乒乓球

題目描述

小 $Bo$ 是某省乒乓球名列前茅的選手，現(xiàn)在他有 $n$ 顆乒乓球一字排開，第$i$顆乒乓球的權(quán)值為 $w_i$
每次他會隨機從現(xiàn)有的乒乓球中等概率選一顆拿走，然后得到的收益是這顆球左邊第一個乒乓球和右邊第一個乒乓球的權(quán)值的乘積，如果左邊沒有乒乓球或者右邊沒有乒乓球，則收益為 $0$，這個過程會重復(fù)進行到所有球都被拿走為止
現(xiàn)在小 $Bo$ 想知道他的期望總收益
為了方便，你只需要輸出答案對 $998244353$ 取模的值.

解決方案

思路就是枚舉一對乒乓球$(i,j)$然后計算它對于答案的貢獻.
$(i,j)$要想產(chǎn)生貢獻,那么至少要滿足$2\le j?i\le n?1$.

考慮$i,j$兩顆乒乓球一定要在$[i+1,j?1]$之間的乒乓球全都取完才能取,這樣的情況共有$(j?i?1)!?2!?C_n^{j?i+1}?(n?(j?i+1))!$

也就是$\frac{2?n!}{(j?i)(j?i+1)}$,而最后的答案要除以$n!$,所以在這里直接除掉就可以了,也就是$\frac{2}{(j?i)(j?i+1)}$

共線即為$w_i?w_j?\frac{2}{(j?i)(j?i+1)}$

而這個值只與$(j?i)$的大小有關(guān),而如果我們將式子中第二個$w_j$反轉(zhuǎn),即改寫成$b_{n?j}$.(其中$b_i=w_{n?i}$)

那么$w_i?b_{n?j}?\frac{2}{(j?i)(j?i+1)}$

這下我們枚舉$\frac{2}{(t)(t+1)}$,找所有滿足的$(i,n?j)$對,使得$n?j?i=n?t$

顯然這就是一個求卷積的裸題了,$w$序列與$b$序列卷積的第$n?t$項就是我們要求的答案.

代碼

#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio>using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1 << 20; const int P = 998244353; const int G = 3; const int NUM = 20;LL wn[NUM]; LL a[N], b[N];LL quick_mod(LL a, LL b, LL m) {LL ans = 1;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans; }void GetWn() {for(int i = 0; i < NUM; i++){int t = 1 << i;wn[i] = quick_mod(G, (P - 1) / t, P);} } void Rader(LL a[], int len) {int j = len >> 1;for(int i = 1; i < len - 1; i++){if(i < j) swap(a[i], a[j]);int k = len >> 1;while(j >= k){j -= k;k >>= 1;}if(j < k) j += k;} }void NTT(LL a[], int len, int on) {Rader(a, len);int id = 0;for(int h = 2; h <= len; h <<= 1){id++;for(int j = 0; j < len; j += h){LL w = 1;for(int k = j; k < j + h / 2; k++){LL u = a[k] % P;LL t = w * a[k + h / 2] % P;a[k] = (u + t) % P;a[k + h / 2] = (u - t + P) % P;w = w * wn[id] % P;}}}if(on == -1){for(int i = 1; i < len / 2; i++)swap(a[i], a[len - i]);LL inv = quick_mod(len, P - 2, P);for(int i = 0; i < len; i++)a[i] = a[i] * inv % P;} }void Conv(LL a[], LL b[], int n) {NTT(a, n, 1);NTT(b, n, 1);for(int i = 0; i < n; i++)a[i] = a[i] * b[i] % P;NTT(a, n, -1); } LL Fac[N]; int n; int main() { Fac[0] = 1;for(int i = 1;i < N;++i) {Fac[i] = Fac[i-1] * i % P;}GetWn();std::cin >> n;for(int i = 0;i < n;++i){ std::cin >> a[i];b[n-i] = a[i];}int len = 1;while(len < n) len <<= 1;len <<= 1;Conv(a,b,len);LL ans = 0;for(int le = 2;le <= n-1;++le) {LL part = 2 * quick_mod(le,P-2,P) % P * quick_mod(le+1,P-2,P) % P;ans = (ans + (a[n-le]*part % P)) % P;}std::cout << ans << std::endl;return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学推导题,NTT,快速数论变换,Wannafly-乒乓球的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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