
然后把區(qū)間$[L,mid]$對(duì)區(qū)間$[mid,R]$的影響考慮進(jìn)去。
也就是對(duì)$i<j$的情況$A[L,mid)$和$B[mid+1,R)$做卷積。
然后對(duì)$i>j$，把$B[L,mid)$反轉(zhuǎn)，然后再對(duì)$A[mid+1,R)$和$B[L,mid)$做卷積。
其中$i=j$的情況特殊考慮。

代碼：

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; double pi = acos(-1.0); struct complex{double re,im;complex(double r = 0.0,double i = 0.0):re(r),im(i){};complex operator+(complex com){return complex(re+com.re,im+com.im);}complex operator-(complex com){return complex(re-com.re,im-com.im);}complex operator*(complex com){return complex(re*com.re-im*com.im,re*com.im+im*com.re);} }; complex wn,wntmp; void rader(complex arr[],int n){int num = n-1;for(int i = 0;i < n;++i){int tn = n>>1;while(num && num >= tn) num ^= tn,tn >>= 1;num |= tn;if(num > i) swap(arr[i],arr[num]);} } void FFT(complex cs[],int n,int f){rader(cs,n);for(int s = 1;s < n;s <<= 1){wn = complex(cos(f*2*pi/(s*2)),sin(f*2*pi/(s*2)));for(int offset = 0;offset < n;offset += s<<1){wntmp = complex(1.0,0.0);for(int i = 0;i < s;++i){complex u = cs[offset+i],v = cs[offset+i+s]*wntmp;cs[offset+i] = u + v;cs[offset+i+s] = u - v;wntmp = wntmp * wn;}}}if(f == -1)for(int i = 0;i < n;++i)cs[i].re /= n; } int n,m,q; const int maxn = 400010,mi = 1; int a[maxn],b[maxn]; long long ans[maxn]; complex csA[maxn],csB[maxn],csC[maxn];void solve(int L,int R){if(R - L <= mi){return ;}int mid = (L + R)/2;solve(L,mid);solve(mid,R);int len = 1;while(len < mid - L || len < R - mid) len <<= 1;len <<= 1;for(int i = 0;i < len;++i) csC[i] = csA[i] = csB[i] = complex(0,0);for(int i = L;i < mid;++i) csA[i-L] = complex(a[i],0);for(int i = mid;i < R;++i) csB[i-mid] = complex(b[i],0);FFT(csA,len,1);FFT(csB,len,1);for(int i = 0;i < len;++i) csC[i] = csA[i]*csB[i];FFT(csC,len,-1);for(int i = 0;i < len;++i){long long tmp = (long long)(csC[i].re+0.5);ans[i+L+mid] += tmp;//if(tmp)//printf("%d += %d\n",i+L+mid,tmp);}for(int i = 0;i < len;++i) csC[i] = csA[i] = csB[i] = complex(0,0);for(int i = mid;i < R;++i) csA[i-mid] = complex(a[i]);for(int i = L;i < mid;++i) csB[i-L] = complex(b[mid-1-(i-L)]);FFT(csA,len,1);FFT(csB,len,1);for(int i = 0;i < len;++i) csC[i] = csA[i]*csB[i];FFT(csC,len,-1);for(int i = 0;i < len;++i){long long tmp = (long long)(csC[i].re+0.5);ans[i+1] += tmp;} } int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(ans,0,sizeof(ans));scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);for(int i = 0;i < n;++i){int tmp;scanf("%d",&tmp);a[tmp]++;}for(int i = 0;i < m;++i){int tmp;scanf("%d",&tmp);b[tmp]++;}solve(0,50001);//cout<<a[50000]<<' '<<b[50000]<<endl;for(int i = 0;i < 50001;++i){ans[0] += a[i]*b[i];} for(int i = 0;i < q;++i){int tmp;scanf("%d",&tmp);printf("%lld\n",ans[tmp]);}} return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二元运算 FFT+分治的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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