圖像處理作業(yè)第7次

1.請根據(jù)課本中Z變換的定義，證明如下結(jié)論。

• (1)若$x(n)$的$Z$變換為$X(z)$，則$(?1{)}^{n}x(n)$的$Z$變換為$X(?z)$
  根據(jù)$Z$變換的定義 $X(z)=\sum x(n)z^{?n},\sum (?1{)}^{n}x(n)z^{?n}=\sum x(n)(?z{)}^{?n}=X(?z)$。

• (2)若$x(n)$的$Z$變換為$X(z)$，則$x(?n)$的$Z$變換為$X(\frac{1}{z})$
  根據(jù)$Z$變換的定義 $X(z)=\sum x(n)z^{?n},\sum x(?n)z^{?n}=\sum x(n)z^{?(?n)}=\sum x(n){(\frac{1}{z})}^{?n}=X(\frac{1}{z})$。

• (3)若$x(n)$的$Z$變換為$X(z)$，證明：$x_{down}(n)=x(2n)?X_{down}(z)=1/2[X(z^{1/2})+X(?z^{1/2})]$
  根據(jù)$Z$變換的定義可知：$X_{down}(z)=\sum x_{down}(n)z^{?n}=\sum x(2n)z^{?n}=\sum 1/2[x(2n)(z^{1/2}{)}^{?2n}+x(2n)(?z^{1/2}{)}^{?2n}]=\sum 1/2[x(2n)(z^{1/2}{)}^{?2n}+x(2n)(?z^{1/2}{)}^{?2n}]+\sum 1/2[x(2n?1)(z^{1/2}{)}^{?(2n?1)}+x(2n?1)(?z^{1/2}{)}^{?(2n?1)}]=1/2[X(z^{1/2})+X(?z^{1/2})]$。

2.證明：

• 若$G_1(z)=?z^{?2k+1}{G}_0(?z^{?1})$,證明：$g_1(n)=(?1{)}^n{g}_0(2k?1?n)$

$?z^{2k+1}{G}_0(?z^{?1})?\sum g_0(n)(?z^{?1}{)}^{?n}(?z^{?2k+1})=\sum g_0(n)(?1{)}^{n+1}{z}^{n?2k+1}$

令$?t=n?2k+1$

那么

$\sum g_0(n)(?1{)}^{n+1}{z}^{n+2k+1}=\sum g_0(2k?1?t)(?1{)}^{2k?t}{z}^{?t}$

將$t$換成$n$，得到：

$\sum (?1{)}^n{g}_0(2k?1?n)z^{?n}$

因此$g_1(n)=(?1{)}^n{g}_0(2k?1?n)$

3.假設(shè)課本中給出完美重建濾波器的正交族對應(yīng)的三個(gè)濾波器間的關(guān)系式是正確的，并以此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)$h_0,h_1$的關(guān)系。

當(dāng)滿足如下式子時(shí)：

$g_1(n)=(?1{)}^n{g}_0(2k?1?n)$

$h_i(n)=g_i(2k?1?n),i=\{0,1\}$

$h_0(n)=g_0(2k?1?n)\to g_0(n)=h_0(2k?1?n)$

$h_1(n)=g_1(2k?1?n)=(?1{)}^{2k?1?n}{g}_0(2k?1?(2k?1?n))=(?1{)}^{n+1}{g}_0(n)=(?1{)}^{n+1}{h}_0(2k?1?n)$

是故

$h_1(n)=(?1{)}^{n+1}{h}_0(2k?1?n)$

4. 哈爾小波

截圖顯示：

$$\frac{1}{4}?\begin{array}{cccccccccccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& ?1& ?1& ?1& ?1& ?1& ?1& ?1& ?1\\ \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& ?\sqrt{2}& ?\sqrt{2}& ?\sqrt{2}& ?\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& ?\sqrt{2}& ?\sqrt{2}& ?\sqrt{2}& ?\sqrt{2}\\ 2& 2& ?2& ?2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2& 2& ?2& ?2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 2& ?2& ?2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 2& ?2& ?2\\ 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& ?2\sqrt{2}\end{array}?$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理作业第7次的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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