Count on a Treap

題目來源

Codechef Feb 2014 COT5
https://www.codechef.com/problems/COT5

問題提出

什么是Treap

• 是一顆二叉搜索樹,每個節點擁有$key$屬性.
• 是一顆堆,每個節點擁有$weight$屬性

問題

• $n$次操作,三種類型,要求維護"大根Treap"
  • $(0,k,w)$ ,插入$key$為$k,weight$為$w$的點.
  • $(1,k)$,刪除$key$為$k$的點
  • $(2,k_u,k_v)$,詢問$key$為$k_u,k_v$的兩點在$Treap$中的距離.

保證$key$,$weight$均不相同.

問題解答

$dist(u,v)=dep(u)+dep(v)?2?dep(lca)$

我們以$key$為下標,將這個樹按中序遍歷展開.

顯然$[k_u,k_v]$之間最大的$weight$最大的點就是兩點的$lca$.

證明:首先$lca$一定在區間$[k_u,k_v]$之間,不然$k_u,k_v$將位于$lca$的同一側,這不可能.其次權重最大的點一定是這顆子樹的根節點,這個點一定是祖先,如果它不是$lca$的話,那么它的$key$將大于或小于$lca$形成的子樹中所有的點的$key$,也就是說它不在區間$[k_u,k_v]$之間,矛盾.

至此,用線段樹可以輕松維護$lca$.

那么如何維護一個點在樹上的深度呢?

根據Treap的特殊性質,我們知道每個點的$weight$一定小于他父親的$weight$.

從這個點到根節點的祖先鏈上的$weight$是不斷遞增的.

這里有一個非常特殊的性質,在序列上就是從這個點往兩側各找一個直接的遞增子序列,那么序列上的點都是他的祖先.

這個性質基于這樣一個事實:每個點左右兩側的第一個大于它$weight$的點,都是這個點的一個祖先.因為其中一個點是它的父親,而另一個點…自己畫圖觀察一下就好了.

因此兩個遞增序列的長度和就是它到根的距離.

如何維護某一個點向右的直接遞增序列呢.也是使用線段樹,參考我的另一篇博客,樓房重建.

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线段树-Count on a Treap-神题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。