Asa’s Chess Problem

先闡述一下帶上下界的邊怎么建.

---

帶上下界的建圖方法

設我要建一條邊$(u\to v)$,流量上界為$up$,下界為$down$,費用為$cost$.則我需要建兩條邊.

為保證一定會有$down$的流量流過去,我們可以建立一條$u\to v$的邊,容量為$down$,費用為$?inf+cost$,這樣保證了一旦有解,一定會有$down$的流量流過來.

隨后,再建立一條從$u\to v$的邊,容量為$up?down$,費用為$cost$的邊.這樣保證了還會再流至多$up?down$的流量,但不是強制要流.

判斷解是否有解

算出所有邊的$down$之和$sd$,算出最后的費用包含$si$個$?inf$.如果$si==sd$則說明有解,否則無解.

計算實際的費用

實際的費用就是$(inf?((?tot\_cost)\%inf))$.
上面的式子就是實際的答案.

---

正文

簡單情形

先考慮我們拿到的矩陣之間的元素是不可交換的,要求檢查該矩陣滿足條件的可行性.

那么這是一個經典問題,建圖方法如下:

源點$S(0)$向行$R(1?n)$連接一條流量為該行上下界且費用為$0$的邊.

列$C(n+1?2n)$向匯點$T(2n+1)$連接一條流量為該列上下界且費用為$0$的邊.

每個點$P(x,y)$表示從$R(x)$向$C(y)$連接一條容量為點的權值,費用為$0$的邊.最后看一下是否滿流且下界邊流滿即可.

復雜情形

那么回到這個題,相當于增加了格點之間可交換這個條件(注意可交換的格點對之間至少有一個坐標是相同的,這是題目給出的條件之一).

如果兩個格點相同,那么完全沒有交換的必要(直接按照簡單情形連邊即可),因此我們只考慮兩個格點不同的情況.

設$P(x_1,y_1)$為黑色(1),$P(x_2,y_2)$為白色(0).考慮它們之間連邊方案.

當$y_1=y_2$時,無論交換與否,最后流量都是流向$y_1$這列.但是交換與否影響流量是從$x_1$行流入還是$x_2$行流入.

當$x_1=x_2$時,無論交換與否,最后流量都是從$x_1$這行流出.但是交換與否影響流量是從$y_1$行流出還是$y_2$行流出.

實現代碼

#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <queue> #define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl #define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i) using namespace std; #define int long long const int inf = 1e10; const int mm = 111111; const int maxn = 3000; int node,src,dest,edge; int ver[mm],flow[mm],cst[mm],nxt[mm]; int head[maxn],work[maxn],dis[maxn],q[maxn]; int tot_cost; void prepare(int _node,int _src,int _dest) {node=_node,src=_src,dest=_dest;for(int i=0; i<node; ++i)head[i]=-1;edge=0;tot_cost = 0; } void add_edge(int u,int v,int c,int cost) {ver[edge]=v,flow[edge]=c,nxt[edge]=head[u],cst[edge]=cost,head[u]=edge++;ver[edge]=u,flow[edge]=0,nxt[edge]=head[v],cst[edge]=-cost,head[v]=edge++; } int ins[maxn]; int pre[maxn]; bool Dinic_spfa() {memset(ins,0,sizeof(ins));//memset(dis,inf,sizeof(dis));rep(i,0,maxn-1) dis[i] = 10000*inf;memset(pre,-1,sizeof(pre));queue<int> Q;//int i,u,v,l,r=0;Q.push(src);dis[src] = 0,ins[src] = 1;pre[src] = -1;while(!Q.empty()){int u = Q.front();Q.pop();ins[u] = 0;for(int e = head[u];e != -1;e = nxt[e]){int v = ver[e];if(!flow[e]) continue;if(dis[v] > dis[u] + cst[e]){dis[v] = dis[u] + cst[e];pre[v] = e;if(!ins[v]) ins[v] = 1,Q.push(v);}} }return dis[dest] < 10000*inf; } int Dinic_flow() {int i,ret=0,delta=inf;while(Dinic_spfa()){for(int i=pre[dest];i != -1;i = pre[ver[i^1]])delta = min(delta,flow[i]);for(int i=pre[dest];i != -1;i = pre[ver[i^1]])flow[i] -= delta,flow[i^1] += delta;ret+=delta;tot_cost += dis[dest]*delta;}return ret; } int n; int a[55][55]; signed main() {std::ios::sync_with_stdio(false);while(std::cin >> n && n) {int suml = 0,who = 0;prepare(2+2*n+n*n/2,0,2*n+1);rep(i,1,n) rep(j,1,n) {std::cin >> a[i][j];who += a[i][j];}rep(i,1,n) {int l,h;std::cin >> l >> h;suml += l;if(l > 0) add_edge(0,i,l,-inf);if(h-l > 0)add_edge(0,i,h-l,0);}rep(i,1,n) {int l,h;std::cin >> l >> h;suml += l;if(l > 0) add_edge(n+i,2*n+1,l,-inf);if(h-l > 0)add_edge(n+i,2*n+1,h-l,0);}int tot = 2*n+1;rep(i,1,n*n/2) {int x1,x2,y1,y2;std::cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;if(a[x1][y1] + a[x2][y2] == 2) {add_edge(x1,n+y1,1,0);add_edge(x2,n+y2,1,0);}else if(a[x1][y1] + a[x2][y2] == 1) {++tot;if(y1 == y2) {add_edge(x1,tot,1,!a[x1][y1]);add_edge(x2,tot,1,!a[x2][y2]);add_edge(tot,n+y1,1,0);}else if(x1 == x2){add_edge(x1,tot,1,0);add_edge(tot,n+y1,1,!a[x1][y1]);add_edge(tot,n+y2,1,!a[x2][y2]);}}}int myflow = Dinic_flow();tot_cost *= -1;int pass = (tot_cost+inf-1)/inf;if(pass != suml || myflow != who) {std::cout << -1 << std::endl;continue;}std::cout << (inf - (tot_cost % inf))%inf << std::endl;} return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UVALive7670 Asa's Chess Problem,上下界费用流,另类解法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。