題目

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題解

在求整體的逆序對的數量時，很好辦，直接用樹狀數組處理即可，不過在這時，我們還需要處理出一個數組$pa[]$，其中$pa[i]$代表在區間$[1,i)$中滿足$a_j>a_i$的$a_j$有多少個。

然后我們再利用一個新的$BIT$，并且倒著遍歷$a[]$數組，這樣我們可以處理出$sa[]$數組，其中$sa[i]$表示在區間$(i,n]$中有多少$j$使得，$a_i>a_j$。

我們考慮刪除一個元素對答案的影響，刪除一個元素以后，那么要從答案中減去這個元素原來能構成的逆序對的數量，也就是$pa[i]+sa[i]$。但是呀，這里有一個問題！就是說$pa[i]$或者是$sa[i]$中很可能包含有已經被刪除掉的元素了。

解決這個問題有兩個方案，第一就是我們每刪除的一個元素就對所有依賴這個元素的$sa[]、pa[]$數組全部更新，這樣顯然不合理，遇到極端數據時間復雜度會爆炸。
還有一個解決方案就是，我們把要減去的部分容斥一下，即在已經被刪除的元素里面，再找于、與$a_i$元素能構成逆序對的數量$t$。

這樣的話，$ans?=sa[i]+pa[i]?t$。

這個思路聽起來很完美，但是這個$t$要怎么找呢？

其實我們需要的是對所有被刪除的元素建立一顆可修改的主席樹！

正常的主席樹想要修改的時候，如果修改了第$i$個版本的主席樹，同時要把$i+1、i+2...$等版本的主席樹都修改，因為是主席樹跟前一個版本的主席樹是有依賴關系的。

我們發現樹狀數組跟我們的需求非常像，因為樹狀數組具有區間求和的性質，也具有單點修改時間復雜度$O(logn)$的優秀性質。

于是！我們可以用樹狀數組套權值線段樹來解決這個問題。

由于空間所限，我們做線段樹采用動態開點的方法。

其中樹狀數組里的每一個節點里面包含有一顆線段樹。

代碼

#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; #define pr(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl #define int long long const int maxn = 200007;struct segtree{int root[maxn*40];int lson[maxn*40];int rson[maxn*40];int val[maxn*40];int idx;void ins(int &rt,int l,int r,int pos,int v){if(!rt) rt = ++idx;val[rt] += v;if(l == r) return ;int mid = (l+r)/2;if(pos <= mid) ins(lson[rt],l,mid,pos,v);else ins(rson[rt],mid+1,r,pos,v);} int query(int rt,int l,int r,int ul,int ur){if(!rt || r < ul || ur < l) return 0;if(ul <= l && r <= ur) return val[rt];int mid = (l+r)/2;int a = query(lson[rt],l,mid,ul,ur);int b = query(rson[rt],mid+1,r,ul,ur);return a+b;} }seg;struct BIT{int a[maxn];void add(int pos,int v){for(;pos < maxn;pos += pos & (-pos))a[pos] += v;}int query(int pos){int ans = 0;for(;pos;pos -= pos & (-pos))ans += a[pos];return ans;} }b1,b2; int pos[maxn],a[maxn]; int pa[maxn],sa[maxn]; int n,m;signed main(){long long ans = 0;cin>>n>>m;for(int i = 1;i <= n;++i){scanf("%lld",&a[i]);pos[a[i]] = i;b1.add(a[i],1);ans += pa[i] = b1.query(n) - b1.query(a[i]);}for(int i = n;i > 0;i--){sa[i] = b2.query(a[i]-1);b2.add(a[i],1);}for(int i = 1;i <= m;++i){printf("%lld\n",ans);int v;scanf("%lld",&v);int p = pos[v];p--;long long tmp = 0;for(;p;p -= p & (-p))tmp += seg.query(seg.root[p],0,100001,v+1,100001);p = pos[v];for(;p;p -= p & (-p))tmp -= seg.query(seg.root[p],0,100001,0,v-1);p = n;for(;p;p -= p & (-p))tmp += seg.query(seg.root[p],0,100001,0,v-1);ans -= sa[pos[v]] + pa[pos[v]] - tmp;p = pos[v];for(;p <= n;p += p&(-p))seg.ins(seg.root[p],0,100001,v,1);} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3157 动态逆序对 ，树状数组套动态开点线段树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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