Lucky Conins

題意

最多共$10$種硬幣,所有的硬幣之和不超過$100000$,每次將所有的硬幣拋出,第$i$中硬幣正面朝上的概率為$p_i$,將反面朝上的硬幣移除掉.直至最后剩一種硬幣或沒有硬幣則停止.若最后剩余一種硬幣,則稱這種硬幣是幸運的,求每種硬幣的幸運概率.

題解

推公式題.

假設我們要求第$i$種硬幣成為幸運硬幣的概率,那么我們可以求其在第$x$步成為幸運硬幣的概率,然后對$x$求和即可.

計算硬幣$i$在$x$步成為幸運硬幣的概率:

一.第$i$種硬幣,必須在第$x$步至少剩$1$個:

[1] : $Alive[i,x]=1?(1?p_i^x{)}^{c_i}$

硬幣$i$在第$x$步存活:$p_i^x$,在第$x$步及之前死亡:$1?p_i^x$,第$i$種所有硬幣在第$x$步都死亡$(1?p_i^x{)}^{c_i}$,第$i$種在第$x$步至少剩余一個硬幣$1?(1?p_i^x{)}^{c_i}$

二. 第$j$種硬幣,至少有一枚要在第$x?1$步存活,第$x$步死亡

先考慮對于第$j$種硬幣,它至少有一枚硬幣第$x?1$步存活,在第$x$步死亡的概率.

假設第$j$種有$t$枚硬幣在第$x?1$步存活,在第$x$步死亡:

$C_{c_j}^t(p_j^{x?1}{)}^t(1?p_j^{x?1}{)}^{c_j?t}(1?p_j{)}^t=C_{c_j}^t(p_j^{x?1}?p_j^x{)}^t(1?p_j^{x?1}{)}^{c_j?t}$

對$t$從$1$到$c_j$求和,利用二項式定理我們得到了第$j$種硬幣,它至少有一枚硬幣第$x?1$步存活,在第$x$步死亡的概率:

[2] : $(1?p_j^x{)}^{c_j}?(1?p_j^{x?1}{)}^{c_j}$.

三.除第$i$種之外的所有硬幣,至少有$1$枚在$x?1$步存活,在第$x$步死亡

為避免重復計算

設$j$是不與$i$相等的數中最小的.
我們考慮是第$j$種硬幣起到了這個作用,那么$j$種以后的硬幣只要滿足在$x$步及之前死光即可.

然后再考慮是$j+t$種硬幣起到了這個作用,那么$j+t$種以后的硬幣只要滿足在$x$步及之前死光即可,并且要滿足第$j+t$種之前的硬幣必須不能起作用(即在$x?1$步及之前就必須全部死光),否則會算重.

也就是說我們需要記錄$lft[j,x]$表示$j$種之前的硬幣全部在第$x?1$步及之前就死光.記錄$rgt[j,x]$表示$j$種之后的硬幣全都在第$x$步及之前就死光.
其中$lft[j,x]={\sum }_{t?=i,t<j}(1?p_t^{x?1}{)}^{c_t}$,$rgt[j,x]={\sum }_{t?=i,t>j}^n(1?p_t^x{)}^{c_t}$
那么這部分的答案就是

${\sum }_{j?=i}((1?p_j^{x+1}{)}^{c_j}?(1?p_j^x{)}^{c_j})?lft[j,x]?rgt[j,x]$

四.最終公式

$(1?(1?p_i^x{)}^{c_i}){\sum }_{j?=i}(((1?p_j^x{)}^{c_j}?(1?p_j^{x?1}{)}^{c_j})?lft[j,x]?rgt[j,x])$

代碼

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl #define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)double p[11]; int cnt[11]; int n; const int lim = 50; double fastpow(double x,int n) {double res = 1.0;while(n) {if(n&1) res *= x;x *= x;n >>= 1; }return res; } double f(int id,int x) {return fastpow(1-fastpow(p[id],x),cnt[id]) - fastpow(1-fastpow(p[id],x-1),cnt[id]); }double calc(int i) {double ans = 0;rep(x,1,lim) {double res = 1-fastpow(1-fastpow(p[i],x),cnt[i]);double tmp = 0,lft = 1;rep(j,1,n) {if(j == i) continue;double rgt = 1;rep(t,j+1,n) {if(i == t) continue;rgt *= fastpow(1-fastpow(p[t],x),cnt[t]);}tmp += f(j,x)*lft*rgt;lft *= fastpow(1-fastpow(p[j],x-1),cnt[j]);}ans += res * tmp;}return ans; } int main() {int T;std::cin >> T;while(T--) {std::cin >> n;rep(i,1,n) {std::cin >> cnt[i] >> p[i];}if(n == 1) {printf("%.6f\n",1.0);continue;}rep(i,1,n) {if(i != 1) printf(" ");printf("%.6f",calc(i));}puts("");}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU5985 Lucky Conins 概率题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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