題解

這是一道純粹的數學求導題目。
首先我們先寫出要求的公式。
$ans={\sum }_{r=1}^n{C}_n^r{r}^k$
乍一看，霧草好嚇人，但是學過高等數學且稍有常識的人（不是我）可以看出，這個可以由某個式子不斷乘x并求導得出來。
沒錯，稍有常識的人又可以看出來了，這個式子就是$(1+x{)}^n$
$(1+x{)}^n={\sum }_{r=0}^n{C}_n^r{x}^r$
我們定義 $f_0=\frac{d}{dx}(1+x{)}^n=n(1+x{)}^{n?1}$
同時$f_0(x)={\sum }_{r=1}^n{C}_n^{r}r{x}^{r?1}$
定義$f_t(x)=\frac{d}{dx}(x{f}_{t?1}(x))$
這樣的話$f_{k?1}(x)={\sum }_{r=1}^n{C}_n^r{r}^k$
那么我們要求的答案$ans=f_{k?1}^{(0)}(1)$
我們知道$f_t(x)=\frac{d}{dx}(x{f}_{t?1}(x))=f_{t?1}(x)+x{f}_{t?1}^{(1)}(x)$
通過這個操作，$f_t^{(p)}(1)=(p+1)f_{t?1}^{(p)}(1)+f_{t?1}^{(p+1)}(1)$
沒錯！這就是我們的遞推公式！
定義$dp[i][j]=f_i^{(j)}(1)$
$dp[i][j]=(p+1)?dp[t?1][p]+dp[t?1][p+1]$
由于我們只需要$ans=dp[k?1][0]$，那么就只需要$dp[k?2][0...1]$,…,只需要$dp[0][0...k?1]$
狀態數$O(K^2)$

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代碼

#include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll N,k; const ll mod = 1e9+7; const int maxn = 5007; ll dp[maxn][maxn],sum[maxn]; ll mod_pow(ll x,ll n){ll ans = 1;while(n){if(n&1)ans = ans * x % mod;x = x*x%mod;n >>= 1;}return ans; } int main(){cin>>N>>k;if(N == 1){return 0*printf("1\n");}ll pre = N;for(int t = 0;t < min(N,5005ll);++t){dp[0][t] = pre*mod_pow(2,N-1-t)%mod;pre = pre*(N-1-t)%mod;}for(int i = 1;i <= k;++i){for(int j = 0;j <= k;++j){dp[i][j] = ((j+1)*dp[i-1][j] + dp[i-1][j+1])%mod;}}printf("%lld\n",dp[k-1][0]);return 0; }

總結

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