P4445 最長回文串

題目描述

順序和逆序讀起來完全一樣的串叫做回文串。比如$acbca$是回文串，而$abc$不是（abc的順序?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$abc$，逆序?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$cba$，不相同）。

輸入長度為$n$的串$S$，求$S$的最長雙回文子串$T$,即可將$T$分為兩部分$X$，$Y$，$（|X|,|Y|\ge 1\mid X\mid ,\mid Y\mid \ge 1）$且$X$和$Y$都是回文串。

題目解答

將串$s$進(jìn)行預(yù)處理增加’$‘和’#'字符得到$ns$串以便使用Manacher算法.

使用Manacher算法求以每個(gè)位置為中心的最長回文串長度數(shù)組$np$.

算法一.

根據(jù)數(shù)組$p$,處理出數(shù)組$lft,rgt$

$lft[i]$表示$ns$中以$i$為右端點(diǎn)的最長回文串的中心位置.

$rgt[i]$表示$ns$中以$i$為左端點(diǎn)的最長回文串的之心位置.

ps:由于$ns$字符串中包含了$\#$字符,因此回文串中心到一端的距離,就可以實(shí)際表示一個(gè)回文串的長度.

由于$ns$串特殊的奇偶性,我們枚舉$i$,計(jì)算$rgt[i+1]?lft[i]$的最大值就是答案.

問題變成了如何求$lft,rgt$數(shù)組.

以$lft$為例,$rgt$求法類似:

枚舉回文串中心的位置$i$,則$lft[i,i+np[i])$區(qū)間內(nèi)未設(shè)置值得位置全都設(shè)置成為$i$.

實(shí)現(xiàn)代碼

#include <iostream> #include <cstdio> #include <queue> #include <vector> #include <cstring>const int N = 100007; char s[N],ns[N<<1];int np[N<<1];#define pr(x) std::cout << #x << ":" << x << std::endlstd::vector<int> vec[N<<1]; int vis[N<<1];int lft[N<<1],rgt[N<<1];int Manacher() {int len = 0,mx = 0,id;ns[len++] = '$';ns[len++] = '#';for(int i = 0;s[i];++i)ns[len++] = s[i],ns[len++] = '#';for(int i = 1;i < len;++i) {np[i] = mx > i ? std::min(np[2*id-i],mx-i):1;while(ns[i-np[i]] == ns[i+np[i]]) ++np[i];if(np[i]+i > mx) mx = np[i]+i,id = i;}int p = 0;for(int i = 0;i < len;++i) {for(;p < i + np[i];++p) {lft[p] = i;}} p = len;for(int i = len-1;i > 0;--i) {for(;p > i - np[i];--p) {rgt[p] = i;}}int ans = 0;for(int i = 1;i < len;i++) {ans = std::max(ans,rgt[i+1] - lft[i]);} return ans; }int main() {std::cin >> s;std::cout << Manacher() << std::endl;return 0; }

算法二.

計(jì)算數(shù)組$lft,rgt$

$lft[i]$表示以$i$為右端點(diǎn)的最長回文子串在$s$中的實(shí)際長度.

$rgt[i]$表示以$i$為左端點(diǎn)的最長回文子串在$s$中的實(shí)際長度.

那么答案就是枚舉$i$為偶數(shù),$ans=max(lft[i]+rgt[i+2])$

以$lft$為例,$rgt$類似:

從小到大枚舉$i$,并用一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列維護(hù)當(dāng)前最小的回文串中心點(diǎn)$i$,設(shè)定在$i+np[i]$位置將優(yōu)先隊(duì)列中的$i$設(shè)為失效.

每次從優(yōu)先隊(duì)列中取出的第一個(gè)有效的數(shù)即是$lft[i]$.

這種算法的思路與算法一本質(zhì)上是一樣的,只不過枚舉量不同,算法一枚舉的是$lft[i]$,然后利用單調(diào)性將時(shí)間復(fù)雜度降低到了$O(n)$

算法二枚舉的是$i$,需要用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來維護(hù),時(shí)間復(fù)雜度是$O(nlogn)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <queue> #include <vector> #include <cstring>const int N = 100007; char s[N],ns[N<<1];int np[N<<1];#define pr(x) std::cout << #x << ":" << x << std::endlstd::vector<int> vec[N<<1]; int vis[N<<1];int lft[N<<1],rgt[N<<1];int Manacher() {int len = 0,mx = 0,id;ns[len++] = '$';ns[len++] = '#';for(int i = 0;s[i];++i)ns[len++] = s[i],ns[len++] = '#';for(int i = 1;i < len;++i) {np[i] = mx > i ? std::min(np[2*id-i],mx-i):1;while(ns[i-np[i]] == ns[i+np[i]]) ++np[i];if(np[i]+i > mx) mx = np[i]+i,id = i;}for(int i = 0;i < (N << 1);++i) vec[i].clear();memset(vis,0,sizeof(vis)); std::priority_queue<int,std::vector<int>,std::greater<int> > lQ;for(int i = 1;i < len;++i) {for(auto u : vec[i]) vis[u] = 1;while(!lQ.empty() && vis[lQ.top()]) lQ.pop();lft[i] = 1;if(lQ.empty()) {lQ.push(i);vec[i + np[i]].push_back(i);continue;}else {lft[i] = std::max(lft[i],(i-lQ.top()+1)/2*2+(lQ.top()%2==0));}lQ.push(i);vec[i + np[i]].push_back(i);}for(int i = 0;i < (N << 1);++i) vec[i].clear();memset(vis,0,sizeof(vis)); std::priority_queue<int> gQ;for(int i = len-1;i;--i) {for(auto u : vec[i]) vis[u] = 1;while(!gQ.empty() && vis[gQ.top()]) gQ.pop();rgt[i] = 1;if(gQ.empty()) {gQ.push(i);vec[i - np[i]].push_back(i);continue;}else {rgt[i] = std::max(rgt[i],(gQ.top()-i+1)/2*2+(gQ.top()%2==0));}gQ.push(i);vec[i - np[i]].push_back(i);}int ans = 0;for(int i = 1;i+2 <= len;++i) if(i%2==0)ans = std::max(ans,lft[i]+rgt[i+2]);return ans; }int main() {std::cin >> s;std::cout << Manacher() << std::endl;return 0; }

總結(jié)

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