題目鏈接

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題意

求11到nn的最短路，最短路上只計(jì)算前kk大的邊。

題解

這道題的操作很騷，算法如下：
遍歷每條邊xx，并把圖中所有的邊的權(quán)值都減去該邊的權(quán)值xx，如果變成負(fù)數(shù)，那么就置00，并將跑出來(lái)的值dis[n]+k?xdis[n]+k?x就是這次的答案，對(duì)所有的答案取最小值，并且與原始圖的dis[n]dis[n]取最小值，得到的結(jié)果就是最終答案。

正確性證明：
1. 假設(shè)最終的最短路中有大于等于kk條邊，并設(shè)第kk大的邊長(zhǎng)度為xx。
那么該路徑上所有的邊減去xx，之后跑最短路得到dis[n]dis[n]，那么dis[n]+k?xdis[n]+k?x就是該路徑的“長(zhǎng)度”，就是最終答案，并且這個(gè)數(shù)一定會(huì)出現(xiàn)在比較中。
而對(duì)于其他的路徑，如果減去的xx不是該路徑的第kk大的邊的時(shí)候，該路徑的值dis[n]+k?xdis[n]+k?x一定不會(huì)比該路徑的“長(zhǎng)度”小，出現(xiàn)在比較中不會(huì)對(duì)最終答案造成影響。
2. 假設(shè)最短路中有小于k條邊，那么原圖中跑最短路的dis[n]dis[n]一定是最小的。

注意，此題用spfa超時(shí)，用dijkstra也有稍微優(yōu)化一下才行。

代碼

#include <cstdio> #include <iostream> #include <vector> #include <cstring> #include <queue> using namespace std; const int maxn = 3007; vector<int> G[maxn]; typedef long long ll; typedef pair<ll,int> pii; const ll inf = 1e18; int U[maxn],V[maxn];long long W[maxn]; int n,m,k; int vis[maxn];ll dis[maxn]; #define pr(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl /* ll spfa(ll x){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i = 1;i <= n;++i) dis[i] = inf;queue<int> Q;vis[1] = 1;Q.push(1);dis[1] = 0;while(!Q.empty()){int u = Q.front();Q.pop();vis[u] = 0;for(auto e : G[u]){int v = U[e]^V[e]^u;ll w = W[e] - x;w = max(0ll,w);if(dis[v] > dis[u] + w){if(!vis[v]) Q.push(v);dis[v] = dis[u] + w;vis[v] = 1;}}}return dis[n]; } */ ll dij(ll x){priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > Q;for(int i = 1;i <= n;++i) dis[i] = inf;dis[1] = 0;Q.push({0,1});while(!Q.empty()){pii p = Q.top();Q.pop();int u = p.second;if(p.first > dis[u]) continue;for(int e : G[u]){int v = u ^ U[e] ^ V[e];ll w = W[e] - x;w = max(0ll,w);if(dis[v] > dis[u] + w){dis[v] = dis[u] + w;Q.push({dis[v],v});}}}return dis[n]; } int main(){cin>>n>>m>>k;for(int i = 0;i < m;++i){int u,v;long long w;scanf("%d %d %lld",&u,&v,&w);U[i] = u,V[i] = v,W[i] = w;G[u].push_back(i);G[v].push_back(i);}ll ans = dij(0);for(int i = 0;i < m;++i){ll res = dij(W[i])+k*W[i];ans = min(ans,res);}printf("%lld\n",ans);return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一道有趣的最短路 NEERC2017 Journey from Petersburg to Moscow的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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