前言

不斷更新中…
專題的(下)篇將介紹網絡流的一些奇奇怪怪的應用和費用流有關的一些套路。

本專題暫時包含三道題：

洛谷P1251 餐巾計劃問題: 費用流的基本應用
Trade Gym - 100212I: 使用網絡流對圖論中的邊進行調整
codeforces 818G - Four Melodies: 費用流壓縮建圖

洛谷P1251餐巾計劃問題

題意

見題目鏈接

題解

這道題我們把選取一張餐巾紙當作是一個單位的流量，那么顯然來源部不同的餐巾紙，他們的費用是不相同的，這就引出了費用流(最小費用最大流)的模型。

每一天可以在早上接受r[i]r[i]數量的餐巾紙，同時也可以將r[i]r[i]數量的餐巾紙送去清洗，所以我們需要將每一天拆成兩個點，分別表示需要餐巾紙的點和送走餐巾紙的點。

需要餐巾紙的點與匯點TT連邊，容量為r[i]r[i]，費用為00。還要和源點SS連邊，容量為r[i]r[i]，費用為pp，這代表購買新的餐巾紙的方式。
送走餐巾紙的點需要和兩個點進行連邊：

• 送去慢洗，則需要和nn天以后的需求點連邊，容量為infinf，費用為慢洗一條的費用。
  • 送去快洗，則需要和mm天以后的需求點連邊，容量為infinf，費用為快洗一條的費用。

  • 注意，由于一條餐巾紙洗完了可以存放任意時間，所以我們需要在相鄰需求點之間連立一條費用為00，容量為infinf的邊，代表的含義就是餐巾紙在存放。

    如圖所示:
    

    優化：由于BB累點之間有邊相連，表示餐巾紙可以存放到下一天，那么，我們可以把S?>BS?>B的邊省略掉，只保留S?>1BS?>1B這條邊，表示所有新購買的餐巾紙都在第一天買好，然后存放到需要的那一天再使用。

    優化圖如下：
    

    這樣建圖完成以后，跑一個最小費用最大流就可以了。
    注意：請檢查你的板子速度是否可行，我的板子速度就太慢了，zkw費用流模板了解一下。

    參考代碼 略

    ---

    Trade Gym - 100212I

    題意

    給出A、B兩個點集，A、B之間有邊相連，而A和B的內部均無邊相連。
    題目要求求出最多刪除A、B之間的多少邊，才能使得A中點的度數至少都為2，B中點的度數也至少都為2。

    題解

    先求出每個點的度數，從每個點v出發，最多能刪除deg[v]?2deg[v]?2條邊（注意這里是理想情況下，不一定能刪除這么多）。
    那么我們就可以建立一個超級源點SS和超級匯點TT，從SS往AA點集連邊，邊的容量為deg[v]?2deg[v]?2，從BB點集往TT點連邊，邊的容量為deg[u]?2deg[u]?2
    AA和BB之間的邊流量全為11。
    從SS點流到TT的每一個為11的流量，都相當于在原圖里面刪除了這條邊。
    跑一邊最大流，就可以得到最多能刪除多少邊了。在殘余網絡中做一些小操作就可以把剩余的邊輸出出來。
    網絡圖如下：
    

    總結

    網絡流可以用于對圖論中的邊進行調整，當圖論中的一條邊存在流量流過的時候，代表該邊被“調整”了，調整可以具有很多含義，比如本題中的“刪除”也算“調整”。

    參考代碼 略

    ---

    Four Melodies

    題意

    題目鏈接

    給出nn個數，輸出選四個不相交的melody的所有情況中，4個melody長度總和的最大值。

    要形成Melody，要求相鄰的數字要么相差11，要么相差77的倍數。

    題解

    一種很直觀的建圖方法就是把每個數字拆成2個點inin和outout，然后源點也拆成2個點ss和s′s′，并把s′s′作為費用流的源點。

    從s′?>ss′?>s建立一條容量為44費用為00的邊。然后從ss點向每個inin建立一條容量為11，費用為00的邊。

    再從inin向outout建立一條容量為11，費用為?1?1的邊。從outout向匯點tt建立一條容量為11，費用為00的邊。

    然后對于任意兩個node.i,jnode.i,j如果ii到jj符合相鄰的22個條件，那么就從i的outout點向j的inin點連接一條容量為11費用為00的邊，表示他們可以串起來。

    這樣的話，建圖的復雜度為O(n2)O(n2)，邊的個數也為O(n2)O(n2)，復雜度太高了，因此需要壓縮建圖。

    奇技淫巧：當你找不到任何優化的點的時候，可以考慮搞一個出錯率極小的做法，有一個想法就是每個點僅向后面50個點連邊。

    怎么壓縮建圖呢？

    把每個點都擴充成3個點in,mid,outin,mid,out，其中inin往midmid 連邊容量為11，費用為?1?1，midmid往outout連邊，容量為11，費用為00。

    從inin往outout連邊容量為infinf，費用為00，表示途徑這個點。

    關鍵的一步來了：
    從i這個點往后找第一個使得val[i]=val[j]+1val[i]=val[j]+1的點jj，從i.outi.out向j.inj.in連接一條容量為11，費用為00的邊。
    從ii這個點往后找第一個使得val[i]=val[j]?1val[i]=val[j]?1的點jj，從i.outi.out向j.inj.in連接一條容量為11，費用為00的邊。
    從i這個點往后找第一個使得（val[i]?val[j]）%7==0（val[i]?val[j]）%7==0的點jj，從i.outi.out向j.inj.in連接一條容量為11，費用為00的邊。
    這樣的話，圖就算壓縮完成了（不需要兩兩比較建圖）。
    圖舉例：
    

  總結

  以上是生活随笔為你收集整理的网络流及建模专题(下)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

  如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。